Введение
Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человеких использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числамии шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, такиекак 13, 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные,и не только для математиков, числа p и е.Эти числа имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно спомощью цифр. Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел π ие. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определенияне хватило бы и триллиона десятичных знаков.
«Математиками изучены последовательности цифр е иp, и выяснено, что все цифры в этом числевстречаются с одинаковой частотой». Эти числа могут заворожить своей непокорностью,в особенности p. «Этому числу удавалосьв течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только математиков и астрономов,но и философов и художников». Тратились годы для вычисления нескольких десятичныхзнаков числа p.
История числа p
«Письменная история числа p начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годомдо нашей эры, но оно было известно еще древним людям. Число p обратило на себя внимание людей ещё в те времена,когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, нисвоих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1,2,3,4,… стали неразлучнымиспутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины,площади или объёмы, люди познакомились с числом p.Тогда оно ещё не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль игралочисло 3. Нетрудно понять, почему числу pуделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности иеё диаметром, оно появилось во всех расчётах связанных с площадью круга или длинойокружности». Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не безудивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известнокак число пи. Безусловно, к такому выводу могли прийти только после того, как кряду натуральных чисел добавились дробные или рациональные числа. Так египтяне получилирезультат: /> В дальнейшем Архимед, используя метод верхних и нижних приближений,получает следующие границы числа пи. Индусы в V-VI веках пользовались числом />, китайцы — числом />
«Обозначение числа pпроисходит от греческого слова /> (»окружность").Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, нообщепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематическиупотреблять Леонард Эйлер". В конце 18 века И. Ламберт и А. Лежандр установили,что p иррациональное число, а в 1882 годуФ. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, т.е. не может удовлетворять никакомуалгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
На протяжении всего существования числа p, вплоть до наших дней, велась своеобразная«погоня» за десятичными знаками числа p. Леонардо Фибоначи около 1220года определил три первых точных десятичных знаков числа p. В 16 веке Андриан Антонис определил 6 такихзнаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким жеспособом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников.Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил 20 точныхдесятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа p. В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков послезапятой числа p, в 1847 году Т. Клаузенполучает 248 знаков, в1853 Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаковполучает З. Дазе и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков. «С появлениемЭВМ количество верных знаков десятичных знаков резко возрастает:
1949 год — 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958год — 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, IBM-704), 1961 год — 100000 десятичныхзнаков (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 год — 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, М.Буйе, CDC-7600), 1986 год — 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, Cray-2), 1987год — 134217000 десятичных знаков (Я. Канада, NEC SX2), 1989 год — 1011196691 десятичныхзнаков (Д. Гудновски и Г. Гудновски, Cray-2+IBM-3040)»
При вычислении верных десятичных знаков числа p пользовались различными способами, некоторые,как и Архимед вычисляли периметры вписанных и описанных n-угольников, но позднеестали прибегать к помощи рядов.
Так Лейбниц вычислял с помощью ряда:
/>
Шарп применил ряд:
/>
Л. Эйлер с помощью ряда:
/>
З. Дазе использовал ряд.
Джон Валлис (1616-1703) нашёл бесконечное произведение, с помощьюкоторого можно вычислить число пи:
/>
Определение числа p
Теорема: Отношение длины окружности к её диаметру одинаководля всех окружностей.
Доказательство.
Обозначим через L — длину окружности, через d — её диаметр, то формулировка теоремы запишется следующим образом: /> Рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиусаr со стороной аn и периметром Рn, то/> Докажем, что отношение одинаково для всех окружностей. Рассмотрим двепроизвольные окружности с вписанными в них правильными n-угольниками. Изподобия треугольников АОВ и А1О1В1 следует, что/> т.к. окружности брали произвольные, то это равенство будет справедливодля всех окружностей. Итак,/>для всех окружностей,следовательно /> Это отношениедлины окружности к её диаметру принято обозначать греческой буквой «p».
Определение: Числом pназывается отношение длины окружности к её диаметру.
История числа е
Число />появилось сравнительнонедавно. Его иногда называют «неперовым числом» в честь изобретателя логарифмовшотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно, так какнет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление"[10]. Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Онтакже вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представлениечисла е в виде бесконечного числового ряда: />полученное ДанииломБернули (1700-1782). «В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа е.Л.Эйлер получил замечательный результат, связывающий числа е, p, и/>: />. Ему принадлежит и заслуга определения функции />длякомплексных значений z, что положило начало математическому анализу в комплекснойобласти — теории функций комплексного переменного» [10]. Эйлером были полученыследующие формулы: /> Рассматриваютлогарифмы по основанию е, называемые натуральными и обозначаются Lnx.
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел:
/> (второй замечательныйпредел) .
Как сумма ряда:
/>или />.
Как единственное число a, для которого выполняется
/>
Как единственное положительное число a, для которого верно
/>
Свойства
/> Данноесвойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например,единственным решением дифференциального уравнения />являетсяфункция />, где c — произвольная константа.
Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первоечисло, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентностьбыла доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
/>, см. формула Эйлера, в частности
/>
Ещё одна формула, связывающая числа е и π,т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
/>
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
/>
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующимобразом:
/>,то есть
/>
/>
Представление Каталана:
/>История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландскогоучёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов»(1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числаx был равен
/>.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводуна английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно,потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых изкинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математикОтред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернуллипри анализе следующего предела:
/>
Первое известное использование этой константы, где она обозначаласьбуквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первойпубликацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении,изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называютчислом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c,буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно.Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential(«показательный», «экспоненциальный»). Другое предположениезаключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольношироко использовались в иных целях, и e была первой «свободной»буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую буквув своей фамилии (нем. Euler) [источник не указан334 дня] .Мнемоника
Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали,но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (нужно выписать подрядцифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую послепервого знака)
Запомнить как 2,7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.
Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рожденияЛьва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45,90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этогоправила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дваждыЛев Толстой»
Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистскойГерманией, затем дважды этот год и снова он»
Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном:2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания,повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренныйпрямоугольный треугольник.
С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»:нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 −1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки):
/>.
Запоминание e как />.
Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагаетe равным />.Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением />.
«Правило Боинга»: />даётнеплохую точность 0,0005.
Стишки:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.
Доказательство иррациональности
Предположим, что />рационально. Тогда />,где /> - целое, а /> - натуральное и больше 1,т.к. /> - не целое. Следовательно
/>
Умножая обе части уравнения на />, получаем
/>
Переносим />в левуючасть:
/>
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
/> - целое
/>
Но с другой стороны
/>
Получаем противоречие.Интересные факты
В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерениикомпании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляетсобой первые 10 цифр известной математической константы.
В языках программирования символу e в экспоненциальнойзаписи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историейсоздания.
Ссылки:
История числа e (англ.)
e for 2.71828… (англ.) (история и правило Джексона)
Горобец, Борис Соломонович. Мировые константы в основныхзаконах физики и физиологии // Наука и жизнь. — 2004. — № 2. — статья с примерамифизического смысла констант π и e.Числа с собственными именами
Если мы вспомним, что число е = 2,718281828., то увидим, чтооснование логарифмов Бюрги отличается от числа е только начиная с четвертого десятичногознака. Иоганн Кеплер, понимавший огромное значение таблиц Бюрги для вычислений,настойчиво рекомендовал ему опубликовать свой метод ко всеобщему сведению, но Бюргимедлил, и получилось так, что в печати раньше появились таблицы логарифмов другогоавтора. Таблицы Бюрги были изданы в 1620 г., а на 6 лет раньше (в 1614 г.) ДжонНепер опубликовал составленные им таблицы под названием «Описание удивительнойтаблицы логарифмов». Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) тоже не был специалистом-математиком.Он делил свои интересы между многими отраслями знания, причем главным образом занималсявопросами, имевшими непосредственное приложение к жизни. Так, он изобрел несколькосельскохозяйственных машин, а также некоторые военные приборы. В области математикиНепер интересовался главным образом вопросами вычислительного характера, отыскиваяспособы для облегчения счета. Так, в сочинении «Рабдология», изданномв год его смерти, он описывает свой прибор, который в наше время носит название«неперовы палочки» и служит хорошим методическим пособием в школе. Этотприбор состоит из десяти основных палочек, на которых помещена таблица умножения.Левая палочка неподвижна, а все остальные могут менять свои места. В каждом квадратикетаблицы проведены диагонали, причем в нижней части квадратика помещаются единицычастных произведений таблицы умножения, а в верхней — десятки. При помощи прибораНепера можно производить умножение и деление чисел, причем умножение заменяетсясложением, а деление вычитанием. Если, например, нужно умножить число 684 на 4,то для этого ставим рядом палочки, имеющие сверху числа 6, 8 и 4, и обращаем вниманиена клетки этих палочек, стоящие в одной строке с 4.
Список литературы
1. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т. II. — М.: Просвещение1972.
2. Кымпан Ф. История числа p.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
3. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. — Саранск, 1987.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа т. I, II. — М.: Государственноеиздательство технико-теоретической литературы, 1956.
5. Болтянский В. Экспонента. // Квант, 1984 №3.
6. Звонкин А. Что такое p// Квант, 1978 №11.
7. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Квант, 1979 №8.
8. Калейдоскоп Число p. // Квант,1996 №6.