ВИПАДКОВІ ПОДІЇ
(реферат)
1.Випадковіподії.Предмет теорії ймовірностей
Подія – одне з основних понять теорії ймовірностей. Воно є первісним інемає означення. Події настають (відбуваються, з’являються) при виконанніпевної сукупності умов S. Кожна реалізація цих умов називається експериментом(випробовуванням, іспитом).
Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені, яку поділено на 4 області. Постріл– це експеримент, а попадання в певну область – подія.
Приклад 2. З урни з різнокольоровими кулями навмання вибирають одну кулю.Виймання кулі – експеримент, а виймання кулі певного кольору – подія.
За ознакою настання чи ненастання у окремому експерименті подіїрозділяються на достовірні (вірогідні), неможливі та випадкові. Достовірнаподія обов’язково настає, неможлива подія обов’язково не настає, а випадковаподія настає, або не настає, у результаті експерименту. Експеримент називаєтьсястохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і йогорезультати кожного разу передбачити неможливо. Отже, випадкова подія єрезультатом стохастичного експеримента.
Приклад 3. Подія А – вода у посудині знаходиться у рідкому стані принормальному атмосферному тиску та температурі 20ºС – достовірна подія.Встановлення нормального атмосферного тиску та температури 20ºС можевідбутись само по собі. Але у теорії ймовірностей це все одно експеримент.
Приклад 4. Подія A – вода в посудині знаходиться в твердому стані принормальному тиску й температурі повітря 20ºС – неможлива подія.
Приклад 5. Подія А – випав герб при киданні монети – випадкова подія:герб може випасти, а може і не випасти (може випасти цифра).
Теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу передбачитинастання/ненастання випадкової події в одному окремому експерименті – ценеможливо у принципі. Такий стан справ пояснюється тим, що випадкові події єнаслідком впливу великої кількості факторів, врахувати які неможливо. До того,закони дій цих факторів часто невідомі. Інша справа, коли йдеться про випадковіподії, які неодноразово спостерігаються при багатократних експериментах в однаковихумовах. У цьому випадку для випадкових подій виявляються деякі закономірності,які називаються стохастичними (ймовірними). Вивчення стохастичнихзакономірностей випадкових подій і є предметом теорії ймовірностей.
Методи теорії ймовірностей широко використовуються у різнихобластях науки, техніки, виробництва: у теорії надійності, теорії масовогообслуговування, теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби,теорії похибок вимірювань, теорії автоматичного керування, теорії зв’язку таінших теоретичних та прикладних науках. Теорія ймовірностей використовуєтьсятакож для обґрунтування математичної та прикладної статистик, яківикористовуються для планування та організації виробництва, аналізутехнологічних процесів, контролю якості продукції і для інших цілей. 2. Імовірності
Випадковий характер події А експериментально виявляється припослідовності експериментів.
Послідовність експериментів – це багатократне виконання експерименту S воднакових умовах.
Для вивчення стохастичних закономірностей випадкових подій необхідно, щоб останні мали деякукількісну ознаку. Такою ознакою для випадкової події є її ймовірність. Цечисло, яке показує як часто настає випадкова подія при послідовностіекспериментів. Імовірність події тим більша, чим частіше вона настає припослідовності експериментів. Імовірність прийнято позначати /> або />. Запис /> слід читати як «ймовірністьподії А за умови виконання експерименту S». Вважають (саме так, вважають),що ймовірність достовірної події дорівнює 1, а неможливої – 0. Тому дляймовірності будь-якої випадкової події вірною є подвійна нерівність
/>.(1)
Існує декілька підходів до означення ймовірностей – класичне означення,геометричні ймовірності, статистичне означення. Ці означення, як правило,зводяться до вказівок на практичні методи обчислення ймовірностей. Тому,власне, не є строгими означеннями ймовірностей. 3. Класичне означення ймовірностей
Вважається, що експеримент S обов’язково може мати лише один наслідок ізскінченної кількості рівноможливих і несумісних наслідків />. Ці наслідки називаютьсяелементарними випадковими подіями. Несумісність наслідків означає, що настанняодного з них унеможливлює настання будь-яких інших. Рівноможливість наслідківозначає, що жодний з них немає переваги над іншими. Також вважається відомимсприяння/несприяння наслідку складній події А.
За класичним означенням ймовірність події А
/>,(.1)
n – кількість можливих і несумісних наслідків події А, m – кількістьнаслідків, що сприяють події.
При m=1 із (.1) слідує, що ймовірність наслідків (елементарних подій)дорівнює
/>.(2)
Приклад 1. При киданні монети можливі два наслідки (/>): E1 –випадання герба/> i E2 –випадання цифри/>. Ці наслідкиможна вважати рівноможливими (жоден з них не має переваги над іншим) інесумісними (вони не можуть з’явитися одночасно). Тому за формулою (2) />. Це означає, що прибагатократних експериментах приблизно у половині з випадків випадає герб, а уполовині – цифра. Це тим ближче до дійсності, чим більше число експериментів.
Приклад 2. При киданні двох монет можливих наслідків є чотири (/>): /> – герб на обох монетах, />– герб на першій монеті іцифра на другій, /> –цифра на першій монеті і герб на другій, /> –цифра на обох монетах. Ймовірності наслідків згідно із (2) дорівнюють 0.25.Складній події В – випаде герб і цифра – сприяють 2 наслідки:/>,/>, і тому за формулою (1) />. Події С – випаде хоча бодин герб – сприяють 3 наслідки:/>,/>,/>, і тому />.
У більш складних випадках для підрахунку числа наслідків, якісприяють випадковій події, використовуються методи комбінаторного аналізу.
Комбінаторний аналіз вивчає методи підрахунку числа сполучень,перестановок, розміщень, тощо. При цьому для виведення співвідношеньвикористовуються правила суми та добутку:
Правило суми. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – nспособами, то вибрати або a, або b можна m+n способами.
Правило добутку. Якщо елемент a можна вибрати m способами іпісля такого кожного вибору, елемент b можна вибрати n способами, то елементи аі b можна вибрати m n способами.
Нехай A неупорядкована множина з n елементів. Будь-яка m-елементнапідмножина цієї множини називається сполученням із n елементів по m елементів. Порядок слідуванняелементів у сполученнях не суттєвий. Це означає, що різні сполученняобов’язково відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень
/>.(3)
Числа />називаютьсябіноміальними коефіцієнтами.
Приклад 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, в якомузнаходиться 10 деталей?
Розв’язування. У задачі йдеться про сполучення із 10 елементів по 2 елементи.За формулою (3)
/>.
Перестановками називаються упорядковані множини, які відрізняються міжсобою лише порядком своїх елементів. Число перестановок
/>.(4)
Приклад 4. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщокожна цифра входить у число лише один раз?
Розв’язування. />
Розміщеннями називають m-елементні підмножини множини з n різнихелементів, які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень
/>.(5)
Приклад 5. Скільки можна утворити сигналів із 6 прапорців різногокольору, якщо скористатись для одного сигналу 2 прапорцями?
Розв’язування. Кожний сигнал відрізняється від інших як набором кольорів,так і їх розташуванням. Тому необхідно підрахувати число розміщень із 6елементів по 2 елементи. За формулою (5)/>.
Числа розміщень, сполучень та перестановок зв’язані співвідношенням
/>.(6)
Приклад 6. В партії з n елементів є k відмічених. Знайти ймовірністьтого, що з випадково вибраних m елементів відмічених буде x елементів (подіяА).
Розв’язування. Загальна кількість наслідків дорівнює числу сполучень з nелементів по m елементів:
/>.
Наслідки, що сприяють події А, відповідають сполученням з x вибранихвідмічених елементів і m-x вибраних невідмічених елементів. Відмічені елементиможна вибрати /> способами,невідмічені – /> способами. Заправилом добутку число наслідків, що сприяють події А, дорівнює />. За класичним означенням ймовірністьподії А дорівнює
/>(7)
При />
/>
(/>за визначенням),
/>
/>,/>.
Класичне означення ймовірностей виникло на початку розвиткутеорії ймовірностей у зв’язку з вивченням шансів на виграш в азартних іграх. Втой самий час класичне означення неможливо розглядати як строге означенняймовірностей. Воно використовує поняття рівноможливості, яке, по суті, означаєоднакову ймовірність. Виходить, що ймовірність визначається через ймовірність.
Класичне означення ймовірностей не має сенсу у випадках, колинаслідки не є рівноможливими, або коли їх нескінченна кількість. 4. Геометричні ймовірності
Поняття геометричних ймовірностей – ймовірностей попадання точки вобласть (відрізок, частину площини і т.д.) – використовують у випадкустохастичних експериментів із нескінченною кількістю рівноможливих танесумісних наслідків.
Нехай відрізок/>/>/>,l – довжина відрізку />, L – довжинавідрізку />. На відрізок /> навмання кидається точка.Це означає виконання таких умов:
– кинута точка може опинитися в будь-якій точці відрізку />;
– ймовірність попадання точки на відрізок /> пропорційнайого довжині і не залежить від його розташування на відрізку />.
За таких умов ймовірність попадання точки на відрізок /> дорівнює відношенню довжинвідрізків:
/>.(1)
Якщо />, то розглядаєтьсяймовірність попадання точки в точку на відрізку />.Як слідує з (1), така ймовірність дорівнює нулю:
/>.
Отже, якщо ймовірність події дорівнює нулю, то необов’язково, що ця подіянеможлива.
Нехай g – плоска фігура, яка цілком знаходиться всередині іншої плоскоїфігури G. На фігуру G навмання кидається точка. Це означає виконання такихдопущень:
– кинута точка може опинитись у будь-якій точці фігури G;
– ймовірність попадання точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури іне залежить ні від її розташування відносно фігури G, ні від її форми.
За таких умов ймовірністьпопадання точки у фігуру g дорівнює відношенню площ фігур:
/>,(2)
/> – площа фігури g, /> – площа фігури G.
Означення (1) та (2) є частковими випадками загального означеннягеометричних ймовірностей:
/>,(3)
де mes позначає міру (площу, об’єм, довжину) області, /> – вектор, який визначаєточку у n-вимірному евклідовому просторі.
Приклад 1. У сигналізатор поступають сигнали з двох пристроїв.Надходження сигналів від пристроїв рівноможливе у будь-який момент часу напроміжку від 0 до Т. Моменти надходження сигналів незалежні один від одного.Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів меншаніж t />. Знайти ймовірність того,що сигналізатор подасть сигнал за час Т (подія A), якщо кожен із пристроївнадішле по одному сигналу.
Розв’язування. Нехай моменти надходження сигналів від першого й другогопристроїв відповідно x та y. За умовою задачі
/>(*)
/>
Нерівностям (*) задовільняють координати будь-якої точки квадрату ОТАТ(рис. 1). Отже, цей квадрат можна розглядати як фігуру G. Його площа />. Сигналізатор подаєсигнал, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша за t;
/>, якщо />,(**)
/>, якщо />.(***)
Нерівність (**) виконується для точок фігури G, які знаходяться вищепрямої /> і нижче прямої />; нерівність (***) маємісце для точок, які знаходяться нижче прямої /> івище прямої />. Як видно з рис.1нерівностям (**) та (***) одночасно задовільнять точки заштрихованогошестикутника, який можна прийняти в якості фігури g. Його площа />. За формулою (2)
/>5. Статистичне означення ймовірностей
Статистичне означення ймовірності базується на спостереженнях завипадковою подією при послідовності експериментів.
Нехай експеримент S повторено n разів і подія A у цьому конкретномуексперименті настала m разів. Відношення
/>(1)
називається відносною частотою випадкової події.
Відносна частота змінюється від серії до серії з n експериментів, але маєвластивість стійкості. Це означає, що у різних серіях із достатньої великоїкількості експериментів, відносна частота змінюється мало (тим менше, чимбільше виконано експериментів у серії), коливаючись біля деякого постійногочисла, близьким до ймовірності події А.
Тому відносну частоту можна прийняти за наближене значення ймовірності:
/>.(2)
Наближена рівність (2) є тим точніша, чим більше n.
Приклад 1. Відділ технічного контролю виявив 5 бракованихкниг, випадково вибраних із партії, що містить 100 книг. Знайти відноснучастоту появи бракованих книг.
Розв’язування. За умовою задачі />.За формулою (1)
/>.
Статистичне означення ймовірності дозволяє експериментальнооцінити правомірність класичного означення ймовірностей та геометричнихймовірностей в окремому випадку. 6.Аксіоматичне означення ймовірностей
Теорія ймовірностей стала логічно завершенимрозділом математики після того, як в її основу була покладена система аксіом.Таку систему аксіом легко описати мовою теорії множин.
Можливі наслідки експерименту S утворюють множину елементарних подій />, яка є універсумом.Елементарні події/> не сумісні. Цеозначає, що настання однієї з цих подій виключає настання будь-якої іншої.Випадкова подія А ототожнюється з підмножиною універсуму U, яка міститьелементарні події, що сприяють події А. Неможлива подія ототожнююється з порожньоюмножиною, достовірна з універсумом U, а протилежна подія /> з доповненням /> множини А до універсуму.Протилежна подія до події А полягає в тому, що подія А не настає.
Множина підмножин універсуму U називається полем подій і позначається F.Елементами цієї множини є можливі події, які можуть настати у результатістохастичного експерименту. Якщо множина U має n елементів, то поле подій Fскладається з /> подій.Нескінченна множина F називається борелевським полем (або s-алгеброю). Відносно операційоб’єднання, перерізу і доповнення множина подій F утворює булеву алгебру.
Ототожнення подій з множинами дозволяють розв’язування задачтеорії ймовірностей звести до розв’язування теоретико-множинних задач.
Теоретико-множинні операції відносно подій мають такий зміст:
1) /> - настає або подія А, абоподія В, у тому числі і одночасно;
2) /> - одночасно настають обидвіподії А і В;
3) /> - настає або подія А, абоподія В, але не одночасно;
4) /> - подія А настає, а подія В ненастає;
5) /> - якщо подія А настає, тообов’язково настає і подія В.
Ймовірність подій визначається за Колмогоровим сукупністю аксіом.
1 аксіома. Кожній події /> ставитьсяу відповідність невід’ємне дійсне число /> - ймовірність події.
2 аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:/>.
3 аксіома. Якщо А і В несумісні (відповідні множини А і В неперетинаються), то />.
Ця система аксіом несуперечлива і є основоюелементарної теорії ймовірностей, яка вивчає скінченні множини подій. Прирозгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однієюаксіомою:
4 аксіома — аксіома неперервності. Для послідовності подій /> такої, що /> та /> (порожній множині), маємісце співвідношення
/>
Непорожня множина U елементарних подій, булева алгебра подій F і множинаймовірністей Р, яка визначена на F, утворюють у сукупності ймовірніснийпростір, який позначається як трійка />.
При аксіоматичному означенні не використовується поняття рівноможливостінаслідків, що характерно для класичного означення ймовірностей. Аксіоматичнатеорія ймовірностей не вирішує питання про конкретні чисельні значенняймовірностей елементарних подій. Розв’язуванням цієї задачі з ймовірніснихпозицій займається математична статистика.
Приклад 1. При киданні грального кубика множина елементарних подій />,/> - випало і очок. Множина Fподій складається з /> елементів, середяких порожня множина />, основна множинаU, одноелементні множини />, атакож множини, які утворені сполученням із 6елементів по 2, 3, 4, 5 елементів.У допущенні симетрії грального кубика необхідно приписати однакові ймовірностіелементарним подіям:
/>.
Якщо кубик не симетричний, то ймовірностям необхідно приписати різнізначення. Нехай методами математичної статистики встановили, що
/>,/>,/>,/>,/>,/>.
Тоді ймовірність події /> - випаде не більше двох очок — для симетричного кубикадорівнює />, а для несиметричного — />.Ймовірність випадання непарного числа очок (подія />)для симетричного кубика дорівнює />, длянесиметричного />.
7. Основні співвідношення та теореми теоріїймовірностей
З аксіом Колмогорова можна одержати всі співвідношення елементарноїтеорії ймовірностей.Рівністьнормування ймовірностей:
/>(1)
Доведення. Елементарним подіям /> співставляютьсяодноелементні множини />, які неперетинаються між собою. Тому універсум U можна представити у вигляді
/>.
Згідно 3-ї аксіоми Колмогорова
/>.
Згідно 2-ї аксіоми Колмогорова
/>.
Тому
/>,
що й треба було довести.
Імовірність протилежної події:
/>. (2)
Доведення. З алгебри множин відоме теоретико-множинне співвідношення
/>.
За 2-ю аксіомою Колмогорова для відповідних подій можна записати
/>.
За 3-ю аксіомою Колмогорова
/>,
а значить
/>.
Отже,
/>.
Імовірність неможливої події:
/>.(3)
Доведення. Згідно формули (2) при A=U
/>.
Теорема додавання ймовірностей несумісних подій:
/>.(4)
Доведення. З використанням 2-ї аксіоми Колмогорова можна записатипослідовність рівностей
/>/>.
Події називаються сумісними, якщо відповідні множини перетинаються: />. Якщо події сумісні, тонастання однієї з них не виключає можливості настання іншої.
Приклад 1. При киданні двох гральних кубиків подія А – випав дубль – іподія В – випала непарна кількість очок – є несумісними подіями.
Приклад 2. При киданні двох гральних кубиків подія А – випало у сумі небільше 6 очок – і подія В – випало у сумі не менше 4 очок – є сумісними.
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій:
/>,(5)
та дві важливі рівності
/>,(6)
/>.(7)
Доведення. З дискретної математики відомі такі теоретико-множиннітотожності:
/>,(1*)
/>,(2*)
/>,(3*)
/>,(4*)
/>.(5*)
На підставі цього для відповідних випадкових подій А і В можна записатирівності:
/>, (6*)
/>,(7*)
/>,(8*)
/>,(9*)
/>.(10*)
З рівностей (6* та 7*) />, /> і тому рівності (8*, 9* та10*) можна переписати у вигляді
/>,
/>,
/>,
що і треба було довести.
Імовірність сумісного настання подій />,тому з рівностей (5-7) слідують нерівності:
/>,(8)
/>,(9)
/>.(10)
Для несумісних подій /> інерівності (8-10) переходять у строгі рівності.
Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо для нихсправджується рівність
/>, (11)
і залежними, якщо не справджується. Враховуючи властивість асоціативностіоперації перерізу множин, рівність (10) можна узагальнити на випадок декількохнезалежних подій
/>.(12)
Остання рівність називається теоремою множення ймовірностей незалежнихподій.
Якщо події залежні, то настання однієї з них змінює ймовірність іншої.
Приклад 3. В урні є 2 білі та 3 чорні кулі. З урни виймають одну кулю,після чого, не повертаючи її назад, виймають ще одну. Нехай подія А – першогоразу вийнята біла куля, а подія В – другого разу вийнята біла куля. Якщо подіяА настала, то ймовірність />, а якщоподія А не настала (першого разу вийнята чорна куля), то />.
Імовірність події В за умови настання події А називається умовноюймовірністю і позначається /> або />. З використанням умовнихймовірностей для ймовірності спільного настання будь-яких подій А і В можназаписати
/>.(13)
Якщо/> події незалежні, то
/>(14)
і (13) переходить у рівність (11).
Рівність (13) можна узагальнити на випадок довільної кількості залежнихподій,
/>,(15)
/> - ймовірність настання події А3за умови настання події А1 і А2 ,…,
/> - ймовірність події Аn заумови настання і події А1, і події А2, і..., і події Аn-1.
З формули (12) слідує рівність
/>,(16)
яка часто використовується для означення умовної ймовірності.8. Залежність/незалежність тасумісність/несумісність подій
У більшості практичнихвипадках важко одразу зробити висновок про незалежність/залежність подій та проїх сумісність/несумісність, і тому необхідні певні дослідження.
Для перевіркизалежності/незалежності подій необхідно перевірити рівність (1.7.11) або(1.7.13). Рівність справджується – події незалежні, не справджується – залежні.
Приклад 1. Необхіднодослідити на залежність/незалежність події А – випаде дубль при киданні двохкубиків – і події В – випаде менше 6 очок.
Розв’язування. Для цьогонеобхідно обчислити />та />. Це можна зробити, якщоскористатися класичним означенням ймовірностей. Події А сприяють наслідки />, всього 6 із 36. Тому />. Події В сприяють наслідки
/> всього 10 із 36. Тому />. Одночасному настаннюподій А і В сприяють наслідки />, всього2. Тому />.
Отже, />. Висновок – події залежні.
Для перевіркисумісності/несумісності випадкових подій необхідно перевірити умову />. Рівність справджується –події несумісні, не справджується – сумісні.
Приклад 2. Події А і В зприкладу 1.8.1 є сумісними:
/>.
Незалежні події А і В приненульових ймовірностях завжди сумісні.
Доведення. З означеннянезалежності подій /> слідує, що якщо />і/>, то />, що і є означеннямсумісності подій.
Несумісні події обов’язково незалежні. Сумісні події можуть бути якзалежними, так і незалежними.
Для сукупності подій А1,А2, …, Аn можна говорити про залежність/незалежність тасумісність/несумісність подій у сукупності. Події є несумісними у сукупності,якщо
/>.(1.8.1)
Несумісність подій усукупності слідує з попарної несумісності
/>.
Події А1, А2,…, Аn незалежні у сукупності, якщо виконується умова
/>.(1.8.2)
Взагалі кажучи, з попарноїнезалежності подій не слідує незалежність подій у сукупності.
Приклад 3. Нехай три граніправильного тетраедра зафарбовані у червоний, зелений та синій кольори, відповідно,четверта грань у три кольори – червоний, зелений та синій. Нехай подія R –тетраедр впав на грань з червоним кольором, G – тетраедр впав на грань іззеленим кольором, B – тетраедр впав на грань із синім кольором. Очевидно, щоймовірності />. Дійсно, прикиданні тетраедра можливі 4 наслідки: тетраедр впав або на червону грань, абона синю, або на зелену, або на різнокольорову. Події R сприяє два наслідки –тетраедр впав на червону грань або на різнокольорову. Тому />. Аналогічно для подій G іB. Події />сприяє один наслідок –тетраедр впав на різнокольорову грань. Тому />: події R і G єнезалежними. Аналогічно встановлюється незалежність подій R і B та G і B. Події– тетраедр впав на грань з трьома кольорами – сприяє один наслідок, тому />. Отже, незважаючи напопарну незалежність, події G, R, B є залежними у сукупності.
Для незалежності подій усукупності крім умов
/>
мають виконуватися аналогічніумови для сполучень із n подій по 3, 4, …, n подій.
Приклад 4. Для трьох подій А,В, С умовами незалежності у сукупності є:
/>,
/>,
/>,
/>.9.Формула повної ймовірності
Несумісні події /> утворюють повнусистему (групу) подій, якщо диз’юнктивна сума відповідних множин дорівнюєуніверсуму,
/>,
або, якщо
/>.
Приклад 1. При киданні грального кубика події А – випаде не більше двохочок, В – випаде 3 або 4 очки та С – випаде не менше 5 очок – утворюють повнусистему подій.
Якщо подія В може настати при настанні будь-якої події з повної системиподій />, то її ймовірність можнаобчислити за формулою повної ймовірності
/>. (1.9.1)
Доведення. Для відповідної до події B множини можна записати відомутеоретико-множинну рівність
/>.
Події /> – несумісні, тому длявідповідних подій
/>.
Звідси
/>,
що й треба було довести.
Приклад 2. В трьох партіях деталей,що поступили на склад, відсоток якісних деталей відповідно 89, 92 і 97%, акількість деталей у партіях відноситься як 1:2:3. Необхідно обчислитиймовірність того, що випадково вибрана деталь зі складу, виявиться бракованою.
Розв’язування. Нехай /> події –навмання вибрана деталь належить до першої, другої, третьої партій, відповідно.Ці події утворюють повну систему подій. Тому
/>.
З умови задачі />. Звідси /> />. Нехай подія В – вибраназі складу деталь є бракованою. Умовні ймовірності події В за умовою задачі
/>, />,/>.
За формулою повної ймовірності (1)
/>
/>.10. Формули Бейєса
Нехай /> – повна система подій. НехайВ – подія, яка може настати при настанні будь-якої з цих подій, вже настала.Тоді ймовірності подій із повної системи подій можна обчислити за формуламиБейєса
/>(1)
Доведення. Операція перерізу множин комутативна /> і тому для відповіднихподій справджується рівність
/>.
Це співвідношення також справедливе для події /> ізповної групи подій />:
/>.
Звідси
/>.
Останню рівність з врахованням формулиповної імовірності (1.9.1) можна переписати у вигляді
/>,
що і треба було довести.
Умовні ймовірності/> задовільняютьрівності нормування ймовірностей
/>.
Часто події Аi називаються гіпотезами, їх ймовірності /> апріорними ймовірностями,умовні імовірності/>апостеріорнимиймовірностями, а самі формули Бейєса – теоремою гіпотез.
Приклад 1. Деталі, які виготовлені в цеху заводу, потрапляють дляперевірки до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапитьдо першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, щодеталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0.94, другим –0.98. Вибрана деталь при перевірці виявилася стандартною. Знайти ймовірністьтого, що деталь перевірив перший контролер.
Розв’язування. Нехай В – вибрана деталь виявилася стандартною. Можназробити два припущення:
1) деталь перевірив перший контролер (гіпотеза />);
2) деталь перевірив другий контролер (гіпотеза />).
Ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер, обчислюється заформулою Бейєса
/>.
За умовою задачі:
/> (ймовірність того, що детальпотрапляє до першого контролера);
/> (ймовірність того, що детальпотрапить до другого контролера);
/> (ймовірність того, що вибрана детальбуде визнана стандартною першим контролером);
/> (ймовірність того, що вибрана детальбуде визнана стандартною другим контролером).
Тому
/>.
До іспиту ймовірність гіпотези А1 дорівнювала 0.6, а післятого, як став відомий результат іспиту, ймовірність цієї гіпотези змінилася істала 0.59.