Введение
Многочисленныезадачи математики, математической физики, механики, техники
приводят к необходимости исследовать интегралы вида
при больших значенияхпараметра .
Можно по пальцам пересчитать те случаи, когдатакие интегралы явно вычисляются.
С другой стороны, при больших значениях параметра вычислениезначений таких
интегралов не подсилу даже самым современным ЭВМ.Единственное, что остается –
это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.
Асимптотическиеметоды, к сожалению, также имеют свои границы.Не следует думать,
что асимптотикулюбого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить.Но в ряде
случаев получающиеся асимптотические формулы настолькопросты, что сомневаться
в применении именно этих методов не приходится.
1.Основные формулы
ИнтеграламиЛапласа называются интегралы вида
, (1.1)
где -вещественнозначная функция,-большой положительный параметр.Функция
может приниматькомплексные значения.Будем считать для простоты, что
конечный отрезок и что -достаточно гладкиепри функции.Тривиальный
случай не рассматривается.
рис.1
Пусть и достигаетсятолько в точке
имеет максимум вточке
можно приближенно заменить интегралом по малой окрестноститочки максимума
и это приближениебудет тем точнее, чем больше
можно приближенно заменить по формуле Тейлора, и мы получиминтеграл, асимптотика
которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.
Пусть .Тогда ; пусть для простоты .Тогда
где — малое фиксированное число, и
.
Следовательно,
.
Заметим, что .Последний интеграл равен
(),
так как
.
Итак, мы получили асимптотическую формулу
(). (1.2)
Пример 1.Вычислим интеграл
. ().
Здесь функция наотрезке [-1,1] имеет максимум в точке ; также
.Все вышеперечисленные условия выполняются,следовательно можно ис-
пользовать формулу (1.2).
.
Получили формулу:
().
Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функцииЭйлера
Метод Лапласанепосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция не
имеет максимума наданном интервале.
Представим подинтегральную функцию ввиде
и сделаем заменупеременной, положив .Тогда имеем:
.
Наш интеграл примет вид:
.
Это интеграл Лапласа: здесь и .Функция достигает максимума
при , причем Поэтому по формуле (1.2) получаем
Получилиформулу:
Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга
так как для любогонатурального
Пусть теперь совпадает с одним изконцов отрезка, например интегралом по отрезку и заменяя
приближенно на этомотрезке функции
, получаем, что
Заметим, что
() (1.3)
Пример3.Вычислим интеграл
Здесь функция на отрезке [0,2] имеет максимум в точке
Следовательно, можно применить формулу (1.3):
Получили формулу:
По существу этидве формулы являются основными асимптотическими формулами для
интегралов Лапласа.Намудалось получить простые асимптотические формулы по двум
следующим причинам:
1).Подытегральнаяфункция имеет при больших резкий максимум (т.е.интеграл по
отрезку I можно приближенно заменитьинтегралом по малой окрестности точки
максимума).
2).Вокрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более
простой (например, такой, что интеграл от нее берется или егоасимптотика легко вычисляется).
2.Простейшие оценки
Лемма1.1. Пусть
и при некотором интеграл (1.1)сходится абсолютно:
.
Тогда имеет место оценка
.
3.Лемма Ватсона
Рассмотрим интегралЛапласа, в котором S-степеннаяфункция
(1.4)
где .Так как в окрестности точки максимума S(x) можно прибли-
женно заменить степенной функцией (вообще говоря), товычисление асимптотики
интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотикиэталонных интегралов (1.4).
Получимасимптотические оценки для при
Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть .Тогда при справедливо
асимптотическое разложение
(1.5)
Главный член асимптотики имеет вид
(1.5´)
Пример 4.Вычислим интеграл
()
Здесь , функция непрерывна на[0,].Применим формулу (1.5´):
Получили формулу:
()
4.Вклад от граничной точки максимума (основнойслучай)
Рассмотрим интеграл Лапласа (см.(1.1)).
Теорема1.1. Пусть — конечный отрезок и выполнены условия:
1º. достигается только вточке .
2º.
3º. при , близких к , и .
Тогда при справедливо разложение
(1.6)
Коэффициенты имеет вид
, (1.7)
Главный член асимптотики имеет вид
().
Рассмотрим интеграл
().
Пусть при имеем и функция
достигает максимуматолько в точке .Тогда при справедливаформула
. (1.8)
Пример 5.Вычислим интеграл
Функция положительнадля любого ; и достигает
максимума на этом отрезке в точке 0.Применяяформулу (1.8), получим
Пусть [a,b]- конечный отрезок и пусть функция достигает
максимума только в точке .Тогда для интеграла
().
справедлива формула
где , если ; , если совпадает с одним из концов отрезка.
Пример 6. Найдем асимптотику при полиномаЛежандра
где .
В данном случае . Функция достигаетмаксимума при
и По последнейформуле
находим,что
Пример 7.Покажем,что при
Здесь ,.Применяя последнюю формулу,
получим
5.Вкладот внутренней невырожденной точки максимума
Теорема 1.2. Пусть — конечный отрезок и выполнены условия:
1º. достигается только вточке .
2º.
3º. при , близких к , и .
Тогда при справедливо разложение
(1.9)
Коэффициенты имеет вид
(1.10)
Главный член асимптотики (1.9)имеет вид
().
Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, заисключением одного:
Тогда при справедливо разложение
(1.11)
Главный член асимптотики имеет вид
. (1.12)
Пример 8.Покажем,что при
.
Имеем , так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),
где Функция достигает максимумапри , причем
Интеграл выяисляется по формуле (1.12):
Получили формулу:
Пример 9.Покажем, что при
Воспользуемсятождеством
Тогда суммапримет вид
.
В данном случае ; остается применить теорему 1.3.
6.Программа и численные результаты
Следующая программа вычисляет интеграл по формуле Симпсона иметодом
Лапласа:
unit Main;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants,Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
GroupBox1: TGroupBox;
Label1: TLabel;
Edit1: TEdit;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit4: TEdit;
Label5: TLabel;
StatusBar1: TStatusBar;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
GroupBox2: TGroupBox;
Panel1: TPanel;
Panel2: TPanel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure FormMouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;
n: integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedureTForm1.Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите нижнююграницу';
end;
procedureTForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите верхнююграницу';
end;
procedureTForm1.Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите точность дляметода Симпсона';
end;
procedureTForm1.Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите параметр винтеграле Лапласа';
end;
procedureTForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='';
end;
functionf(x,lam:extended):extended; //Подинтегральная функция
begin
f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);
end;
functionsimpson(a,b:extended;n:integer):extended;
vars,h:extended;
m,mn:integer;
begin
h:=(b-a)/n;
s:=f(a,lam)+f(b,lam);
mn:=4;
for m:=1 to n-1 do begin
s:=s+mn*f(a+h*m,lam);
if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;
end;
simpson:=s*h/3;
end;
procedureTForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
a:=StrToFloat(Edit1.Text);
b:=StrToFloat(Edit2.Text);
eps:=StrToFloat(Edit3.Text);
lam:=StrToFloat(Edit4.Text);
n:=3;
r:=simpson(a,b,n);
repeat r2:=r;
n:=n+2;
r:=simpson(a,b,n); h:=(b-a)/n;
until(abs(r-r2)
Panel1.Caption:=FloatToStr(r);
lap:=2/lam;
Panel2.Caption:=FloatToStr(lap);
end;
procedureTForm1.Button2Click(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
procedureTForm1.Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Вычислениеинтеграла';
end;
procedureTForm1.Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Выход из программы';
end;
end.
Пример 3.Для интеграла
при получены результаты:
Пример 1.Для интеграла
получены результаты:
Пример4.Для интеграла
получены результаты:
Литература
Федорюк М.В. «Асимптотика:интегралы и ряды». М.: Наука, 1977.