КУРСОВА РОБОТА
«Властивостілінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійногооператора»
Запоріжжя 2010
1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами
Нехай/> і /> два різних лінійнихпростору над полем комплексних чисел. Відображення />,яке ставляє у відповідність кожному вектору /> простору/> деякий вектор /> простору />, будемо називатиоператором />, діючий із /> в />. Якщо /> є образом вектора />, то пишуть />.
Оператор/> називається лінійним, якщовиконуються дві умови:
1. /> (властивість адитивності);
2. /> (властивістьоднорідності);
Тут />довільно взяті векторипростору />, />довільно комплексне число.
Позначимочерез /> множина всіх лінійнихоператорів, діючих із /> в />. Два лінійних оператора /> і /> будемо вважати рівними,якщо для будь – якого вектору /> простору/>. Визначимо тепер операціюдодавання із множини /> і операціюмноження оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів /> і /> розуміють оператор /> такий, що для будь – якоговектора /> простору />
/>.
Піддобутком лінійного оператора /> накомплексне число /> розуміютьоператор /> такий, що для любоговектора /> простору />
/>
Неважкопереконатися в тому, що оператори /> і /> лінійні.
Оператор/> називається нульовим, якщодля будь – якого вектору /> простору/> />.
Щобпереконатися, що оператор /> лінійнийі, як наслідок, належності множині />,потрібно показати, що для довільно взятих векторів /> простору/> мають місце рівності /> і />. Так як будь – якомувектору простору /> оператор /> ставить у відповідністьвектор />, то /> />. Як наслідок, /> — лінійний оператор.
Введемопоняття оператора, протилежному лінійному оператору />.Оператор – /> називається протилежнимоператором />, якщо />. Неважко перевірити, щодля довільно взятого оператору /> із /> і що /> лінійний оператор.
Введеніна множині /> лінійні операції над їїелементами (операторами) мають такі властивості:
1./>,
2. />,
3.існує один лінійний оператор /> такий,що для будь – якого лінійного оператора /> із/> />
4.для кожного оператора /> існує єдинийоператор – /> такий, що />.
Ізперелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини/> /> випливає, що множина /> по відношенню до операціїсуми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число маєтакі властивості /> />.
Всіперелічені властивості лінійних операцій над елементами множини /> дозволяє стверджувати, щомножина /> є лінійним простором надполем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання пророзмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.
2. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V
Вподальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору /> в той самий простір. Ціоператори називають також перетвореннями із /> в/>.
Назвемототожнім (одиничним) оператор /> такий,що для любого вектора /> простору />. Очевидно, />, />, для любих />. З цього випливає,оператор /> – лінійний і, тому, />. Неважко упевнитися втому, що оператор /> – єдиний.Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора /> з />, існує ще один тотожнийоператор />, тоді для будь-якого /> будемо мати />, />, очевидно, />, тобто />.
Введемооперацію множення операторів. Нехай /> та /> – два будь-яких лінійнихоператора з />, а /> – довільний векторпростору />. Очевидно вектор />, тому цей вектор можнапривести за допомогою оператора />. Врезультаті вектор /> будеперетворений до вектору />.Оператор, який приводить довільний вектор /> простору/> у вектор />, називається добуткомоператорів /> та /> і позначається так: />. За означенням добуткуоператорів /> і /> /> для будь-якого вектору />. Легко перевірити, що /> />, />, де /> – довільно вибранекомплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійнимоператором, тобто />. Зауважимо, що />.
Операціїдодавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості
1) />, 3) />,
2) />, 4) />.
Дляілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість />. Нехай /> – довільний векторпростору />. Для довільного вектору /> простору />за означенням добутку ісуми операторів має
/>
Такимчином, />, тобто />.
Якщодля оператору /> можна вказатитакий лінійний оператор />, що />, то оператор /> називають оберненим дляоператору />. Можна показати, щооператор /> – єдиний.
Покажемо,що оператор />, що має обернений,перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо />, то й />. Спочатку доведемо, що />. Дійсно, так як /> – лінійний оператор, тодля будь-якого /> />. Доведене твердженнясправедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора,що має обернений, і для оператора />. Нехай /> і />. Так як оператор /> має обернений, то />, тобто />. Якщо припустити, щодеякому /> відповідає вектор />, тоді на основіустановлених рівностей /> і />виходило б, що />. А це заперечуєпочатковому фактові, що />. Зцього випливає, що припущення про те, що для деякого /> />, невірно, тому для будь – якого/> />.
Доведемоще одну властивість оператора />, що маєобернений. Такий оператор два різних вектора /> та/> перетворює у два різнівектори /> і />. Дійсно, якщо припуститипротивне, що існують такі нерівні один одному /> і/>, для яких />, тоді для таких /> і /> /> або, що те саме />. За умовою оператор /> має обернений. Задоведеною вище властивістю такого оператора із рівності /> випливає, що />, тобто />. Ми прийшли до протиріччяз тим фактом, що за умовою />. Зцього випливає, що будь – яким двом різним векторам /> і/> відповідають різні образи /> і />.
Оператор/> називають взаємно – однозначним,якщо два будь – які різні вектори /> і /> він перетворює у різнівектори /> і />. Із наведеного вищевипливає, що оператор />, що маєобернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператораневажко довести таку властивість: якщо />,то і />. Покажемо, що взаємно – однозначнийоператор /> лінійно незалежні вектори />, />, …, /> перетворює в лінійнонезалежні вектори />, />, …, />. Для доведення цьоготвердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, щовектори />, …, /> – лінійно незалежні. Тодіможна знайти такі не рівню нулю числа, /> що/>. Так як оператор /> – лінійний, то />.
Звідсиза властивістю взаємно-однозначного оператора />,тобто вектори />, />, …, /> виявляються лінійнозалежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори />, />, …, /> лінійно незалежні.
Іздоведеного випливає, що будь-який вектор /> простору/> має єдиний прообраз /> такий, що />. Доведемо тільки єдністьпрообразу вектора />. Дійсно, якщоприпустити, що вектор /> має декількарізноманітних прообразів, наприклад, /> і />, то виявиться, що />. Звідси />, маємо />, так як операторвзаємно-однозначний. Отже, якщо оператор /> –взаємно-однозначний, то кожному вектору /> простору/> він ставить увідповідність один і тільки один вектор />.Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.
Підводячипідсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначногооператорів, сформулюємо наступне твердження.
Теорема2.1. Для того, щоб лінійний оператор /> мавобернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.
Введемопоняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора /> називають таку множину /> векторів простору />, що для любого /> />. Відомо, що будь-якийлінійний оператор приводить вектор /> в />, тобто />, тому ядро довільноголінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор />.
Теорема2.2. Якщо /> містить єдиний вектор />, то оператор /> є взаємно-однозначним.
Доведення.Нехай /> — два довільно взятихвектора лінійного простору. Якщо показати, що />,то це буде означати, що оператор /> євзаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора /> і />, такі, що />, а />. Тоді для цих векторів />. За умовою теореми /> складається із єдиноговектора />, тобто для вектора /> і тільки для нього />. В силу цього /> чи />. Ми прийшли до протиріччяз припущенням про те, що />. Томудля будь-яких не рівних один одному векторів /> і/> простору /> />. Отже, твердження теоремивірне.
Теорема2.3. Для того, щоб оператор /> мавобернений, необхідно і достатньо, щоб />.
Доведенняцієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядровзаємно-однозначного оператора.
Образомоператора /> називається множина />всіх векторів простору />, кожний з яких маєпрообраз, тобто якщо />, то існує такийвектор />, що />. Легко побачити, що якщо /> містить тільки нульовийвектор, то /> є весь лінійний простір />: />. Дійсно, якщо />, то оператор /> є взаємно-однозначним. Задоведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор /> простору /> має єдиний прообраз />: />, так що />.
Покажемотепер, що множина /> для довільноголінійного простору /> є підпросторомлінійного простору />. Нехай /> і /> – два довільно взятихвектори множини />. Так як />, то />. Нехай /> – довільне число. Так як />, то />. Таким чином, лінійніоперації над будь-якими векторами множини /> даютьвектори тієї ж множини, тобто /> – підпростірпростору />.
Аналогічнимспособом доводиться, що множина /> також єпідпростором простору />.
Розмірністьпідпростору /> називається дефектомоператора/>. Розмірність підпростору /> називається рангомоператора />. Для рангу оператора /> використовується одне зпозначень /> або />, для позначення дефектуоператора використовується символ />.
Теорема2.4. Для будь-якого лінійного оператора /> із/>сума розмінностей його ядраі образу дорівнює розмірності простору />,тобто />або />.
Теорема2.5. Нехай /> і /> — два яких-небудьпідпростори /> — мірного простору />, причому />. Тоді існує такий лінійнийоператор />, що />, а />.
Доведення.Нехай /> — розмірність підпростору />, тобто />, а /> – розмірність підпростору />. За умовою теореми />. Виберемо базис />/>-мірного простору /> так, щоб /> векторів /> було базисом підпростору />. В підпросторі /> візьмемо який-небудь базис/>. Розглянемо лінійнийоператор />, який перетворює вектори />простору /> у вектори />, а кожний з векторів />у нульовий вектор, тобто />.
Оператор/> довільний вектор /> простору /> приводить у вектор /> />, який належить підпростору/> простора />. Звідси випливає, що />, тобто підпростір /> містить образ оператора />. Щоб довести, що />, треба за означенняммножини /> показати, що будь-якийвектор /> підпростору />, має прообраз у просторі />. Розглянутий лінійнийоператор /> перетворює вектори /> простору /> у вектори />, тому довільно взятийвектор /> підпростору /> можна представити увигляді />. В силу лінійностіоператора и також того, що />,вектор /> можна представити також ів такій формі: /> />, де /> – довільно вибранікомплексні числа. Останній вираз для довільного вектору /> означає, що він є образомвектора /> простору />. Таким чином, />.
Покажемотепер, що підпростір /> є ядромоператора />. Нехай /> який-небудь векторпідпростору />. Так як />, то це означає, що вектор /> входить в ядро оператора />. Звідси випливає, щопідпростір />. Для доведення того, що />треба показати, щобудь-який вектор /> простору />, що не належитьпідпростору />, не може бути елементомядра оператора />. Нехай /> — вектор простору />, який не належитьпідпростору />. Зрозуміло, що хоча б однаіз координат /> цього вектору не рівнанулю, так як в протилежному випадку />.Розглянемо />. Так як /> лінійно незалежні вектори,а серед чисел /> є відмінні віднуля, то />. Це означає, що будь-якийвектор, що не належить підпростору />, неналежить і ядру оператора />. Отже, />.
Теорема2.6. Нехай /> і /> – два яких-небудь лінійнихоператора із множини />, тоді />, />.
Доведення.Нехай /> – довільний векторпростору />. Зрозуміло, що />. Будь-який вектор /> множини /> за означенням добуткуоператорів це вектор />. Останній євектором множини />. З цього слідує,що має місце включення />. А цеозначає, що />, тобто />. Перше твердження теоремидоведено.
Доведемосправедливість другого. Нехай /> – довільнийвектор ядра оператора />, тоді />, і, тому, />. Це означає, що якщо />, то />, тобто />. Звідси випливаєнерівність />. Позначимо через /> розмірність простору />. Згідно теореми 2.4 />, />. Так як />, то />, тобто />.
Теорема2.7. Нехай /> – розмірність простору />, /> і /> – лінійні оператори із />, тоді />.
3. Матриця лінійного оператора
Нехай/> — деякий базис лінійногопростору />, а /> – який-небудь лінійнийоператор, діючий із /> в />. Вектор /> оператор /> перетворює в вектор />. Вектори /> простору /> розкладемо по векторахбазису /> цього простору. Побудуємоматрицю /> порядку />, стовпці якої складені ізкоординат векторів />,
/>, />, />.
Матриця/> називається матрицеюоператора /> в базисі />.
Приклад.Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі /> простору />.
Розв’язок.Тотожний оператор /> будь-який векторпростору /> приводить в той же самийоператор. Тому />. А це означає,що матриця /> тотожного оператора будеодиничною в будь-якому базисі простору />.Нульовий оператор /> будь-який векторпростору /> перетворює в нульовийвектор, тому матриця /> цього оператора –нульова в будь-якому базисі.
Ізсказаного вище випливає, що в обраному базисі />-мірногопростору /> з кожним лінійнимоператором /> можна зв’язати квадратнуматрицю /> порядку />. Виникає питання: чи можнакожній квадратній матриці /> порядку/> поставити у відповідністьтакий лінійний оператор />,матриця якого в заданому базисі /> простору/> співпадає з матрицею />? Стверджувальну відповідьна це питання дає
Теорема3.1. Нехай /> – деяка квадратна матрицяпорядку />. Нехай /> – довільний обраний базис />-мірного лінійного простору/>. Тоді існує єдинийлінійний оператор />, який увказаному базисі має матрицю />.
Доведення.Розглянемо лінійний оператор />, якийвектори /> базису простору /> перетворює у вектори />, />. У базисі /> оператор />, очевидно, має матрицю />. Залишається довести, що єєдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора />, існує ще лінійнийоператор />, маючий матрицю /> в базисі />. Це означає, що />, />. Виберемо який-небудьвектор /> простору /> і розглянемо вектори /> і />. Маємо /> />.
Якнаслідок, що для будь-якого /> />. Звідси витікає, що />. Теорему доведено.
Теорема3.2. Нехай /> – матриця лінійногооператора /> в базисі /> простору />. Ранг оператора /> дорівнює рангу йогоматриці: />.
Доведення.В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці: />, ранг матриці /> дорівнює рангу системийого стовпців.
Нехай/> – який-небудь вектор /> — мірного простору />. Образом вектора /> є вектор /> />. Як бачимо, довільнийвектор образу оператора />, тобто множини/>, представляє собою лінійнукомбінацію векторів />. Отже, /> є лінійною оболонкоюмножини векторів />. Відомо, щорозмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вониутворюють, тому />. За означенням устовпцях матриці /> оператора /> розміщені координативекторів /> у базисі />. Отже, на основі означеннярангу матриці />. Таким чином, />.
Нехай/> і /> матриці операторів /> і /> в якому-небудь базисіпростору />, тоді із способу побудовицих матриць витікає, що матриці операторів /> і/>, де /> і /> – довільно взяті числа,рівні відповідно /> і />. Доведемо справедливістьпершого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора /> побудовані із координатвекторів /> у базисі /> простору />. Визначимо елементи />-го стовпця цієї матриці,тобто координати вектора />. Маємо
/>
Звідсивидно, що довільний елемент /> матриці/> оператора />дорівнює />, тобто дорівнює сумідобутків елементів />-го рядка матриці/> на відповідний елемент />-го стовпця матриці />. А це означає, що />. Твердження доведено.
Іздоведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора /> слідує справедливістьтаких нерівностей для двох добутків квадратних матриць /> і /> одного порядку />.
/>, />,
/>
Відомо,що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора />, є умова />, де /> – розмірність простору />. Із теореми 3.2 витікає,що остання умова еквівалентна вимозі: матриця /> оператора/> повинна бути невиродженою.
Іншимисловами, щоб оператор /> мав оберненийнеобхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійногопростору /> виявилась не виродженою.
4. Перетворення матриці оператора при заміні базису
Нехайу просторі /> обрані два базиси /> і />. Перший базис длязручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів /> у старому базисірозмістимо у стовпцях матриці
/>.
Побудованаматриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори /> лінійно незалежні, тому /> і, звісно, матриця /> не вироджена.
Згідносказаному
/> />(4.1)
Ціформули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записімають вигляд
/>,
де /> – транспонована матриця />.
Теорема4.1. Матриці /> і /> оператора /> в базисах /> і /> зв’язані співвідношеннями
/>,
/>,
де /> – матриця переходу відстарого базису /> до нового />.
Доведення.За означенням матриці оператора
/>,
/>
де /> і /> – елементи матриць /> і />. Замінимо в останнійрівності вектори /> згідно формулам(4.1), отримаємо
/> (4.2)
Зіншого боку
/>/>
Але
/>
Тому
/> (4.3)
Іздвох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що
/>/>/>
У ційрівності вектори /> лінійнонезалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинахрівності мають бути однаковими, отже,
/>, />
Згідноозначенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність />. Якщо помножити обидвічастини цієї рівності на /> праворуч,то отримаємо />, якщо помножитина /> злів, то будемо мати />. Теорему доведено.
Матриці/> і /> одного й того ж порядкуназиваються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю /> того ж порядку, що />. Із цього означення ітеореми 4.1 витікає, що матриці оператора /> урізних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць /> і /> рівні. Дійсно, згадавши,що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначниківспівмножників, можемо записати
/>.
Іздоведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюєтьсяпри заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора.Визначником оператора /> називають число />, рівне визначнику матриціоператора /> в якому-небудь базисіпростору.
Приклад.Лінійний оператор /> діє на векторибазису /> наступним чином: />. Знайти визначникоператора />.
Розв’язок.Матриця оператора /> у базисі /> має вигляд
/>,
тобтоє верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і />.
5. Власні значення і власні вектори оператора
Число/> називається власним числомлінійного оператора />, якщо у просторі/> можна знайти такийненульовий вектор />, що
/> (5.1)
Будь-якийненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним векторомоператора />, що відповідає власномузначенню />.
Рівність(5.1) можна записати по іншому />, де /> – тотожний оператор.Оскільки /> – ненульовий вектор, тозрозуміло, що розмірність ядра оператора /> неменше одиниці. Нехай /> – розмірністьпростору />, в якому діє оператор />. Відомо, що />. Звісно,
/>. Але тоді />.
Такимчином, якщо число /> є власнимзначенням оператора />, то /> є коренем рівняння /> (характеристичне рівнянняабо вікове рівняння оператора />).
Вияснимо,чи всі корені характеристичного рівняння /> будутьвласними значеннями оператора />. Нехай /> – який-небудь коріньрівняння, тоді для цього значення /> />. Це означає, що матрицяоператора /> буде виродженою убудь-якому базисі простору />. Якнаслідок, />. Так як />, то />. А це означає, що існую поменшій мірі один ненульовий вектор />, такий,що /> чи />. Таким чином, будь-якийкорінь характеристичного рівняння /> будевласним значенням оператора />, тобтовірне твердження.
Теорема5.1. Для того, щоб комплексне число /> буловласним значенням лінійного оператора />,необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння />.
Нехай/> – базис простору /> и нехай
/>,
матрицялінійного оператора /> у цьому базисі.Відомо, що матриця тотожного оператора /> вбудь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору /> оператор /> характеризується такою матрицею
/>.
Визначникцієї матриці, тобто />, називаєтьсяхарактеристичним або віковим визначником оператора />.Легко побачити, що добуток елементів />головноїдіагоналі вікового визначника буде многочленом степені />, решта членів визначникабудуть многочленами степені не вище />. Зцього видно, що віковий визначник оператора /> ємногочленом степені />. За наслідком зосновної теореми алгебри такий многочлен має /> коренів,якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому числовласних значень оператора />,діючого в />-мірному просторі, дорівнює/>, якщо кожне власнезначення рахувати стільки разів, яка його кратність.
Відомо,що в різних базисах простору /> матриціоператора />, взагалі-то, різні. Узв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору />, в якому матриця операторамає найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що упросторі /> існує базис /> всі вектори якого євласними векторами оператора />, тобто /> />. У цьому базисі матрицяоператора буде мати діагональний вигляд
/>.
Навпаки,якщо в якому-небудь базисі простору /> матрицялінійного оператора /> має діагональнийвид, то всі вектори базису є власними векторами оператора />. Таким чином, доведенонаступне твердження.
Теорема5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора /> убазисі /> простору /> була діагональною,необхідно і достатньо, щоб вектори /> буливласними векторами оператора />. Теорема5.3. Якщо власні значення /> лінійногооператора />, діючого в />-мірному просторі />, різні, тоді відповідні їмвласні вектори /> лінійнонезалежні.
Наслідок.Якщо характеристичне рівняння /> має /> різних коренів, то у />-мірному векторномупросторі існує базис, в якому матриця оператора /> маєдіагональний вид.
Якщооператор /> має кратні власнізначення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупністьвласних векторів оператора /> не будаутворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор />. У зв’язку з цим виникаєпитання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійнонезалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця маланайпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.
Вектор/> називається приєднанимвектором оператора />, що відповідаєкратному власному значенню /> цьогооператора, якщо можна вказати таке натуральне число />,що />. Число /> називається порядкомприєднаного вектора />. Нехай /> – приєднаний векторпорядку />, що відповідає власномузначенню />. Позначимо через /> вектор />. Тоді за означеннямприєднаного вектора /> або />. Вектор /> виявляється власнимвектором оператора />. Цю властивістьприєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів зазаданим власним вектором />.
Теорема5.4. (теорема Жордана). У />-мірномувекторному просторі /> існує базис />, побудований із /> власних векторів /> і відповідних їмприєднаних векторів, такий, що
/>, />; />, />.
Уцьому базисі матриця оператора /> маєнаступний вид
/>,
де /> — квадратна матриця порядку/> (клітка Жордана):
/>.
Вказанав теоремі 5.4 форма матриці /> оператора/> називається жордановою абоканонічною формою матриці цього оператора.
Накінець відмітимо, що якщо /> – власнийвектор лінійного оператора />, то івектор />, де /> – довільно взяте відмінневід нуля число, також буде власним вектором оператора />. Дійсно,
/>.
Приклад1. З’ясувати, які з перетворень />,заданих шляхом завдання координат вектора /> якфункцій координат вектора />,являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, вякому задано координати векторів /> і />.
/>.
Розв’язання:Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора требаперевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіомаадитивності: />.
Длябудь-яких векторів /> та /> повинно виконуватись
/>.
/>/>
/>/>
/>.
Аксіомаадитивності виконується.
Перевіримоаксіому однорідності:
/>
/>/>
/>
/>
Такяк властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення /> – лінійне.
Приклад2. З’ясувати, які з перетворень />,заданих шляхом завдання координат вектора />якфункцій координат вектора />,являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, вякому задано координати векторів />і />.
/>.
Розв’язання:Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора требаперевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіомаадитивності: />.
Длябудь-яких векторів /> та /> повинно виконуватись
/>
/>
/>/>
/>.
Такяк властивість адитивності не виконується, тому перетворення /> – не лінійне.
Приклад3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) зправа на дану матрицю /> являютьсялінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайтиматриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:
/>, />, />, />
Розв’язання:За означенням матриці лінійного перетворення />,/>. Знаходимо образи базиснихвекторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:
/>
/>
/>
/>
Розташувавшиотримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійногоперетворення:
/>.
Приклад4. Лінійне перетворення /> вбазисі /> має матрицю
A=/>
Знайтиматрицю цього ж перетворення в базисі: e/>,/>, />, />+/>.
Розв’язання:Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі маєвигляд:
/>
Оберненуматрицю знайдемо за допомогою приєднаної:
/>
Підставляємоотримані значення в формулу, отримаємо:
/>.
Приклад5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому вдеякому базисі матрицею: />.
Розв’язання:Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
/>
Розв’язуємоїї методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
/>
/>
Складаємооднорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:
/>
/>
Оскількимаксимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірністьпростору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матрицяне діагоналізуєма./>
Приклад6. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести додіагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис івідповідну йому матрицю: />
Розв’язання:Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
/>
/>
Розв’язуємоїї методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=/>
Власнівектори мають вигляд: />. />
/> />, />
Формулазв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:
/>
/>.
Матрицядіагоналізована.
Приклад7. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагональноговиду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йомуматрицю: />
Розв’язання:Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
/>
/>
Розв’язуємоїї методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=/>
/>
A=/>
Матрицяне може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.
Висновки
Вданій курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів,поняття матриці лінійного оператора та питання зв’язку матриць оператора урізних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємостіматриці оператора, які пов’язані з існуванням базису, що складається з власнихвекторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зробленапідборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися втеоретичному матеріалі.
оператор вектор лінійнийматриця базис
Перелікпосилань
1. Курош А.Г. Курсвищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.
2. Кострикін А.И.,Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. –304 с.
3. Проскуряков І. В.Збірник задач з лінійної алгебри. – М.: Наука, 1974. – 384 с.