Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Лукьянович А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Верхнее центральное число семейства функций
2. Верхний центральный показатель линейной системы
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Цель данной курсовой работы — найти верхний центральныйпоказатель системы
/> />
где k=0, 1, 2,….
Из определения верхнего центрального показателя диагональнойсистемы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадаетс верхним центральным числом конечного семейства
/>, где />
Таким образом, главная задача курсовой работы — найтиверхнее центральное число соответствующего конечного семейства
/>.
1. Верхнее центральное число семейства функций
Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных иравномерно ограниченных функций:
/>, />,
зависящее от параметра x непрерывнов том смысле, что из /> следует
/>
равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегатьнекоторое компактное (в частности, конечное) множество.
Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримаяфункция R (t) называетсяверхней функцией для семейства P, если все функцииэтого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):
/>,
т.е. если
/>,
где /> - константа,общая для всех /> и />, но, вообще говоря,зависящая от выбора R и />>0.
Определение 2 [1, с.103]: совокупность всехверхних функций называется верхним классом семейства P(обозначим через N=N (P)).
Определение 3 [1, с.534]: число
/>
называется верхним средним значением функции p (t).
Определение 4 [1, с.103]: число
/>
где /> - верхнеесреднее значение функции R (t),называется верхним центральным числом семейства P. Онобудет обозначаться также />.
Докажем следующее утверждение: если семейство состоит издвух функций />и при этом />, то верхний класссемейства P можно считать состоящим из одной функции />, и />.
Неравенство /> означает,что
/>
и для любого /> существуеттакая константа />, что
/>
Или
/> /> (1)
Аналогичное неравенство для функции /> очевидно
/>.
Согласно определения 1 /> являетсяверхней функцией для семейства
/>.
Докажем равенство
/>.
Если существует такая верхняя функция />, что /> для всех />, то эта функция однаобразует верхний класс и /> [1, с.104].
Найдем такую верхнюю функцию />,что />.
Рассмотрим интегралы
/>
Разделим последнее неравенство на (t-s), получим
/>
Устремив /> ивычислив верхний предел при />, получим
/>
или
/>
Итак, имеем
/> Значит, /> />.
Так как /> - верхняяфункция, то />/>.
2. Верхний центральный показатель линейной системы
Пусть дана система
/> (2)
и /> - ее решение.
Рассмотрим семейство функций
/>,/>,/>
Определение 5 [1, с.116]: Функция R (t) называется верхней для системы(2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку
/>,
Где
/>
— норма матрицы Коши линейной системы.
Совокупность />всехверхних функций называется верхним классом системы (2), а число
/>
верхним центральным показателем линейной системы.
Диагональная система
/>
имеет матрицу Коши
/>
с нормой
/>.
Поэтому верхний центральный показатель диагональной системысовпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={/>} [1, с.118].
Найдем верхний центральный показатель следующей системы
/> /> (3)
где k=0, 1, 2,….
Верхний центральный показатель системы (3) совпадает сверхним центральным числом конечного семейства
/>, где />
Найдем верхнее центральное число семейства
/>.
Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семействосостоит из двух функций />и приэтом />, то
/>.
Проверим, осуществляется ли оценка />. (4)
Подставляя /> в (1),получим
/>
Или
/> />
Оценка (4) осуществляется, следовательно, />.
Вычислим верхнее среднее значение функции />.
По определению 3 имеем
/>.
Вычисляя интеграл
/>,
Получим
/>
Так как />, то />
Таким образом, верхнее центральное число семейства
/>,
где />, равно0, следовательно, верхний центральный показатель системы (3) также равен 0.
Заключение
Таким образом, мы выяснили, что если семейство состоит издвух функций />и при этом />, то />; верхний центральныйпоказатель рассмотренной системы совпадает с верхним центральным числомконечного семейства/>и равен 0.
Список использованной литературы
1. Б.Ф. Былов и др. «Теорияпоказателей Ляпунова» — М.: Наука, 1966 г., 564 с.