Практическая работа
На тему: «Вычисление наибольшего, наименьшего значенияфункции в ограниченной области»
Цель
1. Ознакомление иприобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции вограниченной области.
Основные вопросы:
1.Наибольшее инаименьшее значение функции.
2.Ограниченная область.
3.Равномернонепрерывная функция.
Еслифункция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченнойобласти D, то в этой области найдется, по крайней мере, однаточка
N(x0, y0, …), такая,что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая,что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшеезначение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшеезначение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает покрайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определенаи непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m –соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то длялюбой точки m Î [m, M] существуетточка
N0(x0, y0, …) такая, чтоf(x0, y0, …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D всепромежуточные значения между M и m. Следствиемэтого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков,то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …),непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограниченав этой области, если существует такое число К, что для всех точек области вернонеравенство />
Свойство. Если функция f(x, y, …) определенаи непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномернонепрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа eсуществует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2,у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполненонеравенство
/>
Точки, в которыхфункция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутойобласти, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Еслинаибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, тоэто точки локального экстремума функции z = f ( x, y ). Таким образом точки,в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либолокальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобынайти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x, y ) в ограниченнойзамкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точкахобласти D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Еслиграница задана уравнением ϕ ( x, y ) = 0,то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границеобласти D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютногоэкстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D — ϕ( x, y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешитьуравнение ϕ ( x, y ) = 0 относительно однойиз переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их вуравнение z = f ( x, y ), то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшегозначений функции одной переменной. Если уравнение ϕ( x, y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных илиневозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится котысканию условного экстремума.
Правило нахождения наибольшегои наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х; у)состоитв следующем:
1. Найти всекритические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции вних;
2. Найти наибольшее инаименьшее значения функции z = ƒ(х; у) на границах области;
3. Сравнить всенайденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.
Задачи:
1.Найтинаибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + хув замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х =1, х = 2, у = -1,5
/>
Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у,z'y=х2+2ху+х.
Находим все критическиеточки:
/>
Решением системыявляются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точекне принадлежит области D.
2.Исследуемфункцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА
На участке АВ:
/>
/>
Значения функции z(-1)= -1,
/>
На участке ВС:
/>
/>
Значения функции z(1) =3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
/>
z'y=4у+6,4у+6=0, у=-3/2.
Значения функции
/>/>
На участке АЕ: