Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени

Дипломная работа
«Геометрии Галилея иМинковского как описания пространства-времени» (факультатив для старшихшкольников)

Введение
Вматериалистической картине мира понятие пространства возникло на основенаблюдения и практического использования объектов, их объема и протяженности.
Понятиевремени возникло на основе восприятия человеком смены событии, последовательнойсмены состояний предметов и круговорота различных процессов.
Естественнонаучныепредставления о пространстве и времени прошли длинный путь становления иразвития. Самые первые из них возникли из очевидного существования в природе ив первую очередь в макромире твердых физических тел, занимающих определенныйобъем. Здесь основными были обыденные представления о пространстве и временикак о каких-то внешних условиях бытия, в которые помещена материя и которые сохранилисьбы, если бы даже материя исчезла. Такой взгляд позволил сформулироватьконцепцию абсолютного пространства и времени, получившую свою наиболееотчетливую формулировку в работе И. Ньютона «Математические началанатуральной философии» Этот труд более чем на два столетия определил развитиевсей естественнонаучной картины мира. В нем были сформулированы основные законыдвижения и дано определение пространства, времени, места и движения.
Современноепонимание пространства и времени было сформулировано в теории относительности А. Эйнштейна,по-новому интерпретировавшей реляционную концепцию пространства и времени идавшей ей естественнонаучное обоснование. Исходным пунктом этой теории сталпринцип относительности, классический принцип относительности был сформулированеще Г. Галилеем.
80 лет назад Герман Минковский предложил геометрическую интерпретациюспециальной теории относительности. В наши дни знакомство с теориейотносительности стало необходимым элементом общего образования, однакопреподавание и понимание этой теории до сих пор затруднено тем, что еематематическое описание находится в противоречии с теми представлениями опространстве и времени, которые базируются непосредственно на чувственныхвосприятиях и закрепляются в процессе изучения классической физики. Геометриямира Минковского остается для неспециалистов труднодоступной абстракцией. Междутем к математическим знаниям, даваемым теперь средней школой и первым курсомвуза, надо добавить не много, чтобы развить представление о псевдоевклидовомпространстве. Прежде всего, требуется понятие абстрактного линейногопространства и его разновидности – евклидова пространства, умение различатьлинейные и метрические свойства пространства. Эти понятия являются исходнымидля построения геометрической теории. Без достаточно свободного владения ими исвязанным с ними алгебраическим аппаратом нельзя преодолеть привязанность кпривычной наглядности образов и проникнуть в мир форм, скрытых от непосредственногозрительного восприятия.

1.Геометрические представления Галилея
Исходным пунктом теорииописания пространства стал принцип относительности, классический принципотносительности был сформулирован еще Г. Галилеем: во всех инерциальныхсистемах отсчета движение тел происходит по одинаковым законам. Инерциальныминазываются системы отсчета, движущиеся друг относительно друга равномерно ипрямолинейно.
Галилей разъяснял этоположение различными наглядными примерами. Представим путешественника взакрытой каюте спокойно плывущего корабля. Он не замечает никаких признаковдвижения. Если в каюте летают мухи, они отнюдь не скапливаются у задней еестенки, а спокойно летают по всему объему. Если подбросить мячик прямо вверх,он упадет прямо вниз, а не отстанет от корабля, не упадет ближе к корме.
Из принципаотносительности следует, что между покоем и движением – если оно равномерно ипрямолинейно – нет никакой принципиальной разницы. Разница только в точкезрения.
Например,путешественник в каюте корабля с полным основанием считает, что книга, лежащаяна его столе, покоится. Но человек на берегу видит, что корабль плывет, и онимеет все основания считать, что книга движется и притом с той же скоростью,что и корабль. Так движется на самом деле книга или покоится?
На этот вопрос, очевидно,нельзя ответить просто «да» или «нет» Спор между путешественником и человекомна берегу был бы пустой тратой времени, если бы каждый из них отстаивал толькосвою точку зрения и отрицал точку зрения партнера. Они оба правы, и чтобысогласовать позиции, им нужно только признать, что книга покоится относительнокорабля и движется относительно берега вместе с кораблем.
Таким образом, слово«относительность» в название принципа Галилея не скрывает в себе ничегоособенного. Оно не имеет никакого иного смысла, кроме того, который мывкладываем в утверждение о том, что движение или покой – всегда движение илипокой относительно чего-то, что служит нам системой отсчета. Это, конечно, неозначает, что между покоем и равномерным движением нет никакой разницы. Но понятияпокоя и движения приобретают смысл лишь тогда, когда указана точка отсчета.
Есликлассический принцип относительности утверждал инвариантность законов механикиво всех инерциальных системах отсчета, то в специальной теории относительностиданный принцип был распространен также на законы электродинамики, а общаятеория относительности утверждала инвариантность законов природы в любыхсистемах отсчета, как инерциальных, и неинерциальных. Неинерциальныминазываются системы отсчета, движущиеся с замедлением или ускорением.
Всоответствии со специальной теорией относительности, которая объединяетпространство и время в единый четырехмерный пространственно-временнойконтинуум, пространственно-временные свойства тел зависят от скорости ихдвижения. Пространственные размеры сокращаются в направлении движения приприближении скорости тела к скорости света в вакууме (300 000 км/с),временные процессы замедляются в быстродвижущихся системах, масса телаувеличивается.
Находясь всопутствующей системе отсчета, то есть, двигаясь параллельно и на одинаковомрасстоянии от измеряемой системы, нельзя заметить эти эффекты, которыеназываются релятивистскими, так как все используемые при измеренияхпространственные масштабы и часы будут меняться точно таким же образом. Согласнопринципу относительности, все процессы в инерциальных системах отсчетапротекают одинаково. Но если система является неинерциальной, то релятивистскиеэффекты можно заметить и измерить. Так, если воображаемый релятивистскийкорабль типа фотонной ракеты отправится к далеким звездам, то после возвращенияего на Землю времени в системе корабля пройдет существенно меньше, чем наЗемле, и эта различие будет больше, чем дальше совершается полет, а скоростькорабля будет ближе к скорости света. Разница может измеряться даже сотнями итысячами лет, в результате чего экипаж корабля сразу перенесется в близкое илиболее отдаленное будущее, минуя промежуточное время, поскольку ракета вместе сэкипажем выпала из хода развития на Земле.
Подобныепроцессы замедления хода времени в зависимости от скорости движения реальнорегистрируются сейчас в измерениях длины пробега мезонов, возникающих пристолкновении частиц первичного космического излучения с ядрами атомов на Земле.
Итак,специальная теория относительности базируется на расширенном принципеотносительности Галилея. Кроме того, она использует еще одно новое положение:скорость распространения света (в пустоте) одинакова во всех инерциальныхсистемах отсчета.
Абсолютностьскорости света не противоречит принципу относительности и полностью совместимас ним. Постоянство этой скорости " закон природы, а потому – именно всоответствии с принципом относительности – он справедлив во всех инерциальныхсистемах отсчета.
Скоростьсвета это верхний предел для скорости перемещения любых тел природы, дляскорости распространения любых волн, любых сигналов. Она максимальна – этоабсолютный рекорд скорости. Поэтому часто говорят, что скорость света – предельнаяскорость передачи информации. И предельная скорость любых физических взаимодействий,да и вообще всех мыслимых взаимодействий в мире.
Со скоростьюсвета тесно связано решение проблемы одновременности, которая тоже оказываетсяотносительной, то есть зависящей от точки зрения. В классической механике,которая считала время абсолютным, абсолютной является и одновременность.
В общейтеории относительности были раскрыты новые стороны зависимостипространственно-временных отношений от материальных процессов. Эта теорияподвела физические основания под неевклидовы геометрии и связала кривизнупространства и отступление его метрики от евклидовой с действием гравитационныхполей, создаваемых массами тел. Общая теория относительности исходит изпринципа эквивалентности инерционной и гравитационной масс, количественноеравенство которых давно было установлено в классической физике. Кинематическиеэффекты, возникающие под действием гравитационных сил, эквивалентны эффектам,возникающим под действием ускорения. Так, если ракета взлетает с ускорением 2g, то экипаж ракеты будетчувствовать себя так, как будто он находится в удвоенном поле тяжести Земли.Именно на основе принципа эквивалентности масс был обобщен принципотносительности, утверждающий в общей теории относительности инвариантностьзаконов природы в любых системах отсчета, как инерциальных, так инеинерциальных. 
2.Геометрия Минковского как описание пространства – времени
ОткрытиямиКоперника, Галилея, Кеплера, Ньютона заложен фундамент стройногоестественнонаучного мировоззрения, которое позволило глубоко проникнуть всущность вещей. Но на определенном этапе развития физической теории и точногоэксперимента стали обнаруживаться расхождения между ними, свидетельствующие оналичии принципиальных недостатков в исходных теоретических предпосылках.Первоначально осознание этих недостатков и внесение поправок в теориювыразилось в постулатах, обобщающих новые экспериментальные факты. Изпостулатов Эйнштейна развилась теория относительности, из постулатов Бора – квантоваятеория – два главных направления революции в физике XX в. Эта научнаяреволюция, подобно коперниканской, внесла радикальные изменения в наши представленияоб устройстве мира.
Альберт Эйнштейн постулировал в качестве исходных истин такие утверждения,которые противоречили принципам классической физики, но не противоречилиэкспериментальным данным, и стал выяснять, какие поправки к классическимвоззрениям вытекают логически из его постулатов. В первоначальной формулировкепостулаты Эйнштейна гласят:
1. Законы, по которым изменяются состояния систем, не зависят от того,к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг другаравномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.
2. Каждый луч света движется в «покоящейся» системе координат с определеннойскоростью V,независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимсятелом» [19].
Из этих постулатов Эйнштейн сделал вывод, что длительность промежуткавремени между двумя событиями и величина расстояния между двумя точкамипространства должны быть разными в разных инерциальных системах координат,движущихся относительно друг друга. Парадоксальный вывод о непостоянствепространства и времени (а вслед за ними и массы), считавшихся в классическойфизике фундаментальными абсолютными характеристиками мира, явился самой яркойчертой новой теории, что отразилось в закрепившемся за ней названии – теорияотносительности. До самого конца XIX в. в науке сохранялось убеждение в том, чтомировое пространство в своей сущности таково, каким мы его воспринимаемпосредством наших органов чувств. Самые характерные черты чувственновоспринимаемого пространства заключаются в том, что оно имеет три измерения иописывается геометрической теорией Евклида. По современной терминологии оно таки называется: трехмерное собственно евклидово пространство. Но если мировоепространство действительно таково, то расстояния между его точками (размеры иформы тел) должны быть инвариантными, не зависящими от выбора системы отсчета.Герман Минковский понял, что чувственно воспринимаемое пространство – этотолько внешняя видимость, форма проявления иных геометрических свойствреального мирового пространства. «Воззрения на пространство и время, которые янамерен перед вами развить, возникли на экспериментально-физической основе. Вэтом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и времясамо по себе должны обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоихдолжен еще сохранить самостоятельность», – так начал Минковский свойдоклад на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне 21сентября 1908 г. [9].
Как во времена Коперника трудно было принять вопреки внешней очевидностигелиоцентрическую систему мира, так в наше время нелегко понять и представитьсебе мир в пространстве, отличном от чувственно воспринимаемого. Дляпреодоления этого затруднения тоже необходимы познания из области геометрии, ноболее глубокие. Но было бы неправильно думать, что понимание геометрии мираМинковского доступно только специалистам с высшим физико-математическимобразованием. В наши дни расширение и дифференциация научных знанийсопровождается обобщениями, вскрытием немногих глубочайших понятий и связеймежду ними, позволяющих строить точное и лаконичное изложение теории. Развитиегеометрии в этом направлении идет по пути ее алгебраизации.
Глубина аксиоматических построений, используемых в линейной алгебре,позволяет не только упростить изложение известных геометрических истин, но иоткрывает новые возможности геометрических представлений. Если мы сможемвыразить в немногих математических понятиях и соотношениях все существенныесвойства чувственно воспринимаемого пространства, то поймем, как оно устроено,или, грубо говоря, каковы его основные «исходные компоненты». Тогда станетвидно, как эти «компоненты» могут сочетаться в иных комбинациях, образуя иныетипы пространств.2.1Основные понятия описания пространства-времени2.1.1 Геометрические векторы и линейные операции над ними
Для математического описания пространства удобно пользоватьсявекторами. Этот объект достаточно прост и нагляден в чувственно воспринимаемомпространстве (где его называют геометрическим вектором) и вместе с тем пригодендля далеко идущих обобщений. Геометрическим вектором называется направленныйотрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничныхточек является началом и какая концом [6].
Слово вектор происходит от латинского глагола vehere – перевозить, перемещать.Английское слово vehicle того же корня обозначает любое перевозочное средство от телеги докосмического корабля (space vehicle) [5]. Геометрический вектор указываетпрямолинейный переход из одной точки пространства в другую. Из такогопредставления естественно вытекает определение операции сложения векторов (рис. 1).Если выполнить переход из точки О в точку А, выражаемый вектором />, а затем добавить к немупереход из точки А в точку S, выражаемый вектором />,то результат двух переходов будет таким же, как прямолинейный переход из точкиО в точку S,выражаемый вектором />. Поэтому вектор s называют суммой векторова и b и записывают операцию сложения векторов в виде алгебраического выражения
/>
Рис. 1
/> (2.1)
Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника.
Два вектора считаются равными, если посредством параллельногопереноса можно совместить точки их начала и конца соответственно. При такомопределении равенства векторов становится безразлично, в какой точке приложенвектор (какова точка его начала), и возникает понятие свободного вектора.Свободный вектор не имеет определенной точки начала, и мы имеем правопредставлять его приложенным в любой точке пространства по своему желанию.Совмещая на рис. 1 начало свободного вектора b с началом вектора а,построим параллелограмм OASB, для которого суммарный вектор /> является диагональю,исходящей из общего начала складываемых векторов. Такой способ построения суммывекторов называется правилом параллелограмма.
Оба правила (треугольника и параллелограмма) выявляют важноесвойство суммарного вектора – он лежит в одной плоскости свекторами-слагаемыми. Пользуясь латинским термином, говорят, что складываемыевекторы и суммарный вектор компланарны («соплоскостны»). Для свободных векторовпонятие компланарности расширяется: компланарные векторы могут и не лежать водной плоскости, но существует плоскость, которой параллельны все они и вкоторую при желании их можно привести посредством параллельного переноса.
Частным случаем перехода из одной точки пространства в другуюявляется отсутствие перехода. Тогда точка конца геометрического вектора совпадаетс точкой его начала. Такой вектор называют нулевым и обозначают символом 0.Очевидно соотношение
/> (2.2)
которое служит алгебраическим определением нулевого вектора. 2.1.2 Псевдоевклидоваплоскость
Мир Минковского четырехмерен, но увеличение размерности – не самаяглавная трудность на пути овладения этим понятием. Гораздо труднее преодолетьбарьер необычности метрических свойств пространства Минковского. На первыйвзгляд они кажутся фантастическими. И если даже математика ручается за ихлогическую непротиворечивость, остается впечатление, что здесь речь идет отакой математической абстракции, которой нет места в природе. Репутациянереальности метрики мира Минковского тесно связана с сохраняющимся в качествепережитка представлением о нереальности комплексных чисел, чему сильноспособствует и терминология («мнимые» числа). Вот почему необходим небольшойэкскурс в эту область.
На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретаявсе большую общность. И теперь каждому человеку при получении математическогообразования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятиячисла.
В простейшем представлении число есть количество предметов. Такомупредставлению соответствует понятие натурального числа (целого положительного).Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения иумножения. Это значит, что, складывая или перемножая любые натуральные числа,мы необходимо будем получать в результате натуральные числа, т.е. не выйдем измножества N.
Операция деления натуральных чисел может привести к дроби, котораяне является натуральным числом. Признание дробей числами не вызывалозатруднений даже в древние времена. Этот выход за пределы множества N заставилрасширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов,но и отношение количеств.
Несравненно медленнее и труднее формировалось в науке понятиеотрицательного числа. Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числабольшее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторогоколичества, но само это количество выражали положительным числом. У них не былочисла, которым можно выразить результат такого, например, действия: 2–5 =… Икогда они получали при решении уравнения отрицательный корень, то просто отбрасывалиего как «недопустимый». «В Европе математики XVI в., хотя ипользовались иногда отрицательными числами, все же называли их «ложными» и «неясными»,«меньше, чем ничто» и т.п.» [2]. Лишь в XVII в., после того какДекарт ввел в употребление координатные системы и установил взаимно однозначноесоответствие между числами и точками координатной оси, в математикеокончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательныхчисел. Сложилось понятие рационального числа как отношения любых целых чисел тта п. Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения ивычитания, умножения и деления.
Так потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнятьнад числами, приводила к обобщению понятия числа. Сталкиваясь с задачами,решение которых не могло быть выражено числом в прежнем, узком его понимании,математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих названиячисла, формировали новое, более емкое определение числа, включающее в себя итакие числа, которые считались прежде несуществующими или по крайней меренеполноценными. Объективная значимость нового, расширенного понятия числазаключается в том, что с его помощью удается более полно и логическинепротиворечиво выражать отношения, существующие в природе.
Точки координатной оси, которым соответствуют рациональные числа,расположены всюду плотно. Это значит, что, сколь бы малый отрезок оси мы нивзяли, на нем найдется бесконечно много точек, служащих образами рациональныхчисел. Вместе с тем на любом отрезке координатной оси имеется бесконечно многотаких точек, которые не являются образами рациональных чисел. Классическимпримером тому, поразившим древних математиков, является задача о сравнении длинстороны квадрата и его диагонали.
Выберем на прямой линии единицу измерения и построим квадрат ОАВСсо стороной, равной этой единице. Отложив длину диагонали ОВ на координатнойоси, получим отрезок OD (рис. 2). Его длина, очевидно, должнаравняться отношению длин отрезков ОB и ОА:
/>
Между тем это отношение отрезков не может быть выражено никакимотношением целых чисел, т.е. никаким рациональным числом. Действительно, потеореме Пифагора имеем
/>
Если допустить, что существуют такие целые числа m и n, отношение которых равнодлине отрезка OD, выраженной в единицах />:
/>
то придем к противоречию. Мы вправе считать, что числа m и n не имеют общихмножителей (при наличии общего множителя можно произвести сокращение на него ив дальнейшем рассматривать уже несократимую дробь). Кроме того, />, т.е. /> не является целым числом,так как из неравенства /> следует />. Возводя равенство /> в квадрат, мы
/>
Рис. 2
получили бы />. Ночисла /> и /> не имеют общих множителей,поскольку их не имеют числа /> и n,причем />. Значит, />/> –несократимая дробь, которая не может равняться целому числу 2. Мы доказали, чтоне существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2 [1].
Если считать, что числа могут быть только рациональными, то нельзявыполнять операцию извлечения квадратного корня да числа 2 и символ /> следует признать лишеннымсмысла. Он обозначает нечто «потустороннее», не имеющее места в множестве чисел(рациональных чисел). Но такая точка зрения не согласуется с геометрическимсодержанием рассмотренной задачи.
Ведь символ /> вданном случае выражает вполне реальную геометрическую величину – длинудиагонали квадрата, сторона которого принята за единицу. Точка D (см. рис. 2),отстоящая на расстоянии этой длины от точки О, реально существует накоординатной прямой ОА. Положение этой точки может быть указано приближенно слюбой точностью посредством рациональных чисел, которые соответствуют границамсколь угодно малого отрезка, содержащего в себе точку D.
Немаловажно и следующее обстоятельство. Пусть /> есть только символ,которому не соответствует число (в смысле определения рационального числа). Нов ряде случаев операции над такими «потусторонними» объектами, выполняемые поправилам оперирования «настоящими» числами, могут приводить к вполнепосюстороннему результату – рациональному числу. Например,
/>.
Подобные соображения настоятельно склоняли математиков к мысли,что символам />, /> и т.д. соответствуютнекоторые реальные числа, хотя они и не могут быть выражены в виде отношенияцелых чисел. Удивление перед этими «невыразимыми» числами отразилось в ихназвании – иррациональные числа, т.е. числа, не поддающиеся разумномуистолкованию (racio – разум). Именно, в противовес иррациональным числам, числа, которыемогут быть выражены в виде отношения целых чисел, получили название рациональных.
К концу XIX в. была построена теория, истолковывающаярациональные и иррациональные числа с единой точки зрения (теория сечений Дедекинда)[15]. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называетсямножеством вещественных (или действительных) чисел R. Каждому вещественномучислу соответствует определенная точка на координатной оси, и каждой точкекоординатной оси соответствует определенное вещественное число.
Проблемы становления понятия вещественного числа поучительны дляпостижения еще более широкого представления о числе, каковым является числокомплексное. Необходимость введения комплексных чисел связана с потребностьювыразить результаты определенных операций над вещественными числами, неявляющиеся вещественными числами. Не существует такого вещественного числа,квадрат которого был бы отрицательным числом. Поэтому в множестве вещественныхчисел Rнет квадратных корней (а следовательно, и корней любой четной степени) изотрицательных вещественных чисел. Так как квадрат любого вещественного числа /> есть неотрицательное число/>, символ /> удобно применять дляобозначения любого отрицательного вещественного числа. Задача извлеченияквадратного корня из числа /> сводитсяк задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы:
/>.
От Леонарда Эйлера идет обычай обозначать символ /> буквой /> (начальной буквойфранцузского слова imaginaire – мнимый, воображаемый):
/> (2.3)
Этот символ называют мнимой единицей. Тогда для квадратного корняиз произвольного отрицательного вещественного числа получаем обозначение
/>, (2.4)
называемое «мнимым числом />».
В этом названии отразилось то представление, что корень квадратныйиз отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле, что с символом />если и связываетсякакое-либо понятие о числе, то о числе «не настоящем», «выдуманном», «вдействительности не существующем». «Выдумка» в данном случае отстоит гораздодальше от «реальности», подтверждаемой внешней видимостью, чем выдумкаиррациональных чисел.
Каждому иррациональному числу, по крайней мере, соответствуетопределенная точка на координатной оси, а для мнимого числа не удается найтиникакого геометрического истолкования или применения. Длины любых отрезков вчувственно воспринимаемом пространстве выражаются вещественными числами, и неттакого отрезка, для выражения длины которого потребовалось бы мнимое число.
Однако у мнимых чисел есть та важная, общая с иррациональнымичислами черта, что в некоторых случаях операции над символом iy, который не выражаетвещественного числа, приводят все-таки к вещественным числам. Это, прежде всегооперация возведения любого мнимого числа в квадрат:
/>. (2.5)
И более сложные выражения, составленные из мнимых величин, могутсводиться к функциям вещественного аргумента, принимающим вещественноезначение. Например, если с учетом (2.5) сложить два бесконечных степенных ряда
/>
/>/>,

то получится ряд, состоящий только из вещественных членов, сходящийсяк функции 2 cos у:
/>
По мере того как углублялось исследование мнимых чисел и функцийот мнимого аргумента, раскрывалась их важная роль в решении коренныхтеоретических проблем математики, а также прикладных задач. Все настоятельнеепробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимомучислу как к не реальному, «потустороннему» математическому объекту.
Даже в простейших задачах можно усмотреть признаки того, что мнимоечисло в органическом единстве с числом вещественным представляет некий аспектболее глубокого и совершенного понятия числа.
Рассмотрим проблему существования решений некоторых квадратныхуравнений. Если в уравнении
/> (2.6)
дискриминант /> отрицателен,то в множестве вещественных чисел R не найдется корней этого уравнения. В общемслучае их нет и среди мнимых чисел, а лишь специфическое сочетание вещественныхи мнимых чисел позволяет дать выражение корню. Например, применяя формулу решенияквадратных уравнений
/> (2.7)
к уравнению
/> (2.8)

получим
/> (2.1.9)
Подставляя любое из этих выражений в уравнение (2.8) и выполняядействия обычным образом с учетом (2.5), придем к верным числовым равенствам:
/>
Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2–3i корнями уравнения (2.8),хотя и нелегко понять, что они означают.
Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразныхклассов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но вкаждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы.Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корнейквадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но еслидискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда какпервый член – число вещественное. Непонятно, как можно складывать стольразличные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным,ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решениюпроблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корниквадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел – ивещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа иследует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? Вотрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а ведином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в такомкомплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число каквещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаемкомплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываютсяих вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначатьмнимую компоненту с помощью множителя />.При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложениявещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковойприроды) и в качестве суммы их – тоже комплексное число:
/>
В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентойотнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественнойкомпоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может бытьположительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будтовещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можнозаписывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и отсимволического множителя /> примнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимойсоставляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа – напервом месте вещественная, а на втором мнимая.
/> (2.10)
Именно такая форма записи принята в современной теории комплексныхчисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаясяалгебраически форма />. Если требуетсяуказать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную имнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением
/> (2.11)

Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:
/> (2.12)
Когда мы убеждались в том, что комплексные числа />и /> являются корнямиквадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили вквадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения/>. В общем виде это выглядиттак:
/>
Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, ав виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид
/> (2.13)
Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: перваякомпонента произведения равна разности произведений предшествующих членов /> комплексных сомножителей,записанных рядом, и последующих их членов/>,а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов />и внутренних />.
Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическимдействиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает прирассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательнымдискриминантом. В определение комплексных чисел органически включаетсяопределение операций над ними: комплексные числа z представляют собойупорядоченные пары вещественных чисел />,которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13).Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.
Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются какобратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел /> и /> называется такоекомплексное число z, которое удовлетворяет соотношению
/>
Отсюда следует
/> (2.14)
Частным от деления /> на />, />, называется такоекомплексное число z, которое удовлетворяет соотношению />.Из этого условия нетрудно найти
/> (2.15)
Исходя из определения комплексных чисел и операций над ними, убедимсяв том, что комплексные числа, у которых вторая компонента равна нулю, ведутсебя в операциях так же, как вещественные числа:
/>
/>
/>
Результатами всех этих операций являются комплексные числа, у которыхвторая компонента тоже равна нулю. Отбросив ее всюду, мы получим обычныеоднокомпонентные вещественные числа с привычными операциями над ними. Поэтомукомплексное число с нулевой второй компонентой позволительно для краткостиназывать вещественным числом (понимая условность этого выражения). В множествекомплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен вещественному числу -1,т.е. комплексному числу (–1; 0). Согласно правилу умножения (2.13) имеем
(0; 1) (0; 1) = (0 • 0 – 1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = (-1; 0).
Значит, комплексное число (0; 1) и есть тот математический объект,который скрывался за символом />. Всякоекомплексное число, у которого равна нулю первая компонента, даст при возведениив квадрат отрицательное вещественное число:
(0; y) (0; y) = (0 • 0-y • y; 0 • у + у • 0) = (-y 2; 0).
Значит, комплексное число (0; у) и есть тот математический объект,который скрывался за символом />.Поэтому комплексное число с нулевой первой компонентой позволительно длякраткости называть мнимым числом (помня об условности этого выражения). Всякоекомплексное число такого типа может быть представлено в виде произведениясоответствующего вещественного числа на мнимую единицу:
(y;0) (0; 1) = (y• 0 – 0 • 1; y• 1 + 0 • 0) = (0; y)=yi.
Наконец, оперирование с комплексными числами подтверждает, чтопроизведение вещественного числа на мнимое есть число мнимое:
(u; 0) (0; y) = (u • 0 – 0 • y; uy + 0 • 0) =
= (0; uy)=u(iy)=i(uy).
Пока математика не осознала роль комплексного числа как более общегои глубокого понятия числа, считалось, что символу /> несоответствует никакое «настоящее» число, что это число воображаемое, мнимое.Инерция мышления и то обстоятельство, что вплоть до начала XX в. в природе не былиобнаружены отношения, требующие для своего выражения комплексных чисел,заставляли относиться к этим объектам как к искусственному математическомуухищрению, способному, как ни странно, приводить к правильным реальнымрезультатам. В наше время общетеоретические представления, использованиекомплексных чисел для выражения фундаментальных физических законов (в квантовоймеханике и теории относительности), а также для решения многочисленныхприкладных задач убедительно обосновывают реальную полноценность комплексныхчисел. В этих условиях термин «мнимое число» можно сохранять как дань историческойтрадиции, как привычное название определенного подмножества комплексных чисел(с нулевой первой компонентой), но совершенно недопустимо истолковывать его какусловное обозначение выдуманного объекта, которому нет места в объективной,реальности. Приведем в этой связи слова известного советского алгебраиста А.Г. Куроша:«…для современной математики, в отличие, например, от математики XVIII в., в понятиикомплексного числа нет ничего таинственного, эти числа являются столь же мало «мнимыми»,как и числа отрицательные или числа иррациональные» [8].
В связи с тем, что множество С комплексных чисел имеет большуюмощность, чем множество R вещественных чисел, и остается замкнутым относительнобольшего числа операций, в множестве С оказываются определенными такие функции,которые не имеют смысла в множестве R. Прежде всего в множестве С определены корнилюбой целой степени из всех комплексных (в частности, из вещественных и мнимых)чисел. С этим связан важнейший теоретический результат – так называемаяосновная теорема алгебры: всякий многочлен степени /> слюбыми числовыми коэффициентами имеет n корней. Если бы это было не так, то множествокомплексных чисел нуждалось бы в дальнейшем расширении. В множествевещественных чисел нет логарифмов отрицательных чисел. В множестве С определенылогарифмы и отрицательных (вещественных, и любых комплексных чисел (кроменуля). Основные элементарные функции – степенная, показательная,логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические – имеют смыслв множестве комплексных чисел С. Это значит, что аргумент названныхфункций может быть комплексным числом и сами функции принимают комплексныезначения (в частных случаях – вещественные или мнимые).
Известный современный математик Е. Вигнер пишет в статье «Непостижимаяэффективность математики в естественных науках» [3]: «Неискушенному умукомплексные числа не покажутся естественными и простыми а результаты физическихнаблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа… Ничто в нашемповседневном опыте не вынуждает нас вводить такие числа. С другой стороны, еслиу математика попросить объяснить его интерес к комплексным числам, то он не безнегодования укажет вам на прекрасные теоремы, касающиеся алгебраическихуравнений, степенных рядов и вообще аналитических функций, доказательствокоторых стало возможным только благодаря введению комплексных чисел.Математиков никогда не перестанет интересовать это прекрасное достижение их гения…».
Был бы весьма эклектичным в наше время такой взгляд, будто комплексныечисла при всех их достоинствах в области математики являются абстракцией, неимеющей реального существования вне сознания математиков. Естествознаниепрошлого века, и в первую очередь физика, имели дело с таким уровнем познанияявлений природы, что для их математического описания достаточно было однихвещественных чисел. Более глубокий взгляд современной физики обнаруживает вприроде отношения, выражаемые на языке комплексных чисел. Это именно то, чегоне хватало прежде для осознания реальности комплексных чисел. В цитированнойвыше статье [3] Е. Вигнер замечает, что «использование комплексных чисел вквантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; онивходят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики». Другоенаправление физики XX в. – теория относительности – также не обходится безкомплексных чисел, о чем и пойдет речь ниже.2.1.3 Линейные пространствакомплексных чисел
С введением комплексных чисел мы можем расширить понятие линейногопространства. Линейным пространством называется такое множество, в которомопределены две линейные операции: сложение элементов множества и умножениеэлементов множества на вещественные числа. Теперь можно рассматриватьмножества, в которых вторая линейная операция есть умножение элементовмножества на комплексные числа, причем операции удовлетворяют тем же восьмиаксиомам линейного пространства. Такие множества называются комплекснымилинейными пространствами, или линейными пространствами над полем комплексныхчисел. В отличие от них, линейные множества, в которых вторая операция являетсяумножением элементов на вещественные числа, называются вещественными линейнымипространствами, или линейными пространствами над полем вещественных чисел.
Множество комплексных чисел является комплексным линейным пространством,поскольку элементы этого множества можно складывать друг с другом и умножать накомплексные числа. Исходя из определений (2.12) и (2.13) этих операций,нетрудно показать, что для них выполняются все восемь аксиом линейногопространства. Линейное пространство комплексных чисел над полем комплексныхчисел имеет размерность, равную единице. Действительно, выбрав в качествебазиса некоторый ненулевой элемент /> (комплексноечисло />), мы сможем представитьлюбое комплексное число /> в виделинейной комбинации />, где /> – комплексный коэффициент.2.2Геометрия четырехмерного мира Минковского 2.2.1Основные характеристики специальной теории относительности и геометрииМинковского
Рассмотримосновные понятия специальной теории относительности, необходимые для пониманиягеометрии Минковского. Будем называть мировой точкой четыре величины: время итри пространственные координаты. Мировой линией будем называть непрерывную линиюмировых точек. Очевидно, движение материальной точки может быть представлено ввиде мировой линии. Если с мировой точкой происходит какое-то «событие»,способное повлиять на другие точки, считаем, что она посылает «сигнал». Сигналраспространяется с максимальной скоростью распространения взаимодействия(сигнала). Иногда инвариантность максимальной скорости распространениявзаимодействия выносят в отдельный постулат, но вообще-то в этом особого смысланет – это есть следствие принципа относительности и того экспериментальногофакта, что скорость распространения взаимодействия конечна
Пустьсигнал проходит за малое время />расстояние/>. При этом пространственныекоординаты изменились на />, />и />. Следовательно,
/> (2.16)
(потеореме Пифагора, ибо малое перемещение мы можем считать прямолинейным) или же,/>. Теперь, пусть />, />, />, /> – расстояние между двумяпроизвольными близкими событиями. Введем интервал:
/>. (2.17)
/>
Таккак скорость распространения сигнала c не зависит от системы отсчета, нулевой вкакой-то системе отсчета интервал (соответствующий событиям испускания ипринятия сигнала) будет равен нулю и в любой другой инерциальной системеотсчета.
/>/>/>/>/>/>Введенное выше выражение интервала было быпохоже на квадрат длины вектора в 4х-мерном евклидовом пространстве, если бы незнаки. Однако мы можем ввести пространство, в котором длина вектора определяетсяименно таким выражением. Это псевдоевклидово пространство Минковского. Забегаявперед, скажем, что оно характеризуется следующей метрикой: (+1 -1 -1 -1).
Понятию скорости материальной точки соответствует в геометрическойинтерпретации Минковского отношение длин взаимно перпендикулярных отрезков:один отрезок принадлежит вещественному сектору псевдоевклидовой плоскости ипредставляет протяженность в чувственно воспринимаемом пространстве, а другойпринадлежит мнимому сектору и определяет длительность промежутка времени. Этоотношение характеризует наклон мировой линии к оси OY. Такому отношению нетместа в равенствах
/>
В них промежуток времени сопоставляется не с отрезком вещественногосектора, а с отрезком мнимого сектора, определяющим этот же промежуток времени.Нас вводит в заблуждение то обстоятельство, что величина, измеренная в единицахвремени, оказалась по существу своему пространственной протяженностью. Преждеотношение промежутков пространства к промежуткам времени встречалось только вявлении движения материальных точек. Столкнувшись с явлением другого типа, вкотором аналогичное отношение имеет иной геометрический и физический смысл,нужно сделать усилие, чтобы освободиться от власти традиционных представлений иувидеть за знакомой формой новое содержание. Промежуток времени t не имеет самостоятельнойколичественной определенности, с которой можно было бы соотносить длину отрезкаоси ординат. Отношение этой длины к промежутку времени, в сущности, выражаетотношение длины самой к себе. Здесь можно говорить об отношении различныхединиц измерения (мнимых метров и секунд) одной и той же физической величины,но нельзя говорить о скорости.
Мировой проявляющий процесс есть явление качественно иное, чемявление движения материальных точек. К мировому проявляющему процессу понятиескорости неприменимо, он сам порождает явление материальных точек и скоростиматериальных точек. С явлением движения материальных точек сходно по своейгеометрической природе явление распространения светового сигнала. Там и здесьречь идет о восприятии физических объектов, имеющих форму линий, мировых илиизотропных. Поэтому коэффициент с приобретает смысл скорости, если онфигурирует в описании явления распространения света.
Как из классических представлений о мире, так и из модели мира,выдвинутой Минковским, следует, что зрительное восприятие в принципе способнооткрывать нам только прошлые картины мира. В обыденной жизни мы этого незамечаем благодаря громадности (по земным масштабам) значения скорости света.Нам кажется, что все доступные взору тела переживают свой настоящий моментвремени одновременно с нами. В действительности же требуется определенный идаже технически измеримый промежуток времени для распространения световогосигнала на расстояние в несколько метров или сантиметров. Если буквы этоготекста находятся на расстоянии 30 см от глаз читателя, то читатель видиттекст таким, каким он был миллиардную долю секунды тому назад:
/>
Современная техника позволяет измерять промежутки времени в стораз более короткие. А если пользоваться единицей времени, которая применяется вядерной физике (/>), то в такоммасштабе текст читаемой книги виден «из далекого прошлого», отделенного отнастоящего момента читателя миллионом миллиардов единиц ядерного времени. Этаиллюстрация с изменением масштаба призвана подчеркнуть, что в принципе мывсегда видим только прошлое, сколь бы близким оно ни было.
Глубокое философское различие между классической Картиной мира икартиной мира в понимании Минковского заключается в том, как решается вопрос осуществовании прошлого. Если мировое пространство совпадает с чувственновоспринимаемым, то в нем найдется место только для событий настоящего моментавремени. Лишь таких событиях мы привыкли говорить как о реально существующих.Прошлые события мы считаем несуществующими, даже если тела, участвовавшие вних, находятся у нас перед глазами. Когда же и тела не сохранились, несуществованиепрошлого представляется нам совсем бесспорным. Оно было, но его уже нет.Принимая классическую модель мира, мы пользуемся, так сказать, «трехмернымкритерием бытия», согласно которому существует только настоящее, а прошлое, каки будущее, не существует, ибо ему нет места в мировом пространстве. Но видим-томы всегда только прошлое! Стало быть, видим то, чего в мире нет? Разрешениеэтого парадокса возлагалось классической физикой на мировой эфир – среду, в которойраспространяются электромагнитные колебания. Прошлые состояния тел несуществуют, но образы их, запечатленные в возбужденных ими электромагнитныхколебаниях, бережно сохраняются в мировом эфире и способны достигать наблюдателядаже через годы и миллиарды лет. Так «свет умерших звезд доходит». Поиски этойзагадочной среды, которая присутствует всюду, оставаясь неощутимой, привели физикук теории относительности.
В мире Минковского есть место и для настоящих, и для прошлых состоянийматериальных объектов. В нем прошлое существует, но не в смысле «трехмерногокритерия бытия», не в «настоящий момент времени», а в смысле «четырехмерногокритерия бытия»: существует то, что имеет место, проявлено, материализовано впсевдоевклидовом мировом пространстве. Зрительные восприятия раскрывают нам то,что в мире действительно имеется, но раскрывают не все, а лишь то, чтонаходится на изотропных линиях, проходящих через нашу мировую точку. На такихизотропных линиях нет ни одной прошлой мировой точки нашей собственной мировойлинии, и потому мы не видим своих прошлых состояний. На изотропных линиях,проходящих через нас, нет и точек соседних мировых линий, которые имеютодинаковую с нами координату времени в какой-либо координатной системе, ипотому мы не можем видеть одновременные нам состояния других материальныхточек.
До сих пор мыобращали взгляд вдоль изотропных только в прошлое. Но через мировую точку Онаблюдателя проходит, кроме изотропной ОР, изотропная OF, пересекающая в точке F продолжение мировой прямойРА звезды. Ордината точки F соответствует более позднему моменту времени по часамнаблюдателя, чем его настоящий момент в точке О. Не значит ли это, чтоможно увидеть будущее состояние звезды? Необходимое для этого геометрическоеусловие выполнено: длина отрезка OF изотропной равна нулю. Но ни наш повседневныйопыт, ни научные эксперименты не дают свидетельств того, чтобы электромагнитноевоздействие могло приносить информацию о будущем. Этим подтверждаетсяпредставление о проявляющем процессе, совершающемся в мире. Можно восприниматьпо изотропным воздействие от тех точек мировых линий, которые уже проявлены,реализованы, сформированы. Но в тех областях псевдоевклидова пространства, докоторых еще не дошел мировой проявляющий процесс, видеть нечего, ибо там несформировались мировые точки – источники электромагнитного воздействия.2.2.2 Одновременность относительная и абсолютная
Понятие одновременности не допускало различных толкований в классическойфизике: если отсчет времени не зависит от выбора пространственной системы координат,то события, совершающиеся в один и тот же момент времени в какой-либокоординатной системе, являются одновременными и во всякой другой системе.Одновременность, таким образом, выступала в качестве абсолютной характеристикисобытий, не зависящей от выбора системы координат.
В теории относительности понятие одновременности перестает бытьоднозначным, и модель мира Минковского дает этому простое объяснение.Инерциальным системам координат ОХ и О'Х' в одномерном чувственновоспринимаемом пространстве, движущимся относительно друг друга, соответствуютв псевдоевклидовой плоскости мирового пространства ортонормированные системыкоординат OXY и О'Х'У' с различными направлениями осей OY и O'Y'. Удобно рассматриватьсистемы, имеющие общее начало координат О. В каждой ортонормированной системекоординат на псевдоевклидовой плоскости линия одновременности (прямая, накоторой все точки имеют одинаковое значение ординаты у = ct) перпендикулярна к осиординат. На рис. 3 изображены три такие системы: OXY, OX'Y', OX «Y». На осях ординат этихсистем выберем три точки А, В, С, имеющие одно и то же значение ординаты /> в системе OXY, т.е. одновременные внештрихованной координатной системе. Эти же точки имеют уже не одинаковые, аразличные значения ординаты в штрихованной координатной системе OX'Y'.
/>
Рис. 3.
Проведем через точки А, В, С линии одновременности системы OX'Y': у' = у'В,АА', СС'. Пересечения их с осью OY' указывают значения ординаты у' событий А, В, Св штрихованной координатной системе и последовательность событий во времени сточки зрения этой системы: В → А → С. В дважды штрихованной системекоординат OX «Y» линии одновременности у» = y «C, АА», ВВ» показывают,что события А, В, С сменяют друг друга в иной последовательности, а именно: С →А → В.
Для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY', цепочка событий В →А → С обозначает переход от прошлого к будущему (возрастание ординаты y'), а для наблюдателя, связанногос мировой прямой OY», та же последовательность событий В → А → Собозначает переход от будущего к прошлому (убывание ординаты у»). Нельзя пройтимимо этого явления, но следует тут же оговориться, что оно не стольпарадоксально, как кажется на первый взгляд. И нет достаточных оснований длятого вывода, что изменение системы координат способно обратить ход временивспять.
Теория относительности не отрицает абсолютного различия междупрошлым и будущим, а напротив, формулирует четкие условия возможности такогоразличения, которые просто и наглядно интерпретируются в модели мираМинковского. Для того чтобы две мировые точки А и В могли быть одновременными вкакой-либо ортонормированной системе координат OXY псевдоевклидовойплоскости, они должны лежать на перпендикуляре к оси ординат этой системы. Ипоскольку ось OY принадлежит мнимым секторам, прямая, соединяющая точки А и В,должна принадлежать вещественным секторам. Любая ось OY может быть повернута какв положительную, так и в отрицательную сторону, поскольку угол между любымнеизотропным вектором верхнего сектора и каждой изотропной прямой, ограничивающейсектор, бесконечно велик. Поэтому всегда найдутся такие координатные системы OX'Y' и OX «Y», у которых оси ОY' и OY» расположены по разныестороны от оси OY. Если вектор /> имеетотрицательную проекцию на ось OY' (как на рис. 3), то мировая точка Вявляется более ранней в системе OX'Y', чем точка А. При этом проекция вектора /> на ось OY», отклоненную в другуюсторону от OY, окажется положительной, и мировая точка В будет более поздней всистеме OX «Y», чем точка А. Зависимость порядка следования событий от выборакоординатной системы возможна лишь для таких мировых точек А и В, расстояниемежду которыми выражается вещественным числом (вектор /> принадлежит вещественномусектору).
Если же мировые точки Р и F таковы, что расстояниемежду ними выражается мнимым числом (вектор /> принадлежитмнимому сектору) или равно нулю (точки лежат на одной изотропной прямой), товектор /> не может бытьперпендикулярным к какой-либо прямой мнимого сектора. Следовательно, несуществует такой системы координат OXY, в которой мировые точки Р и F могли бы бытьодновременными. Пусть в какой-нибудь координатной системе точка Р являетсяболее ранней, чем точка F (вектор /> принадлежитверхнему сектору или одной из ограничивающих его изотропных прямых). Тогдапроекция вектора /> на любоенеизотропное направление верхнего сектора будет положительной и, значит, влюбой координатной системе событие F будет более поздним, чем событие Р. Другими словами,для мировых точек Р и F, определяющих вектор мнимого сектора или изотропный вектор,инверсия времени (обращение вспять последовательности событий) невозможна нипри каком изменении системы координат, так что событие F является абсолютнобудущим по отношению к событию Р.
На рис. 3 все точки верхнего сектора, исходящего из точки О,включая ограничивающие его изотропные прямые у = х и у = – х, находятся вобласти абсолютного будущего по отношению к точке О, а все точки нижнего секторавместе с ограничивающими его изотропными прямыми – в области абсолютногопрошлого. Из каждой точки псевдоевклидовой плоскости исходят два сектора:сектор абсолютного прошлого и сектор абсолютного будущего. Как отмечено выше,вектор, касательный к любой мировой линии в любой ее точке и направленный всторону роста мировой линии, принадлежит верхнему сектору. Поэтому какую быточку на мировой линии мы ни выбрали, вся мировая линия не выйдет за пределымнимых секторов, имеющих вершину в выбранной точке. А это значит, что на любоймировой линии различие между прошедшим и будущим не может зависеть от выборакоординатной системы и в этом смысле абсолютно. Для точек любой изотропнойпрямой различие между прошедшим и будущим тоже абсолютно.
Если в мире Минковского совершается процесс проявления, то существуютдва типа отношений одновременности и разновременности, основанные на двухразных критериях. Согласно одному критерию порядок следования событий вовремени определяется проекциями соответствующих мировых точек на ось ординат.Этот критерий можно назвать координатно-геометрическим. Им мы и пользовались досих пор. Согласно другому критерию порядок следования событий во времениопределяется очередностью проявления соответствующих мировых точек. Обакритерия приводят к одинаковому результату, когда речь идет о мировых точкаходной и той же мировой линии. Вывод об инвариантности различия между прошедшими будущим на одной мировой линии, полученный на основекоординатно-геометрического критерия, прекрасно согласуется с понятием мировогопроявляющего процесса. Если прошлые участки мировой линии представляют ужесформировавшийся, проявленный материальный объект, а в будущем такого объектанет, поскольку процесс проявления туда еще не дошел, то это физическое различиемежду прошлым и будущим тоже не зависит от выбора координатной системы.
Согласие обоих критериев может нарушиться, когда речь идет о точках,не лежащих на одной мировой линии. На рис. 3 точки Р и F лежат на изотропныхпрямых у = – х и у = х, пересекающихся в точке О. Поэтому точка Р и все точки, расположенныениже нее на прямой PF, являются абсолютно прошлыми по отношению к точке О. Точка F и все точки, расположенныевыше нее на прямой PF, являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но любаявнутренняя точка отрезка PF удалена от мировой точки О на расстояние,выражаемое вещественным числом. Поэтому для каждой внутренней точки отрезка PF найдется такая системакоординат, в которой эта точка одновременна точке О, и найдутся такие системыкоординат, в которых эта точка является либо более ранней, либо более поздней,чем точка О. Например, в координатной системе OXY мировой точке Оодновременна точка N на прямой PF. В координатной системе OX'Y' точке О одновременнаточка Т на прямой PF, а точка N является будущей. В координатной системе OX» Y» точке О одновременнаточка Sна прямой PF, а точка N является прошлой. Это знакомая нам относительностьодновременности, базирующаяся на координатно-геометрическом критерии. Другой жекритерий, основанный на представлении о проявляющем процессе, не допускаеттакой многозначности временных отношений. По этому критерию независимо отвыбора координатной системы возможно лишь одно из трех отношений: 1) мироваяточка N проявляется вместе с точкой О; 2) точка N проявлена прежде точки О; 3)точка Nпроявится после точки О.
Каждый наблюдатель, несомненно, ощущает реальность границы междусвоим проявленным прошлым и непроявленным будущим. В любое мгновение своейжизни он переживает акт проявления и справедливо убежден, что в таком жеположении находятся все другие наблюдатели и неодушевленные предметы. Какая жеточка мировой линии PF проходит акт проявления вместе с точкой О? Здесь мы заменяемсловом «вместе» слово «одновременно», поскольку стало уже привычным пониматьодновременность в смысле координатного критерия. Если есть такие состояниямира, в которых существуют (проявлены) обе мировые точки О и N, и есть такие состояниямира, в которых не существует ни одна из них, но нет таких состояний, в которыходна из этих точек существовала бы, а другая не существовала, то мы скажем, чтоточки О и N проходят акт проявления вместе. Точки, проявляющиеся вместе, заслуживаютназвания абсолютно одновременных.
Координатно-геометрический критерий не допускает абсолютнойодновременности. Поскольку все инерциальные системы координат в чувственновоспринимаемом пространстве равноправны и равноправны соответствующие имортонормированные системы координат в псевдоевклидовом мировом пространстве,суждение об одновременности и разновременности мировых точек с позиций однойкоординатной системы столь же справедливо, как суждение с позиций любой другойсистемы, хотя бы эти суждения и противоречили друг другу. Раз не существуетпривилегированной (абсолютной) системы координат, то не может быть и абсолютнойодновременности.
Но мы основываем понятие абсолютной одновременности не на координатно-геометрическомкритерии и потому не вступаем в логическое противоречие с ним. Больше того, этопонятие не вступает в противоречие и с экспериментальными основаниями теорииотносительности, поскольку экспериментирование с механическими иэлектромагнитными явлениями не позволяет обнаружить абсолютную одновременность.Предположим, что состояние наблюдателя, связанного с мировой прямой OF на рис. 3, изображаетсямировой точкой А. Наблюдатель знает, что он находится на границе междупроявленным и непроявленным и переживает в свой настоящий момент времени актпроявления. Но восприятию наблюдателя в этот момент недоступна мировая точка Вна прямой OF', и потому он не может знать, проявляется ли она вместе с А, былали проявлена раньше или будет проявлена позже. Мировая точка В окажетсядоступной восприятию наблюдателя, когда он будет перенесен ходом проявляющегопроцесса вдоль своей прямой в точку М, лежащую на одной изотропной прямой сточкой В. Но это уже не поможет решению интересующего его вопроса. Фактнаблюдаемости точки В из точки М будет говорить лишь о том, что точка Впроявлена раньше точки М, и ничего не скажет о соотношении моментов проявленияточек В и А. Между тем вполне возможны физические эксперименты, позволяющие наблюдателю,связанному с мировой прямой OF, измерить координаты точки В в его координатнойсистеме OXY. Предположим, что в мировой точке О, где встречаются мировыепрямые OY и OF', наблюдатель из OF произвел установку некоторого отражающего устройствана материальной точке, соответствующей мировой прямой OY'. В последующие моментывремени наблюдатель организует излучение фотонов из мировых точек своей прямой OF таким образом, чтобы вкаждом фотоне (серии фотонов) содержалась информация о том, в какой момент временипо часам наблюдателя произошло излучение. Спустя некоторое время наблюдатель напрямой OF начнет принимать отражения своих сигналов с прямой OF' и отмечать моментыприема сигналов. Располагая такими экспериментальными данными, наблюдательбудет рассуждать следующим образом. Если в его мировой точке М принято отражениесигнала, который был испущен t секунд тому назад, то это значит, что сигнал был послан измировой точки L, отделенной от точки М отрезком длиной />. Отсюда можно найтиординату точки L.
/>.
За время t световой сигнал прошел вдоль оси ОХ туда и назад расстояние
/>
определяющее абсциссу мировой точки В, отразившей сигнал. Ординататочки В равна
/>
На мировой прямой OY такую же ординату имеет точка А:
/>.
Откуда наблюдатель делает справедливое заключение, что его координатнойсистеме мировая точка В одновременна точке А. Однако, как показано выше, отоничего не говорит о том, проявлена ли точка В раньше, позже или одновременно сточкой А. Может возникнуть вопрос: а стоит ли вообще говорить об абсолютнойодновременности, если она экспериментально не обнаруживается? Не следует ли отброситьэто понятие как излишнее и признать, что никакой иной одновременности, кромеотносительной, в природе нет? В действительности такая точка зрения не стольбезупречна, как кажется с первого взгляда. Уже выяснена несостоятельность тогопредставления, что прошлое и будущее в равной мере не существуют, а существуетлишь настоящее. Его придерживалась классическая физика, но оно противоречитотносительности одновременности. Признание же прошлого и будущего существующиминаряду с настоящим было бы еще худшей крайностью.
События, совершающиеся в настоящий момент времени, не вносятизменений в прошлое, не влияют на уже реализованные состояния мира, но будущиесобытия формируются под влиянием прошлых и настоящих. Конечно, в известномсмысле можно сказать, что будущее влияет на настоящее, поскольку, стремясьреализовать свои планы на будущее, мы подчиняем им свои действия в настоящем.Но, апеллируя к умственным способностям и творческим возможностям человека, мывыходим за рамки того круга явлений, в котором определяющую роль играют законымеханики и электродинамики. Да и сам факт, что человек или иное живое существоможет посредством целенаправленной деятельности (хотя бы и неосознанной) повлиятьна ход будущих событий, направить их в то или иное русло, свидетельствует отом, что будущие события еще не реализованы, не проявлены, не существуют. Еслибы будущие мировые точки были проявлены, как и прошлые, то жесткаяпредопределенность управляла бы развитием событий, и наше участие в жизниограничивалось бы только пассивным просмотром существующих состояний мира вопределенной последовательности. Лишилась бы почвы и смысла творческаяактивность, люди не имели бы возможности даже в малейшей степени быть творцамисвоего будущего.
Реальность различия между прошедшим и будущим служит необходимойпредпосылкой определенной направленности процесса течения времени.Термодинамика характеризует положительное направление времени как такоеспонтанное развертывание событий, при котором возрастает энтропия. Вот паранаглядных примеров процессов, протекающих с возрастанием энтропии. Передначалом биллиардной партии шары собраны в правильный треугольник, а послепервого удара они беспорядочно рассеиваются по столу. Обратный ход времениприменительно к этой ситуации выразился бы в том, что разбросанные шары должнысобраться в исходный треугольник, что означало бы уменьшение энтропии системы.Другой пример. Вещество горящей сигареты рассыпается пеплом и рассеивается вокружающем воздухе в виде частиц дыма и газообразных продуктов горения(возрастание энтропии). Обратный ход времени выразился бы в обратнойпоследовательности событий: не только рассеянные частицы собираются в целуюсигарету, но и химические реакции протекают в обратном направлении, синтезируяиз продуктов окисления крошки табака и вещество бумаги (уменьшение энтропии).
Признать, что прошлое физически отличается от будущего как существующееот несуществующего, – значит признать реальность перехода от непроявленного кпроявленному, т.е. реальность проявляющего процесса. Принимая его для каждоймировой линии в отдельности, мы вынуждены ставить и решать вопрос о связи междупроцессами проявления различных мировых линий. Вряд ли возможно представитьтечение времени в мире так, будто проявление каждой мировой линии совершается вполной изолированности, вне всякой связи с другими мировыми линиями.Естественнее полагать, что процесс проявления характеризуется определенными пространственнымиформами в псевдоевклидовом мире Минковского, что совокупность точек, отделяющихна каждой мировой линии проявленную часть от непроявленной, обрисовываетопределенную границу между проявленной и непроявленной областями мировогопространства. Назовем эту границу проявляющим фронтом. Каждое фиксированноеположение проявляющего фронта включает в себя мировые точки, которые вместепереходят от несуществования к существованию, т.е. являются абсолютно одновременными.Поскольку в науке не рассматривался проявляющий процесс в мире Минковского, невозникала мысль и о проявляющем фронте. Но понятие проявляющего фронта с логическойнеобходимостью сопутствует представлению о проявляющем процессе, без него этопредставление не может обрести достаточной четкости.
До сих пор мы рассуждали только о процессе проявления мировых линий,молчаливо допуская, что в промежутках между ними нет материальных объектов ипроявляться нечему. Однако, как показано выше, вектор массы можетхарактеризовать не только мировую линию, но и изотропную. Конечно, вектор массыхарактеризует не саму «пустую» линию как геометрический объект, а физическийпроцесс, связанный с линией. Изотропные прямые проходят через каждую точкупсевдоевклидовой плоскости, но, возможно, не каждая изотропная служитпроводником электромагнитного воздействия. И, по-видимому, подобно тому, какимеются проявленные и непроявленные части мировых линий, должны существоватьпроявленные и непроявленные части изотропных линий. Вспомним, что изотропнымсвойственна двоякая мера длины. В метрическом отношении длина любого отрезкаизотропной равна нулю, и может показаться лишенным смысла представление о процессе,совершающемся на пути нулевой длины. Однако в линейном отношении отрезки однойи той же изотропной различаются своими длинами, что позволяет говорить ораспространении процесса вдоль изотропной. Та точка изотропной, до которойдошел процесс проявления, приобретает физическое свойство, характеризуемое изотропнымвектором массы, благодаря чему в этой точке может быть осуществлена передачаэнергии и импульса от изотропной к мировой линии, если таковая встретится. Втех же точках, до которых процесс проявления еще не дошел, во-первых, нечегопередавать, во-вторых, нечему передавать, поскольку там нет и проявленных точекмировой линии. Изотропные линии в качестве проявляемых объектов заполняют пространствомежду мировыми линиями, и благодаря этому можно (на макроскопическом уровне)представлять проявляющий фронт в псевдоевклидовой плоскости не в виде множестваизолированных точек на мировых линиях, а в виде некоторой сплошной линии, прямойили кривой.
Хотя доступные нам эксперименты не позволяют определить направлениепроявляющего фронта, можно высказать некоторые теоретические соображения наэтот счет. Линия, представляющая проявляющий фронт в псевдоевклидовойплоскости, должна пересекать все без исключения мировые линии, находящиеся вэтой плоскости. Таким свойством обладает всякая прямая, принадлежащаявещественным секторам. Им обладает и кривая линия, у которой касательная влюбой точке принадлежит вещественным секторам, или, иначе говоря, положительнаянормаль к кривой в любой ее точке принадлежит верхнему сектору. Прямолинейныйфронт будет характеризоваться единственным направлением проявляющего движения,перпендикулярным к фронту. Криволинейному фронту отвечает множество перпендикулярныхк нему направлений, по которым распространяется проявляющий процесс.
Такое представление о проявляющем фронте не противоречит координатно-геометрическимразличиям между абсолютно прошедшим и абсолютно будущим. Для наблюдателя,состояние которого изображается на рис. 3 мировой точкой О, абсолютнобудущими являются не только точки его собственной мировой линии, но и точкидругих мировых линий, находящиеся в верхнем секторе. Например, точка F и все более поздниеточки на прямой PF являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но именнотакие точки и не могут быть проявлены в тот момент, когда проявляющий фронтпроходит через точку О, ибо он не выходит за пределы вещественного сектора.Вместе с тем в этот момент неизбежно оказываются уже проявленными все точкинижнего сектора, исходящего из точки О, в частности точка Р и все более ранниеточки на прямой PF. При любом допустимом расположении проявляющего фронта,проходящего через точку О, фронт необходимо пересечет отрезок PF в одной из еговнутренних точек, которая и будет абсолютно одновременной точке О. Вышепоказано, что для любой внутренней точки отрезка PF найдетсяортонормированная система координат, в которой эта точка одновременна точке О.Таким образом, абсолютная одновременность неизбежно примет форму относительнойодновременности в какой-нибудь координатной системе, хотя мы и не можем узнать,в какой именно.
Все релятивистские эффекты, в том числе и относительность одновременности,обусловлены наклоном мировых линий друг к другу. Наш обыденный опыт и опытклассической механики ограничен мировыми линиями, имеющими близкие направления («почтипараллельными»). В таких условиях проявляющий процесс воспринимается с акцентомна абсолютном характере течения времени, и этим объясняется, почему сначаланаука считала одновременность инвариантной. Классическое представление осуществовании абсолютной одновременности правильно отражало фундаментальноесвойство мира, но страдало узостью, поскольку не учитывало богатого разнообразияформ абсолютного процесса проявления. Для, теории относительности, столкнувшейсяс таким разнообразием, была бы грехом односторонности противоположная крайность– отрицание абсолютной одновременности. Не имея возможности экспериментальноопределить направление фронта (абсолютно одновременные точки), мы не знаем инаправления нормали к нему. Практическому измерению доступны только длиныпроявленных участков отдельных мировых линий. Хотя не наложено никакихограничений на численную величину угла между нормалями, направления их ограниченыизотропными прямыми, так что всякая положительная нормаль к проявляющему фронтув псевдоевклидовой плоскости принадлежит одному и тому же мнимому сектору(который мы изображаем на рисунках в виде верхнего сектора). Только в этомсмысле мы и можем говорить об определенности положительного направленияпроявляющего процесса.
Если есть какой-либо реальный физический смысл в представлении обобратном направлении течения времени, то это должно быть не что иное, каквозвращение проявляющего процесса вспять по всем мировым линиям. Тогда надопредставлять мир пульсирующим. Прямое движение проявляющего фронта, врезультате которого вырастает космическое «дерево» мировых линий, дойдя донекоторого предела, сменится возвратным движением. Эта отрицательная фазамирового цикла должна быть фазой «свертывания» проявленного мира. Проявляющийфронт превратится в «стирающий» фронт, который покатится назад, оставляя засобой (там, где в положительной фазе цикла находилась непроявленная областьбудущего) наступающую область непроявленности. Все процессы, протекавшие впрямом цикле с возрастанием энтропии, потекут в обратном направлении суменьшением энтропии. Для того чтобы из рассеявшихся газов, дыма и пепласгоревшей сигареты могла восстановиться целая сигарета, процесс ее «сборки»должен быть целенаправленным и управляемым информацией о структуре и путяхрассеяния исходного объекта. Но вся эта информация естественным образом заключенав проявленных мировых линиях, а целенаправленность обеспечивается тем, чтопроцесс «стирания» идет по проложенным ранее путям и не может привести ни кчему иному, как к тем пунктам, которые были исходными в процессе проявления.2.2.3 Трехмерное псевдоевклидово пространство
До сих пор мы рассматривали мир Минковского в плоском сечении, чтопозволило упростить математический аппарат и представить в наиболее нагляднойформе геометрическую интерпретацию эффектов специальной теории относительности.Однако такое упрощение обедняло картину мира. Чтобы понять, почему мировоепространство кажется нам трехмерным и собственно евклидовым, необходимо перейтик четырехмерной модели мира Минковского, но прежде рассмотрим в качествепромежуточной ступени трехмерное псевдоевклидово пространство.
Трехмерное псевдоевклидово пространство является разновидностьютрехмерного линейного пространства. Вспомним, что линейное пространствообладает метрическими свойствами, если в нем определена операция скалярногоумножения его элементов. Метрические свойства пространства могут бытьисчерпывающе характеризованы метрическими отношениями между векторами базиса.Для того чтобы метрические свойства линейного пространства былипсевдоевклидовыми, в базисе пространства должны быть как векторы вещественнойдлины, так и векторы мнимой длины. Для трехмерного пространства это условиеможет быть выполнено двумя способами:
1) два базисных вектора имеют вещественную длину, а третий – мнимую;
2) одни базисный вектор имеет вещественную длину, а два – мнимую.
По существу оба варианта дают одинаковый тип метрических отношений.Достаточно во втором варианте умножить длины всех базисных векторов на мнимуюединицу, чтобы свести его к первому варианту. По той же причине пространство, вкотором все три базисных вектора имеют мнимую длину, обладает метрическимисвойствами собственно евклидова пространства.
Итак, на основе трехмерного линейного пространства может бытьпостроен по существу только один тип псевдоевклидова пространства. Мы будемописывать его с помощью ортонормированного базиса, характеризуемого следующейтаблицей скалярных произведений:
/> (2.18)
Таблица (2.18) означает, что векторы /> и/> являются вещественно-единичными:
/>
а вектор />– мнимоединичным:
/>
и любые два вектора базиса />,/>, /> взаимно перпендикулярны.
Ортонормированный базис />, />, /> в сочетании сфиксированной точкой О (полюсом) образует трехмерную ортонормированную системукоординат OXYZ (рис. 4). Координатная плоскость OXY имеет базис, состоящийтолько из векторов вещественной длины />,/> и несет на себе собственноевклидову метрику. В координатных плоскостях OXZ и OYZ один из базисныхвекторов (/>) имеет длину, выражаемуюмнимым числом, и эти плоскости несут на себе псевдоевклидову метрику.
Запишем разложения произвольных векторов а и b трехмерного псевдоевклидовапространства по ортонормированному базису:
/>
/> (2.19)
и вычислим скалярное произведение /> сучетом таблицы (2.18):
/>
/>
/>
/> (2.20)
Применяя формулу (2.20) к скалярному произведению вектора на самогосебя, найдем длину (модуль) вектора

/> (2.21)
Координаты радиус-вектора /> вортонормированной системе координат OXYZ будем обозначать буквами х, у, z и называть ихкоординатами точки М, указываемой радиус-вектором:
/> (2.21)
Длина радиус-вектора, согласно (2.22), равна
/> (2.23)
Она обращается в нуль, если координаты удовлетворяют условию
/> или /> (2.24)
Соотношение (2.24) определяет в трехмерном псевдоевклидовом пространствегеометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Этогеометрическое место точек представляет собой уже не две прямые, как впсевдоевклидовой плоскости, а поверхность. Такой поверхности нет в собственноевклидовом трехмерном пространстве. Для того чтобы придать хотя бы условнуюнаглядность описанию метрических свойств трехмерного псевдоевклидовапространства, мы будем отображать его на трехмерное собственно евклидовопространство, пользуясь совпадением линейных свойств этих пространств. Есликаждой точке с координатами х, у, z в псевдоевклидовом пространстве мы поставим всоответствие точку с такими же координатами в пространстве собственноевклидовом, то получим взаимно однозначное отображение одного пространства надругое с сохранением линейных свойств. Именно такое отображение представлено нарис. 4. Метрические свойства псевдоевклидова пространства могут быть переданыв этом отображении лишь условно. Уравнению (2.24), определяющему множествоизотропных; радиус-векторов в псевдоевклидовом пространстве, соответствует всобственно евклидовом пространстве, отнесенном к ортонормированной системекоординат, поверхность прямого кругового конуса с осью OZ. Поэтому и самуотображаемую поверхность (2.24) в псевдоевклидовом пространстве называютконусом, а именно изотропным конусом.
/>
Рис. 4.
Внутренняя область изотропного конуса (2.24), т.е. область, содержащаяось OZ, описывается неравенством
/> или /> (2.25)
Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внутренней областиизотропного конуса, выражается мнимым числом. Внутренняя область состоит издвух полостей. Ту полость, точки которой имеют положительную аппликату (z > 0), мы будемназывать верхней полостью.
Внешняя область изотропного конуса (2.24) описывается неравенством

/> или /> (2.26)
Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внешней области изотропногоконуса, выражается вещественным числом.
Соотношения (2.24), (2.25), (2.26) служат классифицирующими признаками,по которым любые векторы трехмерного псевдоевклидова пространства относятся кодному из трех типов. Если вектор
/>
где бы ни находилась точка его начала, коллинеарен некоторомуизотропному радиус-вектору /> (/>), то координаты вектора аудовлетворяют соотношению типа (2.24):
/>
/>
и вектор а является изотропным. Аналогично, о всяком векторе,коллинеарном какому-нибудь радиус-вектору внутренней области изотропного конуса(2.24), мы будем говорить, что он принадлежит внутренней области (модуль такоговектора выражается мнимым числом). Всякий вектор, модуль которого выражаетсявещественным числом, мы будем называть принадлежащим внешней области изотропногоконуса.
В трехмерном псевдоевклидовом пространстве, как и в пространствесобственно евклидовом, плоскость однозначно определяется нормалью к ней иточкой, принадлежащей плоскости. Рассмотрим множество всех радиус-векторов />, перпендикулярных квектору а. Оно описывается уравнением
/> (2.28),
которое в координатной форме, согласно (2.20), принимает вид

/> (2.29)
В собственно евклидовом трехмерном пространстве уравнению (2.29)соответствует плоскость, проходящая через начало координат. Но принадлежностьмножества точек к одной плоскости является линейным свойством пространства, алинейные свойства у собственно евклидова и псевдоевклидова пространстводинаковы. Значит, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (2.29),лежат в одной плоскости и в псевдоевклидовом пространстве. Это и естьплоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно к вектору а.
Если вектор а принадлежит внутренней области изотропного конуса,т.е. для его координат выполняется условие
/>или /> (2.30)
то все перпендикулярные к а радиус-векторы имеют длины, выражаемыевещественными числами, как нетрудно убедиться. Представим уравнение (4.29) ввиде
/>/> (2.31)
Это можно сделать, так как /> (см.(2.30)). Подставив выражение (2.31) в (2.23), найдем длину радиус-вектора гпроизвольной точки плоскости (2.29):
/>
/> (2.32)

Условие (2.30), наложенное на вектор а, можно переписать в виде:
/>
и получить из него равносильные неравенства
/>
Внося эти неравенства в (2.31), найдем:
/>.
Поскольку выражение в скобках представляет вещественное число,квадрат его не может быть отрицательным числом. Следовательно,
/>
Это означает, во-первых, что среди радиус-векторов />, принадлежащих плоскости (2.27),нет таких, длина которых выражалась бы мнимым числом. Во-вторых, среди них неттаких ненулевых векторов, длина которых равнялась бы нулю, т.е. нет изотропныхвекторов. Таким образом, все ненулевые радиус-векторы точек плоскости (2.27)принадлежат внешней области изотропного конуса. Точка начала координат имеетнулевой радиус-вектор и принадлежит изотропному конусу. Поэтому она оказаласьисключенной из множества точек, удовлетворяющих неравенству />. Однако начало координатпринадлежит плоскости (2.27), так как радиус-вектор /> удовлетворяетуравнению этой плоскости. Итак, мы доказали, что для любого вектора а,принадлежащего внутренней области изотропного конуса, найдется перпендикулярнаяк нему плоскость, в которой нет ни векторов мнимой длины, ни изотропныхвекторов, а есть только векторы вещественной длины. Такая плоскость несет насебе собственно евклидову метрику.
Можно доказать, что плоскость несет на себе псевдоевклидову метрику,если нормаль к плоскости принадлежит внешней области изотропного конуса.
Плоскость, нормаль к которой является изотропным вектором, содержитв себе эту нормаль (изотропный вектор перпендикулярен сам себе) и оказываетсякасательной к изотропному конусу. Такую плоскость называют изотропной. Метрическиесвойства изотропной плоскости очень своеобразны, они отличаются как от собственноевклидовых, так и от псевдоевклидовых. Ортонормированная система координат втрехмерном псевдоевклидовом пространстве может быть выбрана более произвольно.Если иметь в виду физические приложения, следует выбирать мнимоединичный орт /> так, чтобы он принадлежалверхней внутренней полости изотропного конуса. В собственно евклидовойплоскости, перпендикулярной к орту />, можновыбрать произвольно два взаимно перпендикулярных орта />и />.
Так как длина каждого вектора трехмерного псевдоевклидовапространства – величина инвариантная, то свойство определенных ненулевыхвекторов иметь длину, равную нулю, не зависит от выбора системы координат.Значит, всякий вектор, являющийся изотропным в одной координатной системе,остается изотропным и в любой другой координатной системе. Поэтому изотропныйконус является инвариантной конструкцией в трехмерном псевдоевклидовомпространстве. Он обладает замечательным свойством: плоскость, перпендикулярнаяк любой прямой, принадлежащей внутренней области изотропного конуса,пересекается с этим конусом по обычной собственно евклидовой окружности.Рассмотрим две ортонормированные координатные системы OXYZ и OX'Y'Z' с общим началом в точкеО. Изотропный конус с вершиной в точке О описывается в нештрихованной системекоординат уравнением
/>
Плоскость z = h, перпендикулярная к оси OZ, несет на себесобственно евклидову метрику и пересекается с изотропным конусом по кривой
/>
которая является окружностью с центром на оси OZ. В штрихованной системе координатOX'Y'Z' этот же изотропныйконус описывается уравнением />.
Плоскость z' = h, перпендикулярная к оси OZ', тоже является собственноевклидовой плоскостью и пересекается с изотропным конусом по окружности
/>.
В собственно евклидовом пространстве конус, основанием которогослужит круг, а вершина лежит на перпендикуляре к кругу, восстановленном из его центра,называется прямым круговым конусом. Упомянутый перпендикуляр является осью симметрии,и других осей симметрии прямой круговой конус не имеет. Прилагая этот образ кизотропному конусу, приходим к заключению, что всякая прямая, принадлежащаявнутренней области изотропного конуса, является его осью симметрии. И подобнотому, как в двумерном псевдоевклидовом пространстве (плоскости) мы имеем правоизобразить любую пару взаимно перпендикулярных прямых под углом /> на собственно евклидовойплоскости рисунка, так в отображении трехмерного псевдоевклидова пространствана собственно евклидово трехмерное пространство мы имеем право изображать любуюось OZ в виде перпендикуляра к плоскости OXY, а изотропный конус – в видепрямого кругового конуса в этой системе координат.2.2.4 Четырехмерный мир Минковского. Гиперплоскости
На основе четырехмерного линейного пространства могут бытьпостроены различные типы псевдоевклидовых пространств. Если среди четырехвекторов базиса />, />, />, /> этого пространства одинвектор имеет длину, выражаемую мнимым числом, а длины остальных трех вектороввыражаются вещественными числами, то такому пространству присваивается индекс1. Умножив на мнимую единицу длины всех базисных векторов четырехмерногопсевдоевклидова пространства индекса 1, получим пространство индекса 3, имеющеепо существу такие же метрические свойства. Герман Минковский понял, чтореальное мировое пространство обладает такими же линейными и метрическимисвойствами, как псевдоевклидово четырехмерное пространство индекса 1. Длякраткости мы будем называть его также пространством Минковского. Желая принятьво внимание не только геометрические свойства, но и физические объекты ипроцессы в мировом пространстве, мы будем пользоваться термином «мирМинковского».
Ортонормированный базис в четырехмерном псевдоевклидовом пространствеиндекса 1 будем характеризовать следующей таблицей скалярных произведений векторов:
/> (2.33)
Таблица (2.33) говорит о том, что любые два различных вектора вэтом базисе взаимно перпендикулярны, а длины их имеют следующие значения:
/>
/> (2.34)
Запишем разложения произвольных векторов а и b пространства Минковскогопо ортонормированному базису />, />, />, />:
/>
/> (2.35)

и вычислим скалярное произведение /> с учетом таблицы (2.33):
/>. (2.36)
По общему определению – модуль вектора есть корень квадратный изскалярного произведения вектора на самого себя. В пространстве Минковскогомодуль вектора выражается через его координаты следующим образом:
/>. (2.37)
Выберем в пространстве одну точку в качестве полюса О. Совокупностьортонормированного базиса, характеризуемого таблицей (2.33), и полюса Ообразует ортонормированную систему координат OXYZW. Координатырадиус-вектора /> в этой системебудем обозначать буквами х, у, z, w и называть координатами точки М, указываемой концомрадиус-вектора:
/> (2.38)
Рассмотрим, что представляет собой множество точек в четырехмерномпространстве Минковского, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисномуорту /> (к оси OW). От векторной записиэтого условия перпендикулярности
/>
перейдем к координатному выражению

/> (2.39)
Здесь ясно видно, что условием перпендикулярности радиус-вектора />/>кбазисному орту /> являетсяравенство нулю четвертой координаты вектора. При этом три первые его координатых, у, zмогут принимать независимо друг от друга любые значения от /> до />. Но множество всевозможныхлинейных комбинаций вида
/>
образует трехмерное пространство. Таким образом, геометрическоеместо точек в четырехмерном пространстве, описываемое уравнением (2.39),представляет собой трехмерное пространство, а так как любой принадлежащий емувектор перпендикулярен к базисному вектору />,то говорят, что это трехмерное пространство в целом перпендикулярно к направлению/> (к оси OW).
Мы не станем делать попытку наглядно изобразить четырехмерноепространство. Можно, конечно, построить некоторый условный чертеж четырехкоординатных осей, но вряд ли это придаст наглядность геометрическим объектам,которых мы не воспринимаем зрительно. Мы никогда не видели трехмерноепространство «извне» и не представляем, куда направлен перпендикуляр ктрехмерному пространству. Лучше избрать другой путь. В аналитическихсоотношениях, описывающих геометрические объекты четырехмерного мира ввекторной или координатной форме, нетрудно заметить сходство с аналитическимописанием знакомых нам объектов трехмерного мира. Вот этими наглядными образамииз трехмерного мира мы и будем пользоваться как подспорьем, облегчающимформирование представлений о четырехмерном мире на основе математическихформул. Например, уравнение вида (2.39) описывает в случае трехмерногопространства плоскость, перпендикулярную к оси координат W. Но плоскость являетсядвумерным множеством точек, а мы теперь должны иметь дело с трехмерным множеством,описываемым уравнением (2.39). Чтобы подчеркнуть сходство этого множества сплоскостью и отличие от нее, его называют гиперплоскостью. Базис плоскостисостоит из двух векторов, базис гиперплоскости в четырехмерном пространствесостоит из трех векторов. В частности, для гиперплоскости (2.39) базисомявляются векторы />, />, />, входящие в составортонормированного базиса четырехмерного пространства Минковского. Поскольку длиныэтих трех векторов выражаются вещественными числами, приходим к заключению, чтогиперплоскость (2.39) несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. являетсяхорошо знакомым нам трехмерным собственно евклидовым пространством.
Возьмем на оси OW какую-нибудь точку Р, отличную от точки началакоординат О. Три первые координаты точки Р равны нулю, а четвертая отлична отнуля: />. Запишем координатныйстолбец радиус-вектора /> точки Р:
/>
Разность любого радиус-вектора />ирадиус-вектора /> есть связанныйвектор, имеющий своим началом точку Р:
/>
Те из векторов />,которые перпендикулярны к базисному орту />,удовлетворяют векторному уравнению
/>
Оно выражается в координатной форме следующим образом:
/>
/>
/>
/> (2.40)
Как и в предыдущем примере, условие перпендикулярности векторов /> к оси OW свелось к обращению внуль их четвертой координаты />, а трипервые координаты х, у, z этих векторов могут принимать любые значения. Точки,указываемые концами векторов />,подчиненных условию (2.40), образуют трехмерное множество, которое тожеявляется гиперплоскостью, перпендикулярной к оси OW. В гиперплоскости (2.40)нет ни одной точки гиперплоскости (2.69), так как у всех точек гиперплоскости(2.39) четвертая координата w равна нулю и эти точки не могут удовлетворять уравнению(2.40). Значит, гиперплоскости (2.39) и (2.40) не пересекаются, и их следуетназвать взаимно параллельными. Подобно тому как мы представляем трехмерноепространство состоящим из параллельных плоских слоев, или в виде бесконечногомножества параллельных плоскостей, нанизанных на перпендикулярную к ним прямую,так следует представлять четырехмерное пространство в виде бесконечногомножества взаимно параллельных гиперплоскостей (трехмерных пространств),нанизанных на перпендикулярную к ним ось OW.
Рассмотрим теперь множество радиус-векторов, перпендикулярных кбазисному орту />, (к оси ОХ). Ввекторной форме это условие перпендикулярности выражается уравнением
/>
а в координатной форме принимает следующий вид:
/>

/> (2.41)
У радиус-векторов рассматриваемого множества первая координатаравна нулю, а три другие координаты могут принимать независимо одна от другойпроизвольные значения от /> до />. Множество всех линейныхкомбинаций
/>
представляет трехмерное пространство (гиперплоскость), в которомлинейно независимые векторы />, />, /> играют роль базиса. Таккак длины векторов /> и /> выражаются вещественнымичислами, а длина вектора /> – мнимымчислом, заключаем, что гиперплоскость (2.41) несет на себе псевдоевклидовуметрику, т.е. представляет такое же трехмерное псевдоевклидово пространство,как описанное в предыдущей главе.
Нетрудно показать, что множество точек, у которыхрадиус-векторы перпендикулярны к базисному орту />,представляет псевдоевклидову гиперплоскость OXZW с базисом />, />, />, описываемую уравнением />. Уравнению z = 0 соответствует вчетырехмерном пространстве Минковского псевдоевклидова гиперплоскость OXYW с базисом />, />, />, перпендикулярная ккоординатной оси OZ.
/>
Рис. 5.

Теперь понятно, почему условное изображение координатнойсистемы OXYZW в виде четырех осей (рис. 5) практически бесполезно длясоздания наглядного представления о четырехмерном пространстве. Такой рисунокне помогает нам увидеть какую-либо гиперплоскость как трехмерное пространство,вне которого существуют другие трехмерные пространства. Мы сможем увидеть влучшем случае лишь четыре плоскости OXY, OYZ, OZW, OXW, а не координатные гиперплоскости. Каждая изуказанных плоскостей представляет лишь пересечение двух координатныхгиперплоскостей. Например, гиперплоскость /> (OXYZ) пересекается сгиперплоскостью /> (OYZW) по плоскости OYZ. Действительно,гиперплоскости /> принадлежат всерадиус-векторы, являющиеся линейными комбинациями вида
/>,
где х, у, z – любые вещественныечисла. Гиперплоскость х = 0 представляет множество радиус-векторов, являющихсялинейными комбинациями вида
/>,
где у, z, w – любые вещественные числа. Обеим гиперплоскостям принадлежат лишьте радиус-векторы, которые являются линейными комбинациями вида
/>
Но множество таких радиус-векторов и естьплоскость, параллельная базисным ортам е2, е3 и проходящаячерез точку О, ч. е. плоскость OYZ.
Рис. 5 демонстрирует замечательную чертучетырехмерного мира, о которой мы не имеем представления в мире трехмерном.Плоскости OYZ и OXY, изображенные на рис. 5.пересекаются по прямой OY, что для нас привычно. Ноплоскость OYZ пересекается с плоскостью OXW в одной-единственнойточке О. Представитьнаглядно этот удивительный факт мы не можем, но в справедливости его легкоубедиться аналитическим путем. Различие этих двух случаев пересеченияплоскостей связано с тем, что плоскости OYZ и OXY принадлежат одному и томуже трехмерному пространству (гиперплоскости OXYZ), а плоскости OYZ и OXW не умещаются в одномтрехмерном пространстве (принадлежат различным гиперплоскостям).
Согласно (2.36) длина радиус-вектора (2.37) равна
/> (2.42)
Она обращается в нуль, если координатырадиус-вектора удовлетворяют условию
/>, или />. (2.43)
Соотношение (2.43) определяет в четырехмерномпсевдоевклидовом пространстве индекса 1 геометрическое место точек,радиус-векторы которых являются изотропными. Что представляет собой этогеометрическое место точек?
Прежде всего, замечаем, что уравнение (2.43) посвоей структуре похоже на уравнение (2.24) изотропного конуса в трехмерномпсевдоевклидовом пространстве. За формальным сходством этих уравненийобнаруживается глубокое геометрическое родство описываемых ими объектов.Рассмотрим пересечение геометрического места точек (2.43) с координатной гиперплоскостьюUYZW:
/>. (2.44)
Гиперплоскость OYZW является трехмерным псевдоевклидовымпространством, а уравнение (2.44) представляет изотропный конус этогопространства. Аналогичным образом пересечения геометрического места точек(2.43) с двумя другими псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями OXYW и OXZW являются изотропнымконусами этих гиперплоскостей:
/>
/>.
Но с собственно евклидовой координатнойгиперплоскостью OXYZ множество точек, удовлетворяющих уравнению (2.43),пересекается в одной-единственной точке:
/>
Это точка начала координат, служащая вершинойтрех рассмотренных выше изотропных конусов в псевдоевклидовых координатныхгиперплоскостях.
Естественно считать множество точек,удовлетворяющих уравнению (2.43), обобщением конической поверхности на случайбольшего числа измерений и назвать его изотропным гиперконусом. Гиперконуспредставляет трехмерное множество точек в четырехмерном пространстве,аналогичное двумерной конической поверхности в трехмерном пространстве.
Продолжая аналогию между изотропным конусом иизотропным гиперконусом, назовем внутренней областью гиперконуса (2.43)множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
/> или />.
Согласно (2.42) длина радиус-вектора любой точкивнутренней области изотропного гиперконуса выражается мнимым числом. Недостатокнаглядности в представлении о четырехмерной внутренней области изотропногогиперконуса мы можем частично восполнить, рассматривая пересечения этой областис псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями:
/>
/>
/>
Оказывается, внутренняя область изотропногогиперконуса пересекается с каждой псевдоевклидовой гиперплоскостью, проходящейчерез вершину гиперконуса, по внутренней области изотропного конуса этой гиперплоскости.
/>
Рис. 6.
Здесь будет полезна наглядная иллюстрация спонижением размерности: вместо четырехмерного псевдоевклидова пространстваиндекса 1 рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, авместо псевдоевклидовой гиперплоскости – псевдоевклидову плоскость. Как виднона рис. 6, внутренняя область изотропного конуса пересекается с плоскостьюпо внутренней области, мнимых секторов плоскости. Если не выходить изпсевдоевклидовой плоскости, то за пределами мнимых секторов можно найти тольковещественные секторы. Но, выйдя из плоскости в трехмерное пространство, мынайдем вне мнимых секторов плоскости внутреннюю область изотропного конуса (вчастности, мнимые секторы другой плоскости). Аналогичным образом, оставаясь втрехмерном пространстве, мы обнаруживаем за пределами внутренней областиизотропного конуса только его внешнюю область. Но если выйти из трехмерногопространства в четырехмерное, то вне внутренней области изотропного конусанайдется внутренняя область изотропного гиперконуса (в частности, внутренняяобласть изотропного конуса другой гиперплоскости).
Аналогичное сравнение можно провести для внешнихобластей изотропного гиперконуса четырехмерного пространства Минковского,изотропного конуса трехмерного псевдоевклидова пространства и вещественныхсекторов псевдоевклидовой плоскости. Внешняя область изотропного гиперконусасостоит из точек, координаты которых удовлетворяют условию
/>
или
/> (2.46)
Все векторы четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1независимо от точки их приложения можно разбить на три класса по признаку ихпринадлежности к одной из трех областей. Мы будем говорить, что произвольныйвектор
/>
принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, если его координатыудовлетворяют условию
/>
аналогичному условию (2.45) для радиус-векторов, длина (модуль)всякого вектора внутренней области выражается мнимым числом (см. (2.37)). Мы будемговорить, что произвольный вектор а принадлежит внешней области изотропногогиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию
/>,
аналогичному условию (2.36) для радиус-векторов. Длина (модуль)всякого вектора внешней области выражается вещественным числом. Наконец, если координатывектора а удовлетворяют условию
/>
то вектор а является изотропным и коллинеарным некоторомурадиус-вектору, принадлежащему изотропному гиперконусу (2.43).
Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского множество всехрадиус-векторов />,перпендикулярных к ненулевому вектору а. Это множество определяется уравнением
/> (2.47)
которое в координатной форме, согласно (2.36), принимает вид
/> (2.48)
Уравнение (5.16) линейное (все переменные входят в него только впервой степени), как и уравнение плоскости (2.29), но в уравнении (2.48) большепеременных, причем три из них могут принимать независимо друг от друга любыезначения. Это говорит о том, что уравнение (2.48) определяет в четырехмерномпространстве трехмерное множество точек, аналогичное плоскости, т.е.гиперплоскость общего положения (проходящую через начало координат). Вектор а вуравнении (5.47) называют нормалью к гиперплоскости, потому что всякийрадиус-вектор, принадлежащий этой гиперплоскости, перпендикулярен к вектору а.
Проводя такие же рассуждения, но уже для четырех переменных,нетрудно доказать, что если нормаль а к гиперплоскости (2.48) принадлежитвнутренней области изотропного гиперконуса, то гиперплоскость несет на себесобственно евклидову метрику, т.е. является трехмерным собственно евклидовымпространством. Можно также доказать, что гиперплоскость, нормаль к которойпринадлежит внешней области изотропного гиперконуса, несет на себепсевдоевклидову метрику, т.е. является трехмерным псевдоевклидовымпространством такого же типа, как рассмотренное выше. Наконец, гиперплоскость,перпендикулярная к изотропному вектору, содержит в себе этот вектор и обладаетспецифическими метрическими свойствами, отличными от собственно евклидовых ипсевдоевклидовых свойств. Такую гиперплоскость называют изотропной. В нейсодержатся векторы вещественные длины, но нет ни одного вектора мнимой длины иимеется только одно изотропное направление. Это значит, что изотропнаягиперплоскость не проникает во внутреннюю область изотропного гиперконуса иимеет с ним только одну общую прямую, т.е. является касательной гиперплоскостьюк изотропному гиперконусу.
3. Эксперимент
Практическиезанятия по теме «Геометрия Галилея и Минковского».
Цели: 1. Формирование знаний обэтапах решения задач на построение и умений их осуществлять;
1. Формированиепредставлений об основных методах решения задач на построение;
2. Формированиенавыков самостоятельной работы.
Планзанятий:
  Этапы изучения темы
Тема занятия
Количество часов
1. Пропедевтический
этап
Основы конструкти-
вной геометрии. Ос-
новные геометричес-
кие построения.
2
2. Систематический
этап
1. Метод пересечения фигур
2. Алгебрaический
метод
3. Метод параллель
ного переноса
4. Метод подобия
5
3. Итоговый этап
Самостоятельная ра-
бота
1 Практические занятия по теме «Методы решениязадач на построение»
Занятие 1Тема: Основы конструктивной геометрии
Цели: 1.Ознакомление с основными требованиями конструктивной геометрии;
1. Формированиесистемы аксиом инструментов построения: линейки, циркуля, двусторонней линейки,прямого угла.
Оборудование:
1. Рассмотренныевыше инструменты;
2. Плакаты,отражающие основные свойства конструктивной геометрии.
Методы исредства:
1. Лекцияс включённой беседой;
2. Параллельнаяработа учителя у доски, а учащихся в тетради;
3. Самостоятельнаяработа учащихся в тетради.
План-коспектзанятия:
1. Организационныймомент.
2. Вступительнаябеседа и объяснение нового материала.
Преподаватель:Данные занятия затрагивают основные моменты очень интересного разделагеометрии, который называется конструктивная геометрия. Как раздел общейгеометрии, она изучает геометрические построения. В конструктивной геометриисуществуют основные требования.
1. Каждаяданная фигура построена;
2. Еслипостроены две или более фигуры, то построено их соединение;
3. Еслидве фигуры построены, то можно установить является ли их пересечение пустыммножеством;
4. Еслиразность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность построена;
5. Можнопостроить точку, заведомо принадлежащую или не принадлежащую построеннойфигуре.
Преподаватель:Каждая задача на построение состоит из требования построить ту или иную фигурупри помощи данных соотношений между элементами искомой фигуры и элементамиданной фигуры, используя данный набор инструментов. Мы будем рассматриватьпостроения при помощи циркуля и линейки.
Такимобразом, каждая построенная фигура, удовлетворяющая требуемым условиям задачи,называется решением задачи. Найти решение задачи на построение, – значит,свести её к конечному числу из некоторых элементарных построений, то естьуказать пошаговую последовательность построений, после выполнения которых мыполучим искомую фигуру.
Решить задачуна построение, – значит найти все её решения. А теперь рассмотрим элементарныепостроения (см. Глава 1, § 1,2).
Преподаватель:На уроках геометрии вы уже выполняли некоторые простые задачи на построение.Давайте вспомним какие.
Учащиеся:Деление отрезка пополам, деление угла пополам, построение треугольника по двумсторонам и углу между ними, по трём сторонам, по двум углам и прилежащей стороне.
Преподаватель:Правильно. Попытайтесь самостоятельно выполнить эти построения.
Каждомуученику предлагается задача на построение.
Предлагаемыезадачи:
1. Разделитеотрезок пополам.
2. Разделитеугол пополам.
3. Постройтетреугольник по двум сторонам и углу между ними.
4. Постройтетреугольник по трём сторонам.
5. Постройтетреугольник по двум углам и прилежащей стороне.
Домашнеезадание: Выполнить нерассмотренные задачи на построение.Заключение
На основе четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1может быть построена такая модель мира, которая всецело согласуется соспециальной теорией относительности, даже объясняет ее и постулаты Эйнштейна, ипри этом ни в чем не противоречит той картине мира, которую рисуют намчувственные восприятия.
Вообще на изотропной плоскости угол между векторами может приниматьлишь одно из двух значений: угол между любыми неизотропными векторами равеннулю, угол между любым неизотропным вектором и изотропным равен />. Все изотропные прямые на изотропнойплоскости параллельны между собой, но отношение параллельности, как линейноесвойство пространства, само по себе не характеризуется величиной угла. Вместе стем изотропные прямые изотропной плоскости перпендикулярны одна другой и каждаясамой себе. Метрическому отношению перпендикулярности изотропных несоответствует определенная величина угла.
Изспециальной теории относительности следует, что пространство и время не независимы:при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой пространственные координатыи время преобразуются друг через друга посредством преобразований Лоренца.Введение пространства Минковского позволяет представить преобразования Лоренцакак преобразование координат событий x1, x2, x3,x4 при поворотах четырехмерной системы координат в этомпространстве.
Своеобразиегеометрии пространства Минковского определяется тем, что расстояние между двумяточками (событиями) определяется квадратами составляющих четырехмерного векторана временную и пространственные оси с разными знаками. Вследствие этогочетырехмерный вектор с отличными от нуля составляющими может иметь нулевуюдлину; это имеет место для вектора, соединяющего два события, связанныхсветовым сигналом.
Геометрия пространстваМинковского позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффектыспециальной теории относительности (изменения длин и скорости течения временипри переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой) и лежит в основесовременного математического аппарата теории относительности.

Литература
1. Алгебра,геометрия. Пробные учебники для 7 класса средней школы. – М.: Просвещение,1983, с. 72.
2. Барсуков А.Н. Алгебра,ч. 1.–М.: Учпедгиз, 1958, с. 50.
3. Вигнер Е. Непостижимаяэффективность математики в естественных науках // УФН. – 1968.–Т. 94,вып. 3.–С. 537, 540.
4. Головина. Л.И. Линейнаяалгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985, с. 83.
5. Дубнов Я.С. Основывекторного исчисления, ч. 1. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950, с. 21.
6. Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981, с. 46.
7. Ильин, В.А.,Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984, с. 41, 82.
8. Курош А.Г. Курсвысшей алгебры. – М.: Гостехиздат, 1952, с. 9.
9. Принципотносительности. Сборник работ по специальной теории относительности. – М.:Атомиздат, 1973, с. 173, 167, 168.
10. Рашевский П.К. Римановагеометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967, с. 86, 296.
11. Савельев II, В. Курс общейфизики, т. 1. – М.: Наука, 1986, с. 51.
12. Сазанов А.А. Четырехмерныймир Минковского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – (Пробл. науки итехн. прогресса). – 224 с.
13. Сойер У.У. Прелюдияк математике. – М.: Просвещение, 1972, с. 8, 54.
14. Угаров В.А. Специальнаятеория относительности. – М.: Наука, 1977, с. 315–332, 146.
15. Фихтенголъц Г.М. Основыматематического анализа, т. 1. – М.: Наука, 1968, с. 16.
16. Храмов Ю.А. Физики.Биографический справочник. – М.: Наука, 1983, с. 169, 278, 225.
17. Шабат Б.В. Введениев комплексный анализ, ч. 1. – М.: Наука, 1985, с. 5.