Оглавление
Введение
§1.Система аксиом алгебры октав, еенепротиворечивость и категоричность
1.1 Непротиворечивость системы аксиомалгебры октав
1.2 Категоричность системы аксиомалгебры октав
§2. Дополнительные сведения обоктавах
2.1 Действия над октавами
2.2 Сопряженные октавы и их свойства
2.3.Некоторые тождества для октав
§3. Теорема Гурвица
3.1 Нормированные линейные алгебры
3.2 Теорема Гурвица
§4. Обобщенная теорема Фробениуса
Список литературы
Введение
Одномуизвестному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежаловысказывание- «Поскольку слова могут быть сравнены с буквами,употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, инаоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образомприспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся кязыку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснитьтрудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующихконкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал еепредметом своего изучения».
Предметоммоего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры — алгебраоктав.
Цель даннойисследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить,каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е.над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры внастоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кромепотери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можновыразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего «живого»нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая изних — алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебраКэли-Диксона.
Рассмотрималгебраическое определение октавы.
Октавой — называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоениемпо Кэли алгебры кватернионов:
/>
Здесьобозначены:
O — октава,
Q — кватернионы,
E — мнимая единица. />.
Октавы вомногих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов.Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля также выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и длякватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое ииспользовалось Фробениусом.
Объектомданной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.
Для октав,как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения,вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определеныпокомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимыхединиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операциюумножения.
Прииспользовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречаетсяоперация сопряжения.
Для октавопределены две операции сопряжения — алгебраическое и векторное. Два другихсопряжения — дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строенииоктав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическоесопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков укомпонент при всех мнимых единицах. Или, если, обозначить октаву покомпонентнокак
/>,
тосопряженная ей октава будет иметь вид:
/>.
§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность
Определение.Алгеброй октав называется алгебра />, если:
I. Алгебра /> — альтернативная линейная алгебра;
II. Телокватернионов /> есть подтело алгебры />;
III. е2= -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;
IV.Всякаяподалгебра альтернативной линейной алгебры />, содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадаетс алгеброй />.
1.1Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав
Теорема1. Система аксиомалгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивостисформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составимдекартово произведение K x K = {(u,v)|u/>K /> v/>K}, где К — множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2) />u1 =u2 />v1 = v2.
Вомножестве К х K определим операции сложения иумножения по правилам:
(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 +u2; v1 + v2);
(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 — v2v1; v2 u1 + v1 ū2).
Перейдемк проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра/> есть альтернативная линейнаяалгебра.
Сначалапокажем, что (К x К, +) естьабелева группа.
1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 +u2; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1+u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1+(u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3;v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),
т.е.сложение в (К х K, +)ассоциативно.
2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1+u2; v1 + v2) = (u2 +u1; v2 + v1) = (u2; v2)+ (u1; v1),
т.е.сложение в (К х K, +) коммутативно.
3) Решимуравнение
(u; v) + (x; y) = (u; v);
(u+ x; v+ y) = (u; v) /> u+ x = u^ v+ y= v ;/>x = 0, y = 0, т.е.(x; у) = (0;0).
Следовательно,нейтральным элементом в (К х K, +) являетсяпара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.
4) Решимуравнение
(u; v) + (x; y) = (0; 0):
(u+ x; v+ y) = (0; 0) />u+ x = 0^v+ y= 0 /> x = — u ^ y = — v, т.е. (x; у)= (- u; — v) или -(u; v) = (- u; — v).
Из 1) ,4)следует, что алгебра (К х K, +) естьабелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.
5)Покажем, что умножение в /> дистрибутивно относительно сложения как слева, так исправа.
С однойстороны:
((u1; v1) + (u2; v2)) /> (u3; v3) = (u1 +u2; v1 + v2) /> (u3; v3) = ((u1 +u2) u3 — />3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)ū3) = (u1 u3+u2 u3-/> 3v1 — />3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3).
С другойстороны:
(u1; v1) /> (u3; v3) + (u2; v2) /> (u3; v3) = (u1u3 -/> 3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 -/> 3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 -/> 3v1 + u2 u3 -/> 3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).
Сопоставляя правые частиполученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,
((u1; v1) + (u2; v2)) /> (u3; v3) = (u1; v1) /> (u3; v3) + (u2; v2) /> (u3; v3),
т.е.умножение в /> дистрибутивно справа относительно сложения.
Аналогичноустанавливается равенство:
(u3; v3) /> ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) /> (u2; v2) + (u3; v3) /> (u1; v1).
Действительно,с одной стороны:
(u3; v3) /> ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) />v (u2+ u1; v1+ v2) = (u3 (u1 +u2); (/>)v3;
(v1+ v2)u3+ v3(/>))= (u3 u1+u3u2 -/>1v3 — />2v3; v1u3 +u2 u3+ v3ū1+v3ū2);
с другойстороны:
(u3; v3) /> (u1;v1) +(u3; v3)/> (u2;v2) = (u3 u1 — />1v3;v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 — />2v3;v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1-/> 1v1 +u3 u2 -/> 2v3;v1 u3 + v3ū1 +v2u3 + v3ū2).
Сопоставляяправые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,умножение в /> дистрибутивно слева относительно сложения .
6)Покажем, что умножение в /> не ассоциативно.
Действительно,с одной стороны:
((u1; v1) /> (u2; v2)) /> (u3; v3) = (u1 u2 -/> 2v1; v2 u1 + v1 ū2) /> (u3; v3) = ((u1 u2 — />2v1)u3-/>3(v2 u1+ v1ū2);
v3(u1 u2 — />2v1)- (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2 u3 — />2v1u3 -/>3v2 u1-/>3v1ū2; v3u1u2 — v3/>2v1 — v2 u1 ū3 — v1ū2 ū3).
С другойстороны:
(u1; v1) /> ((u2; v2) /> (u3; v3)) = (u1; v1) /> (u2u3 — />3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 — />3v2) – />v1;
v1/>+ (v3u2+ v2ū3) u1) = (u1u2u3 — u1/>3v2–/>v1 — u3/>2v1;v1/> — v1/>2v3 +v3u2 u1 + v2ū3 u1).
Изсопоставления правых частей этих равенств следует, что
((u1; v1) /> (u2;v2)) /> (u3;v3) ≠ (u1; v1) /> ((u2; v2)/> (u3; v3))
т.е.умножение в /> не ассоциативно.
7) Рассмотримпроизведения:
(u1;v1) /> (u2;v2) = (u1u2 — />2v1; v2 u1 + v1 ū2);
(u2;v2) /> (u1;v1)=(u2u1 — />1v2; v1 u2 + v2 ū1).
Сравниваяправые части этих равенств, убеждаемся, что
(u1;v1) /> (u2;v2) ≠ (u2;v2) /> (u1;v1)
т.е.умножение в /> не коммутативно.
8) Покажем,что имеет место равенство
((u1; v1) /> (u2; v2)) /> (u2; v2) = (u1; v1) /> ((u2; v2) /> (u2; v2))
Преобразовавлевую сторону этого равенства, получаем:
((u1; v1) /> (u2;v2)) /> (u2;v2) = (u1 u2 — />2v1;v2 u1 + v1 ū2) /> (u2; v2)= ((u1 u2 — />2v1)u2-/>2(v2u1 + v1ū2);
v2(u1 u2 — />2v1)- (v2 u1 + v1ū2) ū2)= (u1 u2 u2 — />2v1u2-/>2v2 u1-/>2v1ū2;v2u1u2 — v2/>2v1 — v2 u1 ū2 — v1/>) = (u1 u2u2 — />2v1(u2 + ū2)– |v2|2u1; v2u1 (u2 + ū2)- v1/> — |v2|2v1).
Преобразовавправую сторону этого равенства, получаем:
(u1; v1) /> ((u2;v2) /> (u2;v2)) = (u1; v1) /> (u2 u2 — />2v2;v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2u2 — />2v2)–(/>)v1;
v1 (/>) + (v2 u2 + v2ū2) u1) = (u1u2 u2 — u1/>2v2–/>v1 – u2/>2v1;
v1/> — v1/>2v2 +v2 u2 u1+ v2 ū2 u1)= (u1 u2 u2 — (u2 + ū2)/>2v1 –u1|v2|2; (u2 + ū2)v2u1 + v1/> -v1|v2|2).
Здесьследует учитывать, что />2v2 =v2/>2 = |v2|2 и u2 + ū2 — действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств,убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно,равенство 8) справедливо.
9) Покажем,что имеет место равенство
(u2; v2) /> ((u2; v2) /> (u1; v1)) = ((u2; v2) /> (u2; v2)) /> (u1; v1).
Преобразовав левую сторонуэтого равенства, получаем:
(u2; v2) /> ((u2; v2) /> (u1; v1))= (u2; v2) /> (u2u1 — />1v2;v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1u2 — />2v1)– />v2;
(v1 u2 — v2 ū1) u2 +v2 />) = (u2u1 u2 — u2/>1v2–/>v2 — u1/>2v2;v1u2u2 + v2 ū1 u2+ v2 /> — v2/>2v1)= (u2u1 u2 — u1 |v2|2 — (u2 + ū2)/>1v2;v1u2u2 + v2 ū1(u2+ ū2)- |v2|2 v1).
Преобразовавправую сторону этого равенства, получаем:
((u2; v2) /> (u2;v2)) /> (u1;v1) = (u2 u2 — />2v2;v2 u2 + v2 ū2) /> (u1; v1)= ((u2 u2 — />2v2)u1 — />1(v2u2 + v2 ū2);
v1(u2 u2 — />2v2)+ (v2 u2 + v2 ū2) ū1)= (u2 u2 u1 — />2v2u1 — />1v2u2 — />1v2ū2; v1u2 u2 — v1/>2v2 +v2 u2 ū1 + v2/>) = u2 u2u1 — />1v2(u2+ ū2) — |v2|2u1; v1u2u2 — v1 |v2|2+ v2 ū1(u2+ ū2).
Сравниваяправые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью допорядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.
Изравенств 8) и 9) следует, что умножение в /> альтернативно.
10) Дляопределения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операцииумножения в /> решим уравнение:
(u; v) /> (x; y) = (u; v),
вкотором и и v одновременно не равны 0, так как (0;0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:
(u; v) /> (х; у) = (u; v) />(хu — />y; уи + v/>) = (и; v) />/>
Умножимобе части первого уравнения этой системы слева на u-1=/>, откуда:
(u-1/> u)x = u-1/>v+ u-1u/>x = />/>v/> />=1+ /> />уи.
Подставимполученное значение /> во второе уравнение системы:
v(1+ />/>уи) + уи = v/>v+ />v />уи+ уи = v/>/>уи+уи=0 />(/>+1)уи=0,
откудапри u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда /> = 0 и из первого уравнениясистемы
их = иследует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичнымэлементом в />.
Вслучае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение.системыимеет вид v/> = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0,т.е. приходим к тому же решению.
Дляопределения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в /> решим уравнение:
(х; у) /> (u; v) = (u; v),
вкотором опять и и v одновременно несчитаем равными 0, так как (0; 0) = 0Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опятьu ≠ 0. Тогда:
(х; у) /> (и; v) = (и: v) /> (хи — />y; vх — уū) =(и; v) />/>/>
Умножимобе части первого уравнения этой системы справа на u-1=/>, откуда:
x(u/>u-1) = />y/>+ u*u-1 />x = 1+ />2/>yū,
Подставимполученное значение х во второе уравнение системы:
v(1+ />2/>yū) + уū= v/>v + />2 v/>yū + уū= v/>/>yū+ уū= 0 />(/>+ 1)уū =0,
откудапри u ≠ 0 следует, что у = 0 и изпервого уравнения системы хu = и следует, чтох = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в />. Обозначим (1; 0) = 1U,
11) Дляопределения правого симметричного для (u; v) элемента решимуравнение:
(u; v) /> (х: у) = (1; 0) /> (их — />v; уи+ v/>) = (1; 0) />/>
Умножимобе части первого уравнения этой системы слева на u-1=/>2, откуда:
(u-1/>u)x = u-1/>v + u-1 />x =/>2+/>2/>v />/> = />2 + />2/>yu.
Подставимполученное значение /> во второе уравнение системы:
v/>/> + />+ уи= 0 /> />2 + />2 v/>yu + уи= 0 />(|u|2 + |v|2) yu = — vu /> (|u|2+ |v|2) y = — v,
откуда
у = — />.
Тогда извторого уравнения системы
v/> — />u =0/>v/>/>/> — /> =0/>/>= /> /> x= />.
Итак,пара
(x; y) = />; -/>
являетсяправым обратным элементом для элемента (u; v) в />.
Дляопределения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в /> решим уравнение:
(х; у) /> (u; v) = (1; 0),
вкотором опять и и v одновременно несчитаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:
(х; у) /> (u; v) = (1; 0) /> (xu — />y; vx + yū)= (1; 0) />/>
Умножимобе части первого уравнения этой системы справа на u-1=/>2 откуда:
x /> (u/> u-1) = />y/>2 + />2/> x = />2 (/>yū + ū).
Подставимполученное значение х во второе уравнение системы:
v/>/>2(/>yū + + ū) + yū = 0 />(|u|2+ |v|2) yū = — vū
откудапри ū ≠ 0 следует, что у = — />.и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем
xu — />/> =1,
откудаследует, что
xu= 1 — /> = />.
Умножимэто равенство справа на u-1=/>,тогда
x = /> */> = />
Итак,пара
(x; y) = />; -/>
являетсяи левым обратным элементом для элемента (u; v) в />. Обозначим его (u, v)-1.
Левый иправый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждыйненулевой элемент обратим в />.
Из 1)-11) следует, что алгебра /> есть альтернативная линейная алгебра с делением иединицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.
Проверимвыполнение второй аксиомы на построенной модели.
Пусть U1 = {(u; 0)|u /> K}. Ясно, что U1/> K x K.
Покажем,что множество U1 замкнуто относительно введенных ранееопераций сложения и умножения:
(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2:0 + 0) = (u1 + u2: 0) /> U1;
(u1, 0) /> (u2,0) = (u1/> u2 – />/>0; 0 />u1 + 0 />ū2) =(u1 /> u2: 0) /> U1.
Далее:
— (u; 0) = (- u; — 0) = ( — u; 0) /> U1;
(u; 0)-1 =/> = />/> U1,
откудаследует, что /> есть под тело алгебры />,/>.
Покажем,что /> изоморфно телу кватернионов />. Для этого рассмотримотображение f: U1 → K такое, что (/>(u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит всоответствие кватернион и. Имеем:
f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2:0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2;0));
f (- (u; 0)) = f (( — u; 0)) = — u = — f ((u; 0));
f ((u1; 0) /> (u2;0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1/> u2= f ((u1; 0)) /> f((u2; 0));
f ((u; 0)-1) = f ((/>;0)) = />; 0 = u-1 = f ((u; 0))-1,
откудаследует, что отображение fявляется гомоморфным отображением алгебры />в тело кватернионов. Это отображение биективно, таккак
f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) /> u1 = u2 /> (и1; 0) = (и2;0) и f (U1) = К.
Следовательно,отображение f есть изоморфизм тела /> на тело кватернионов (К, +, .), т.е.тело /> изоморфно телу кватернионов. В этомслучае мы можем рассматривать тело /> как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару(u;0) отождествлять с кватернионом и. Атак как /> есть подтело алгебры />, то и изоморфное ему телокватернионов является подтелом алгебры />.
Проверимвыполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:
(0; 1)2= (0; 1) /> (0; 1) = (0/>0 — />/>1; 1/>0+1/>/>) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = — 1.
С другойстороны:
(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0:1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠(k; 0) = k.
Обозначим:(0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.
Изпроверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) /> />, представим в виде u + ve, где и, v є К и е2 = -1. Действительно,
(u; v) = (u; 0)+ (0: v) = (u; 0) + (v; 0) *(0; 1) = и + ve.
Проверимвыполнение четвертой аксиомы. Пусть /> подалгебраалгебры />, содержащее в себе тело кватернионови элемент е. Ясно, что U//> Кх К. Если мы покажем, что К х K />U/, то тем самым /> совпадаетс />. Так как каждый элемент алгебры />имеет вид u+ve, где и, v /> К. е2 = — 1, то u + vj/>U/, так как и, v /> К /> U/, e /> U/ и /> — альтернативнаяалгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, Кх K />U/, откуда U/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.
Так какна построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомыалгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.
Мыпоказали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v /> К. Пусть
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d /> R.
Тогда,
и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e =a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).
Вычислим
ie = (i; 0) (0; 1) = (i/>0- />/>0; 1/>i + 0/>/>) = (0; i);
je = (j; 0) (0; 1) = (j/>0- />/>0; 1/>j + 0/>/>) = (0; j);
ke = (k; 0) (0; 1) = (k/>0- />/>0; 1/>k + 0/>/>) = (0; k),
откудаследует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущихмнимых единид i, j, k, e.
Покажем,что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,
(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (i/>i- />/>0; 0/>i + 0/>ī) = (-1; 0) =-1;
(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (j/>j- />/>0; 0/>j + 0/>ī) = (-1; 0) =-1;
(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (k/>k- />/>0; 0/>k + 0/>ī) = (-1; 0) =-1.
Следовательно,ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимыхединиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
где a,b,c,d, a,b,c,d /> R.
Этуформу записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.
1.2Категоричность системы аксиом алгебры октав
Теорема2. Система аксиомалгебры октав категорична.
Пусть (U, +, ., e) и (U1, />,/>, e1 ) — две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1.
Рассмотримотображение Ф: U → U такое, что
Ф (u+ve) = u/>v/>e1, u,v /> К.
Покажем,что Ф — гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.
Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда:
Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)/>(v1+v2)/>e1 = (u1/>v1/>e1 ) /> (u2/>v2/>e1) = Ф(u1+v1e) /> Ф(u2+v2e) = Ф(w1)/>Ф(w2);
Ф(w1/> w2) = Ф((u1+v1e) /> (u2+v2e)) = Ф((u1u2 — />2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 — />2v1) />(v2u1 + v1 ū2) />e) =(u1/>u2 Ө />2/>v1)/>(v2u1 />v1/>ū2)/>e) =(u1/>v1/>e1)/>( u2/>v2/>e1) = Ф(u1+v1e) /> Ф(u2+v2e) = Ф(w1) />Ф(w2);
Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨv/>e1 = Ө(u/>v/>e1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);
Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(/>Ө/>/>e)= (/>Ө/>/>e) = />Ө/>/>e = (u/>v/>e1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w))Ө1.
Следовательно,отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры /> в(U1, />,/>, e1 ).
Покажем,что отображение Ф инъективно:
Ф(w1)=Ф(w2) /> Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e) /> u1/>v1/>e1 = u2/>v2/>e1/> u1=u2/>v1=v2/> u1+v1e= u2+v2e/> w1= w2.
Сюръективностьотображения Ф очевидна, так как
(/>q/>U1) (/>u,v/>K)p= u/>v/>e1/> (/>u+ve = w/>U) Ф(w) = p.
Итак,отображение Ф есть изоморфизм алгебры /> наалгебру (U1,/>,/>,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категоричнаввиду изоморфности произвольных ее моделей.
§2.Дополнительные сведения об октавах
В ходедоказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили,что любую октаву можно представить в виде:
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
где a,b,c,d, a,b,c,d /> Rи i2 = j2= k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1,
причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению.
Черезпары эти мнимые единицы выражались следующим образом:
i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0;k).
Вычислимдругие произведения мнимых единиц:
iI = (i; 0)(0;i) = (i/>0 – ī/>0; i/>i + 0/>/>) = (0; -1) = -(0; 1) = — e;
iJ = (i; 0)(0;j) = (i/>0 – />/>0; j/>i + 0/>/>) = (0; -k) = -(0; k) = — K;
iK = (i; 0)(0;k) = (i/>0 – />/>0; k/>i + 0/>/>) = (0; j) = J;
I i = (0;i)(i; 0) = (0/>i – />/>i; 0/>0; + i/>ī) = (0; 1) = e;
J i = (0;j)(i; 0) = (0/>i – />/>j; 0/>0; + j/>ī) = (0; k) = K;
K i = (0;k)(i; 0) = (0/>i – />/>k; 0/>0; + k/>ī) = (0; -j) = — (0; j) = -J;
jI = (j; 0)(0;i) = (j/>0 – ī/>0; i/>j + 0/>/>) = (0; k) = K;
jJ = (j; 0)(0;j) = (j/>0 – />/>0; j/>j + 0/>/>) = (0; -1) = -(0; 1) = — e;
jK = (j; 0)(0;k) = (j/>0 – />/>0; k/>j + 0/>/>) = (0; — i) = — (0; i) = -I;
I j = (0; i)(j;0) = (0/>j – />/>i; 0/>0 + i/>/>) = (0; -k) = -(0; k) = — K;
J j = (0; j)(j;0) = (0/>j – />/>j; 0/>0; + j/>/>) = (0; 1) = e;
K j = (0; k)(j;0) = (0/>j – />/>k; 0/>0; + k/>/>) = (0; i) = I;
kI = (k; 0)(0;i) = (k/>0 – ī/>0; i/>k + 0/>/>) = (0; -j) = — (0; j) = -J;
kJ = (k; 0)(0;j) = (k/>0 – />/>0; j/>k + 0/>/>) = (0; i) = I;
kK = (k; 0)(0;k) = (k/>0 – />/>0; k/>k + 0/>/>) = (0; -1) = — (0; 1) = — e;
I k = (0; i)(k;0) = (0/>k – />/>i; 0/>0; + i/>/>) = (0; j) = J;
J k = (0; j)(k;0) = (0/>k – />/>j; 0/>0; + j/>/>) = (0; — i) = — (0; i) = -I;
K k = (0; k)(k;0) = (0/>k – />/>k; 0/>0; + k/>/>) = (0; 1) = e;
e i = (0;1)(i; 0) = (0/>i – />/>1; 0/>0; + 1/>ī) = (0; — i) =- (0; i) = -I;
e j = (0;1)(j; 0) = (0/>j – />/>1; 0/>0; + 1/>/>) = (0; -j) = — (0; j) = -J;
e k = (0;1)(k; 0) = (0/>k – />/>1; 0/>0; + 1/>/>) = (0; -k) = — (0; k) = — K;
I e = (0;i)(0; 1) = (0/>0 – />/>i; 1/>0; + i/>/>) = (-i; 0) = — (i; 0) = — i;
J e = (0; j)(0; 1) = (0/>0 – />/>j; 1/>0; + j/>/>) = (- j; 0) = — (j; 0) = — j;
K e = (0; k)(0; 1) = (0/>0 – />/>k; 1/>0; + k/>/>) = (- k; 0) = — (k; 0) = — k;
e I = (0;1)(0; i) = (0/>0 –ī/>1; i/>0; + 1/>/>) = (i; 0) = i;
e J = (0;1)(0; j) = (0/>0 –/>/>1; j/>0; + 1/>/>) = (j; 0) = j;
e K = (0;1)(0; k) = (0/>0 –/>/>1; k/>0; + 1/>/>) = (k; 0) = k;
I J = (0;i)(0; j) = (0/>0 –/>/>i; j/>0 + i/>/>) = (- k; 0) = — (k; 0) = — k;
I K = (0;i)(0; k) = (0/>0 –/>/>i; k/>0 + i/>/>) = (j; 0) = j;
J K = (0;j)(0; k) = (0/>0 –/>/>j; k/>0 + j/>/>) = (- i; 0) = — (i; 0) = — i;
J I = (0;j)(0; i) = (0/>0 –ī/>j; i/>0 + j/>/>) = (k; 0) = k;
K I = (0;k)(0; i) = (0/>0 –ī/>k; i/>0+ k/>/>) = (- j; 0) = — (j; 0) = — j;
K J = (0; k)(0; j) = (0/>0 –/>/>k; j/>0 + k/>/>) = (i; 0) = i.
При умножениина мнимые единицы кватернионов образуются дополнительно три несоставных мнимыхединицы. Правило произведения мнимых единиц (1,i,j,k,E,I,J,K) может бытьпредставлено таблицей 1.
Припользовании этой таблицей первым сомножителем следует брать элемент, занимающийстроку, а вторым сомножителем — элемент, занимающий столбец.
1 i j k E I J K 1 1 i j k E I J K i i -1 -k -j -I E K -J j j k -1 i -J -K E I k k -j -i -1 -K J -I E E E I J K -1 -i -j -k I I -E K -J i -1 k -j J J -K -E I j -k -1 i K K J -I -E k j -i -1
Илидиаграммой взаимных произведений:
/>
При получениивышеприведенной таблицы произведений мы исходили из правого закона произведениямнимых единиц кватернионов (внутренний круг диаграммы), правого закона произведенияновых единиц (внешний круг диаграммы) и правого закона произведения мнимыхединиц исходных кватернионов на мнимую единицу E (радиальные линии диаграммы).Так же можно использовать определение октав с левыми правилами произведения. Вдальнейшем мы будем полагать, что используются правые правила.
§3.Действия над октавами
Так какпо доказанному пара вида (и; v),где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk /> K, есть и u+ ve, или в алгебраической форме
a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
тосложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу:
p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K) =
= a+a1+(b+b1)i +(c+c1)j +(d+d1)k+(A+ A1)e +(B+B1)I +(C+C1)J +(D +D1)K.
Умножениеоктав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка,умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице.
Упражнения:1. Приведите полное представление произведения двух октав
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K
в алгебраической форме.
(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K)=a a1+ab1i+ ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1+bib1i+bic1j+bid1k+diA1E+biB1I+biC1J+
biD1K+cja1+cjb1i+cjc1j+cjd1k+cjA1E+cjB1I+cjC1J+cjD1K+dka1+dkb1i+dkc1j+dkd1k+dkA1E+dkB1I+dkC1J+dkD1K+AEa1+AEb1i+AEc1j+AEd1k+AEA1E+AEB1I+AEC1J+AED1K+BIa1+BIc1j+BId1k+BIA1E+BIB1I+BIC1J+BID1K+CJa1+Cjb1i+CJc1j
+CJd1k+CJA1E+CJB1I+CJC1J+CJD1K+Dka1+DKb1i+DKc1j+DKd1k+DKA1E+DKB1I+DKC1J+DKD1K=aa1+ab1i+ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1-bb1+bc1k-bd1j-bA1I+bB1E+bC1K+bD1J+cja1-cb1k-cc1+cd1i-cA1J+cB1K-Cc1E+cD1I+dka1+db1j-c1di-dd1+dA1K-dB1J+dC1I-dD1E+AEa1-Ab1I-Ac1J-Ad1K-AA1+Ab1i+AC1j+AD1k+Bia1+Bb1E-Bc1K+Bd1J-Ba1i-BB1-BC1k+BD1j+CJa1+Cb1K-Cc1E-Cd1I-CA1j+CB1k-CC1-CD1i+DK1a-Db1J-Dc1I+Dd1E-DA1k-DB1j+DC1i-DD1=aa1-bb1-cc1-dd1-AA1-BB1-CC1-DD1+i(ab1+ba1+cd1-dc1+AB1-BA1--cD1+Dc1)+j(ac1-bd1+ca1+db1+AC1+BD1-CA1-DB1)+k(ad1+bc1-cb1+da1+AD1-BC1+CB1-Da1)+E(aA1-bB1-cC1-dD1+Aa1+Bb1+Cc+Dd1)+I(aB1+bA1-Cd1+dC1-Ab1+Ba1-Cd1-Dc1)+J(ac1+bD1+cA1-dB1-Ac1+Bd1+Ca1-Db1)+K(aD1-bC1+cB1+Da1-Ad1-Bc1+Cb1 +Da1).
Этотрезультат можно записать в матричной форме:
/>/>,
/>.
Решениепримеров:
Пример1.
Сложитькватернионы:
(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.
Пример 2.
Выполнить умножение:
(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.
Пример3.
Решитьуравнение:
(1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k.
В правойчасти приведем подобные слагаемые.
(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.
x=(1-2i+4K )-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);
x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)/>
§4.Сопряженные октавы и их свойства
Определение.Если дана октава
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
тооктава
/>= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK
называетсясопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна />= ū- ve.
Свойствасопряженных октав:
1) р + /> =2а /> R (выводится непосредственным сложением октавы
р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
с сопряженной ей октавой).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2) w/>=/>w = a2 + b2 + c2+ d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
В самом деле:
w/>=(u+ ve)(ū- ve) = (u/>ū –(-/>)v)+(-vu+vu)e = (u/>ū+ />/>/>)+(-vu+vu)e =(|u|2+ |v|2) + 0/>e= |u|2 + |v|2.
Здесь ии v кватернионы
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
А таккак
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
то w/>=|u|2 + |v|2= a2 + b2 + c2 + d2 + A2+ B2 + C2 + D2.
Аналогичнодоказывается равенство
/>w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
3) w= />/>w= а /> R.
4) />=/>+/>
(вычислениелевой и правой частей равенства дает
одинаковыезначения).
В самомделе:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K);
левая часть:
/>=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K);
правая часть:
/>= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);
/>=( a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K);
/>+/>=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).
Отсюдаследует, что
:/>= />+/>.
5) />=/>/>/>.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 — кватернионы.
Так как
w/> w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 — />v) + (v1u+vū1)e,
то
/>= />+ (v1u+vū1)e= (ū1ū -/>v) — (v1u+vū1)e.
С другойстороны:
/>/>/>= (ū1 — v1e) (ū — ve) =(ū1 ū -(-/> (-v1))+(- vū1 -v1/>) = (ū1ū -/>v1) — (vū1+v1u)e.
В силусовпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.
6) w/>/>+w1/>/>=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+AA1+BB1+CC1 +DD1)/> R,
Если
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 — кватернионы. Так как
w/>/>=(u+ ve) (ū1 — v1e) = (u ū1+/>v)+(- v1u+ v/>1)e = (u ū1+/>v)(vu1 –v1u)e
а w1/>/>=( u1+ v1e)(ū — ve) = (u1ū+ />v1)+ (-vu1+v1u)e,
то сложивэти два равенства, получим:
w/>/>+ w1/>/>= (u ū1+/>v+u1ū+ />v1) + (- v1u+ vu1 — vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū +/>v + />v1) + 0/>e = u ū1+u1ū +/>v + />v1 .
В силусвойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:
u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
/>v + />v1= 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),
u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Тогда изпоследних равенств следует
w/>/>+ w1/>/>= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
4.1Модуль октавы
Определение.Модулем октавы
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
называется
/>
Модульоктавы w обозначается |w|. Следовательно,
|w| = />.
Изсвойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w/>=/>w. Модуль октавы обладает свойствами:
1) |w| ≥ 0 и |w| = 0 />w=0;
2) |w w1| = |w|*|w1|.
Действительно,
|w w1|2 = (w w1)(/>) = (w w1) (/>/>/>) = w(w1*/>)/>/>= w|w1|2/>/>= |w1|2 w/>/>= |w1|2/>|w|2,
Откуда
|w w1| = |w|/>|w1|
Равенство|pq| = |p|/> |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом видеимеет вид:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2+ B2 + C2 + D2)/> (/>) = (aa1 — bb1 — cc1 — dd1 — AA1 -BB1 — CC1 — DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1-c1d — A1B + B1A + C1D- CD1)2 +(ac1 + a1c — bd1 +b1d — a1c + ac1 — b1d + bd1)2 +(ad1 +a1d+ bc1 — b1c — a1d + ad1 + b1c — bc1)2+(a1a — b1b — c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1+ Dd1)2 +
(a1b+b1a + c1d-d1c — Ab1 + Ba1 — Cd1 + Dc1)2 +(a1c+ c1a- b1d+ d1b — ac1 + ca1 + bd1 — db1)2 +(a1d+ d1a+ b1c- c1b — ad1 + da1 — bc1 + cb1)2.
Эторавенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьмидействительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чиселравно сумме квадратов восьми действительных чисел.
Если
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
— чистомнимая октава, то
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 — c2 — d2 — A2 — B2 — C2 — D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0,
т.е.квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.
Можнопоказать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительноечисло, то эта октава — чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w/, где w/ — чисто мнимая октава
bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, a, a/>R, то
w2= (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2aw/ =a2 — b2 — c2 — d2 — A2 — B2 — C2 — D2 +2a w/.
Если это выражение естьдействительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, иследовательно, w2 = а2 не может быть ≤0. Следовательно, только октавы вида
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
могутобладать тем условием, что их квадраты являются неположительнымидействительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,a/>R, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава />= а –p /.
В ходедоказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что
(u; v)-1 = />; -/>.
Так как(и; v) = и + ve, то тогда
(и + ve)-1 = /> -/>.
Если
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
этоозначает, что
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1=/>= />/>,
если
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
Итак,октава, обратная октаве w,есть октава />/>.
Покажем,что в алгебре октав имеет место равенство:
(ww1) />1 = w(w1/>1).
Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 />K, Тогда:
(ww1)/>1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 — v1e) = ((uu1-/>v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 — v1e) = ((uu1 -/>v)ū1+ />(v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 -/>v)+ (v1u+ v ū1)/>1)e = (uu1 ū1 -/>vū1+ />v1u+ />vū1) +(-v1uu1+v1/>v + v1u u1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.
w(w1/>1) = w|w1|2.
Сравниваяправые части этих равенств, получаем:
(ww1) />1 = w(w1/>1).
Покажемтакже, что в алгебре октав имеет место равенство:
1(w1w) = (/>1w1)w).
Действительно,
/>1(w1w) = (ū1 — v1e)((u1+ v1e)(u+ve)) = (ū1 — v1e) ((u1u-/>v1 )+(vu1+ v1ū)e) = (ū1(u1u--/>v1 ) – (/>)(-v1))+((vu1+ v1ū)ū1 — v1(/>))e = (ū1(u1u-/>v1 ) + (ū1/>+ u/>)v1) + ((vu1+ v1ū)ū1 — v1(ū ū1 — />v))e= (ū1u1u- ū1/>v1 + ū1/>v1+ u/>v1) + (vu1 ū1+ v1ūū1 — v1ūū1 — v1/>v)e =(|u1|2u + u|v1|2)+(v|u1|2 + |v1|2v)e = (|u1|2+ |v1|2)u + (|u1|2 + |v1|2)ve = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w./>.
С другойстороны,
(/>1w1)w = |w1|2w.
Сравниваяправые части этих равенств, получаем:
/>1(w1w) = (/>1w1)w.
Рассмотримуравнение wх = w1, где
w = и + ve = a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK,
w1 =a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1J+D1K.
— известные октавы, а х — неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на />, w ≠ 0. Тогда:
/> (wх) = />w1 />(/>w)х = />w1 />|w|2 х = />w1 /> х = />/>w1.
В этомслучае октава х называется левой частной от деленияоктавы w1ww на октаву w.
Аналогично,решением уравнения yw = w1 является
yy y = />w1/>,
называемыйправым частным от деления октавы w1ww на октаву w.
Найдемквадратный корень из октавы
ww w = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.
Значениеквадратного корня из этой октавы будем искать как октаву
θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK ,
где x, y, z, t, X, Y, Z, T />R, удовлетворяющий условию θ 2 = w.Следовательно,
(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK /> x2 – y2 – z2 – t2 -X2 – Y2 – Z2 – T2+ 2xyi + 2xzj +2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK />
/>/>
Если x ≠ 0, тo изпервого уравнения системы следует, что
4х4 — 4ах2 – (b2 + c2 + d2+ A2 + B2 + C2 + D2) = 0 />
x2= /> (a± />) = />(a± |w|).
Так какх2 ≥ 0, то х2 = />(a± |w|), откуда x=± />.Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, T находим из равенств
y = />, z = />, t = />, X = />, Y = />, Z = />, T = />.
Израссмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовыхсистем много общего. Алгебраические формы записи элементов этих числовых системпредставляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимыхединиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятиеэлемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни ите же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятиемодуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковымисвойствами. То, что квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы естьнеположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а +t, где а /> R и t2 ≤ 0. Формула извлечения корняквадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки сучетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическомуопределлллению этих числовых систем так жеможно заметить общий подход к построению моделей этих числовых систем. Это такназываемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении новогочислового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем какупорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоениеммножества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоениеммножества комплексных-чисел — множество кватернионов, удвоениеммножества кватернионов — множество октав, причем операции сложения и умноженияв построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствамиобладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойствахорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическимпостроением этой числовой системы.
ТеоремаФробениуса, которую мы рассмотрели в, поле комплексных чисел и телокватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативнойлинейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемсяустановить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел,тело кватернионов и алгебра октав.
4.2Алгебраическое сопряжение
Определение. Алгебраическимсопряжением называется сопряжение, которое в сочетании с операцией умноженияпозволяет в любой алгебре получать действительное число. Как видим, различийотносительно сопряжения по мнимой единице два — во-первых, отсутствуеттребование использования операции сложения и во-вторых в сочетании спроизведением требуется получение числа именно алгебры действительных чисел, ане одной из предшествующих удвоению.
/>.
Или,алгебраическое сопряжение используется для определения модуля числа алгебры.
Для того,чтобы получить действительное число в случае произвольной гиперкомплекснойалгебры, следует придумать процедуру, с помощью которой можно отбросить всемнимые единицы. Наиболее простой операцией сопряжения, при этом похожей наопределенное выше сопряжение, является операция смены знаков сразу у всехмнимых единиц числа, безотносительно способа их получения и их свойств:
/>.
Сменив знакипри всех мнимых единицах, получим:
/>.
Естественно,что столь вольное обращение с мнимыми единицами не может гарантировать, что />является действительнымчислом. Но при этом отметим, что сумма />какраз является действительным числом. Таким образом, нам нужно отображение,которое произведению в одной области сопоставляет сложение в другой и наоборот.Такой операцией является пара отображений — логарифмирование и потенцирование.Еще раз напомним их свойства:
/>,
/>,
в случае,если a и b коммутируют по умножению.
Такимобразом, для получения числа, алгебраически сопряженного заданному, нужно найтиего логарифм, сменить знаки у всех мнимых единиц и потенцировать.
Любое числолюбой гиперкомплексной алгебры естественным образом коммутирует как само ссобой, так и с действительным числом, поэтому
/>.
Или, если
/>, то />.
Среди свойствалгебраического сопряжения отметим весьма важные:
— сопряженноепроизведения равно обратному произведению сопряженных:
/>,
/>,
— в некоторыхалгебрах алгебраическое сопряжение совпадает по результату с сопряжением подействительных чисел, все виды сопряжения в ней совпадают. Сопряжение по мнимойединице:
/>.
a) Алгебраическое сопряжение:
/>;
/>,
то есть сменазнаков мнимых единиц после логарифмирования эквивалентна смене знака у мнимойединицы самого числа:
/>.
Здесьодинаково обозначены сопряжение по мнимой единице и алгебраическое. Полагаю,пока нет совмещения сопряжений в одной формуле, разночтений возникнуть недолжно.
б)кватернионы.
Кватернионыимеют строение:
/>
и полученынекоммутативным удвоением алгебры комплексных чисел:
/>.
Мнимаяединица удвоения j не коммутирует с единицей i, поэтому сопряжение по нейтребует сопряжения также и по i и по k:
/>.
Алгебраическоесопряжение в кватернионах, также как в комплексных числах, просто меняет знак укомпонент при мнимых единицах:
/>.
То есть вкватернионах сопряжение по мнимой единице и алгебраическое сопряжение так жесовпадают.
§5.Некоторыетождества для октав
Приведемосновные тождества, применимые к октавам. Тождества базируются на понятииассоциатора, коммутатора и йорданова произведения.
(/>)=/> — ассоциатор;
/> — коммутатор;
/> — йорданово произведение.
Линеаризуятождества, несложно получить, что
/>& />.
Такимобразом, ассоциатор есть кососимметрическая функция от x, y, z. В частности:/>.
/>.
Алгебры,удовлетворяющие этому условию, называются эластичными. Таким образом, алгебраоктав эластична. Покажем на основе эластичности тождество:
/>,
/>.
В силу того,что /> для октав всегда есть действительное число, а в силуэластичности, /> получаем:
/>.
Такимобразом, для эластичной алгебры справедливо:
/>.
ФункцияКлейнфелд:
/>.
Лемма1. /> — кососимметрическая, для любой парыравных аргументов
/>.
В силу правойальтернативности
/>.
Во всякойалгебре справедливо тождество:
/>.
Достаточнораскрыть все ассоциаторы. Обозначив левую часть этого равенства через />, получим:
/>
Поменявместами: />получим: />.
Используя />, получим, что />при любых одинаковых аргументах. Изэтого следуют тождества:
1) />/>;
2) />;
3) />;
4) />.
ТождестваМуфанг.
Правоетождество Муфанг: />;
Левое тождествоМуфанг: />;
Центральноетождество Муфанг: />.
Вопросы остроении простых алгебр в том или ином многообразии являются одними из главныхвопросов теории колец. Мы уже знаем один пример простой неассоциативнойальтернативной алгебры — это алгебра Кэли-Диксона. Оказывается, что другихпростых неассоциативных альтернативных алгебр не существует. Этот результатдоказывался с нарастанием общности на протяжении нескольких десятков летразными авторами: вначале для конечномерных алгебр (Цорн, Шафер), затем дляалгебр с нетривиальным идемпотентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак,Клейнфелд, Скорнаков), для коммутативных альтернативных алгебр (Жевлаков) и т.д. Наибольшее продвижение было получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякаяпростая альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся ниль-алгебройхарактеристики 3, есть алгебра Кэли-Диксона. Окончательное описание простыхальтернативных алгебр осуществилось после появления теоремы Ширшова о локальнойнильпонентности альтернативных ниль-алгебр с тождественными соотношениями.
§6.Теорема Гурвица
6.1 Нормированныелинейные алгебры
Пусть /> -линейная алгебра ранга пнад полем действительных чисел и х, у /> А. Если e1, e2, ..., еn — базис А, то:
х = х1е1+ х2е2 +… + хпеп, у = y1е1 + y2е2 +… + yпеп. .
Определение.Скалярным произведением элементов х, у /> А называется сумма х1у1+ х2у2 +… + хпуп.
Обозначениескалярного произведения:
(х, у) =х1у1 + х2у2 +… + хпуп.
Вчастности:
(х, х) =/>+/>+… +/>.
Скалярноепроизведение элементов х, у/>А должно удовлетворять общим условиям скалярногопроизведения в линейных пространствах:
1)длялюбых х, у /> А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда,когда х = 0;
2)длялюбых х, у /> А имеет место (х, у) = (у, х);
3)длялюбых х, у /> А и А /> R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):
4)длялюбых х, у, z /> А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).
Определение.Линейная алгебра />называетсянормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у /> А таким образом, чтобы выполнялосьравенство:
(ху, ху)= (х, х)(у, у). (/>)
Еслиположим />=|х|. то равенство (/>) записывается в виде:
|ху| =|х| /> |у|.
Из (ху,ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самомделе, тогда
(0, 0) =(х, х)(у, у) /> (х, х)(у, у) = 0,
откудалибо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.
Лемма1. Любой элементлинейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которыхпропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.
Пусть e /> А, и u/>e, а — произвольный элемент из А.Покажем, что найдется такое k /> R, что a — ke/>e. Тогда:
a — ke/>e /> (a – ke, e) = 0 />(a, e) – k(e, e) = 0.
Скалярное,произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а — kе) = kе + u, где u = a — ke/>e.
Следствие. Если /> -линейная алгебра с единицей 1, то для любого а /> А имеет место а = k1 + u, где u /> 1.
Пример1. Пусть (C, +, .R, .) — поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1,i. Скалярное произведение двухкомплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = />(zū + u/>).
Так как
zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,
u/>= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,
то (z, u) = />(zū + u/>) = ac+bd.
Вчастности,
(z, z) = />(z/> + z/>) = z/>= |z|2 = a2+b2.
Так как,
zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,
то (zu, zu) = />((zu)*(/>)+( zu)( />))=( zu)(/>)=|zu|2 =(ac-bd)2+( ad+bc)2=
a2с2-2abcd + b2d2+ a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2+ a2d2 + b2c2 + b2d2=
a2 (c2 + d2) + b2 (c2+ d2) = (a2 + b2)(c2 +d2) = | z |2/> | u |2= (z, z)(u, и),
т.е.выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверимвыполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 />a= 0/> b= 0 />z=0;
2) (z, u) = />(zū + u/>) = />( u/>+zū) =(u, z);
3) (z, ku) = />(z/> +(ku) />) = />k(zū + u/>) =k(z, u);
4) (z, u+v) = />(z/> +( u+v) />) = />(zū+z/>+ u/>+ v/>) =/>(zū+ u/>)+/> ( z/>+ v/>) = (z+u)+(z+v).
Итак,все условия скалярного произведения при
(z, u) = />(zū + u/>)
выполненыдля комплексных чисел z и u.
Пример 2.Пусть /> - тело кватернионов.Базисом в К являются 1, i, j, k. Если
р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то посвойству 6 сопряженных кватернионов
p/> + q/> = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).
Возьмемв качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
/>(p/> +q/>) = aa1 + bb1+ cc1 + dd1.
Итак,
(p, q) = />(p/> + q/>).
Вчастности,
(p, p) = /> (p/> + p/>)= p/> = |p|2 = a2+b2 + c2 + d2.
Проверимвыполнение условий скалярного произведения:
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2+ d2 ≥ 0 и (p,p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 />a= 0/> b= 0 /> c= 0/> d= 0 />p=0;
2) (p, q) = />(p/> + q/>) = />( q/>+ p/>) = (q; p);
3) (p, kq) = />(p/> +(kq) />) = />k(p/> + q/>) =k(p, q);
4) (p, q1+q2) = />(p/> +(q1+q2)/>) = />(p/>1+ p/>2+ q1/>+ q2/>) =/>(p/>1+ q1/>) + /> (p/>2+ + q2/>) = (p+q1)+(p+q2).
Проверимравенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самомделе,
(pq, pq) = />((pq) * (/>) + (pq) * (/>)) = />((pq) * (/>/>) + (pq) * (/>/>)) = (pq) *(/>/>) = p(q/>)/>= |q|2 p/>=|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* (/>) = (p,p ) (q, q).
Итак,все условия скалярного произведения при
(p, q) =/>(p/> + q/>)
выполненыдля кватернионов р и q.
Пример3. Пусть /> - алгебра октав. Базисом вU являются 1, i, j, k, e, I, J, K.
Если
w =и+ve=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+A1e+B1I+C1 J+D1K,
то посвойству 6) сопряженных октав
w/>+w1/>=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
Возьмемв качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение
/>(w/>+w1/>) =aa1+bb1+cc1+dd1+AA1+BB1+CC1 +DD.
Итак,
(w, w1) = />(w/>+w1/>).
Вчастности,
(w, w) = />(w/>+w/>) = w/> = | w |2 = a2+ b2 + c2 + d2 + A2 + B2+ C2 + D2 .
Проверимвыполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2= a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2/>a= 0/> b= 0 /> c= 0/> d= 0 /> A = 0/> b= 0 /> c= 0/>d= 0 />w = 0;
2) (w, w1) = />(w/>1+w1/>) = />(w1/>+w/>1) =(w1, w);
3) (w, kw1) = />(w(/>1)+(kw1)/>) = />k(w1/>+w/>1) =k(w1, w);
4) (w, w1+ w2) = />(w/>+(w1+w2) />) = />(w/>1 + w/>2+ w1/>+ w2/>) = />(w/>1 + w1/>) +/>(w/>2+w2/>) = (w, w1)+( w, w2).
Проверимравенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Действительно,
(ww1, ww1) = />((ww1)(/>) + (ww1)(/>)) = />((ww1)(/>1/>) + (ww1)(/>1/>)) = (ww1)(/>1/>) = w(w1/>1) /> = | w1 |2* w1/>1 = | w |2*| w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * (/>) = (w, w)(w1, w1).
Итак,все условия скалярного произведения при
(w, w1) = />(w/>1+w1/>)
дляоктав w и w1 выполнены.
Лемма2. В любойнормированной линейной алгебре />имеетместо тождество:
(a1b1,a2b2) + (a1b2,a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)
Подставимв основное тождество (/>) данной нормированной линейнойалгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у — элемент b. Тогда:
((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b) />
(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2,a1+a2)(b, b) />
(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b,a2b) =
(а1, a1)(b, b) +(a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b) />
(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =
(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b,b)+2(a1, a2)(b, b). (2)
Но в силу условия(/>):
(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b,a2b) = (a2, a2)(b, b).
Тогда из(2) следует
(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)
Заменимв (3) b на сумму b1 + b2:
(a1(b1 + b2), a2(b1+ b2)) = (a1, a2)(b1 + b2,b1 + b2) />
(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2)= (a1, а2)((b1, b1)+(b2,b2)+2(b1, b2)) />
(a1b1, a2b1) + (a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1)+ (a1b2, a2b2) =
(a1, a2)(b1, b1) + (a1,a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1,b2). (4)
Но в силу (З):
(a1b1, a2b1) = (a1,a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2)= (a1, a2)(b2, b2).
Тогда из (4) следует
(a1b1, a2b2) + (a1b2,a2b1) = 2(a1, a2)(b1,b2),
что итребовалось доказать.
Лемма3. В нормированнойлинейной алгебре /> с единицей имеетместо равенство
(аb)/> = (b, b)а. (5)
Докажемэто равенство для случая b />1. По следствию из леммы 1 тогда длялюбого х /> А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае
/> = — b.
Рассмотримэлемент с = (ab) /> - />а,где /> = (b, b).
В силусвойств скалярного произведения имеем:
(с, с) =((аb) /> — />а,(аb) /> — />а)=((аb) />, (ab) />) + />2(a, а)- 2/>((ab) />, а). (6)
Упростимпервое слагаемое в правой части равенства (6):
((аb) />, (ab) />) = (ab, аb)( />, />) = (а, а)(b, b)( />, />) = (a, а)(b, b)2 = />2(а, а).
Дляупрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемсятождеством (1), записав его в виде:
(а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1,b2) — (a1b2, a2b1).
Положив a1 = ab, b1= />, a2 = a, b2= 1, получим:
((аb) />, a) = 2(ab,а)( />, 1) — (ab, а/>). (7)
Так как
b/>1, то (/>, 1) = (-b, 1) = -(b, 1)= 0.
Далее:
-(ab, а/>) = -(ab, а(-b)) =(ab, ab) = (a, a)(b, b) = />(а, а).
Тогда:
((аb) />, а) = />(а,а).
Отсюда вравенстве (6) получаем:
(с, с) =/>2(а, а) + />2(а, а) — 2/>2(а, а) = 0.
Так как(с, с) = 0, то с = 0, или (ab) /> - />а= 0, откуда
(аb) /> = />а= (b, b)a.
Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b//> 1. Тогда
/> = k1 — b/ и (аb) /> = (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а — (ab/)b/ = k2а + (аb/)/>/.
Так какпо доказанному выше:
(аb/)/>/.= (/>/,/>/)а, то (аb) /> = k2a + (b/,b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a,
так как
(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b')
в силутого, что (1, 1) = 1 и (b/, 1) = 0, так как b//> 1.
Следствие1. В нормированнойлинейной алгебре /> с единипей имеетместо равенство
(ах)/>+(ау) /> = 2(х, у)а. (8)
Подставимв тождество (5) вместо bсумму х + y. Тогда
(а(х +у))(/>) = (х + у, х + у)а />(а(х + у))( /> +/>) = ((х, х) + (у, у) + 2(х,у))а /> (ах) /> +(ау) />+ (ах)/> + (ау)/> = (х, х)а+(у, у)а + 2(х,у)а.
В силутождества (5):
(ax)/>=(х, х)а, (ау)/> = (у, у)а.
Тогда:
(ах) /> + (ау) /> = 2(х, у)а,
что итребовалось доказать.
Следствие2. Нормированнаялинейная алгебра /> с единицейявляется альтернативной линейной алгеброй.
Если вравенстве (5) (ab) /> = (b, b)a положить а = 1, то получается b/> = (b, b)l = (b, b). Тогда (ab) /> = a(b/>), откуда следует, что (ab)b = a(bb).
Аналогичноможно доказать, что b(ba) = (bb)a.
Отсюдаследует, что алгебра /> являетсяальтернативной линейной алгеброй.
п. п. 6.2Теорема Гурвица
Пусть /> - линейная алгебра сединицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент а />Аоднозначно представляется в виде
а = k1+ а', где k /> R и а' /> 1.
Валгебре /> введем операпиюсопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а /> 1, то ā = — а.
Имеютместо:
а) ā= а;
б) (/>) = />= />= (k+l)1-(a/ + b/) = (k1 – a/)(l1 – b/).
Пусть /> — подалгебра алгебры />, содержащая 1 и несовпадающая с /> .Выберем в Вбазис 1, i1, i2, … in, такой, что i1 /> 1, i2/> 1, … in/> 1. Тогда любой элемент b /> Bимеет вид: b = bо + b1i1 + b2i2 + … + bnin, а сопряженный ему элемент b = b0 — b1i1 — b2i2 — … — bnin, откуда и />/> В.
Пусть е- единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого b />В имеет место e />b.
Рассмотриммножество В + Be = {b1 + b2e|b1, b2/> В}.Покажем, что />есть сноваподалгебра алгебры />.
Лемма4. Подпространства /> и/> ортогональны друг другу,т.е. для любых u1, u2/> B имеет место u1/>u2e.
Длядоказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо
а1 = u1, b1= u2, a2 = e, b2 = 1.
Тогда
(u1u2, e) + (u1, eu2) = 2(u1,e)(u2, 1).
Так как u1, u2/> В,то u1u2/> В, а тогда u1u2/> e, u1/> e.
Значит,
(u1, u2e) = 0, (u1, e) = 0.
Тогда:
(u1, u2e) = 0, т.е. u1/> u2e.
Теорема1.
Представлениелюбого элемента из В + Be ввиде u1+ u2e, где u1, u2/> В,единственно.
Пусть
u1 + u2e = u1/ + u2/e /> u1 — u1/ = (u2/ — u2)e,
откудаследует, что v=u1 — u1/ принадлежит одновременно двум ортогональнымподпространствам В и Be.Тогда (v, v) = 0, откуда v = 0.Следовательно, u1 — u1/= 0 и (u2/ — u2)e = 0. Из второго равенства либо u2/ — u2 = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u2/ — u2= 0. Тогда u1 = u1/ и u2 = u2', т.е. представление элемента из В + Be в виде u1 + u2e единственно.
Лемма5. Для любых u, v /> А имеет место
(ue)v = (u/>)e. (9)
Воспользуемсятождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у = />. Тогда:
(ue)v + (u/>)/>= 2(е, />)u.
Так как />/> е, то
(е, />) = 0 и (ue)v + (u/>)/>= 0.
Но /> = -е, так как е />1, тогда:
(ue)v + (u/>)(- е) = 0 /> (ue)v= (u/>)e.
Лемма6. Для любых u, v /> Aимеет место
u(ve) = (vu)e. (10)
Если втом же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, тополучаем:
(1*u)ve + 1*(/>)ū = 2(u, />) * 1 /> u(ve) + (/>)ū = 2(u, />).
Так как u /> ve, тоu /> />, /> = -ve, в силу того, что из ve /> В следует ve /> 1. Следовательно,
u(ve) + (-ve)ū = 0 /> u(ve) = (ve)ū.
Воспользовавшисьравенством (9), получаем, что (ve)ū= (vu)e. Тогда:
u(ve) = (vu)e.
Лемма7. Для любых u, v /> А имеет место
(ue)(ve) = -/>u. (11)
Преждевсего убедимся, что если формула (11) верна при v = с и при v = d, то она имеет место и при v = c + d. Действительно, если
(uе)(се) = -/>uи (ue)(de) = -/>u, то
ue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = -/>u — />u = — (/> + />)u.
Так какдля любого v /> В имеет место v = k1+ v/, где v//> 1, то докажемравенство (11) по отдельности для k1 для v/. Тогда на основании сделанного выше замечания,равенство (11) будет справедливо и для v.
Итак,пусть v = k1, откуда (11) принимает вид:
k(ue)e == -ku /> (ue)e = -u /> -(ue) /> = -(e, e)u /> (uе) /> =u,
котороеверно в силу равенства (5), если учесть, что />= -е и (е, е) = 1.
Пустьтеперь v/>l. Тогда />=-v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем:
(ue)(ve) + (u(-ve)) /> = 2(е, — ve)u /> (ue)(ve)- (u(ve)) /> = -2(е, ve)u. (12)
Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как поусловию v/>1. В ситу (10) второе слагаемое впоследнем равенстве (12) равно
-(u(ve))/> = -((vu)e) /> = -vu = />u /> (ue)(ve) = -/>u.
Теорема2. Для любых u1 +u2e /> В+Be и v1 + v2e /> В+Beимеет место равенство:
(u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1– />2u2) +(v2u1 + u2/>1)e.(13) (13)
Воспользовавшись равенствами (9), (10) и (11),получаем:
(u1 + u2e)(v1+ v2e) = u1v1+ (u2e)v1 + u1(v2e) + (u2e)(v2e)= u1v1 + (u2/>1)e+ (v2u1)e — />2u2= (u1v1 — />2u2)+ (v2u2 + u2/>1)e.
ТеоремаЗ. Любая подалгебраалгебры />, содержащая единицу и несовпадающая со всей алгеброй /> , ассоциативна,т.е. для любых u, v, w /> А имеет место (uv)w = u(vw).
Сновавоспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х = />, у = ūe. Тогда
((ve)/>)(-ue) + ((ve)(ūe))w = 2(/>, ūe)(ve).
Так как
(/>, ūe) = (/>*1, ūe) = 0
в силутого, что />*1 /> ūe, то
((ve)/>)(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0.
Применивравенства (9) и (10), получаем:
u(vw) — (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw).
Замечание:Так как алгебра /> содержитединицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k /> R. Этаподалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях вкачестве В взять подалгебру D, то ебудет любой вектор длины 1, ортогональный к 1.
Изформулы (13) тогда следует, что
е2= (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 — />* 1) +(1* 0 + 1*/>)е = -1 + 0* е = -1.
Отсюдаможно сделать вывод, что квадрат любого вектора a1/> 1 равен />1, где /> ≤ 0.
Докажеми обратное: если квадрат какого-либо элемента равен />1,где /> ≤ 0, то этот элементортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е.элемента вида а = k1+a/ где k ≠ 0 и a//> 1,равен
(k1+ a/)(k1 + a/) = k21 + а'2 + 2ka/ = k21+ />1 + 2k a/.
Если этовыражение пропорционально 1, то а/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться />1,где /> ≤ 0.
Отсюдаследует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются темсвойством, что их квадраты равны />1, где /> ≤ 0. Тогда дляпроизвольного элемента а /> Аберется его единственное представление в виде
а = k1+a/, где а/2 = />1и/> ≤ 0,
асопряженный ему элемент в виде ā = k1 — a'
ТеоремаГурвица. Любаянормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чиселизоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексныхчисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Пусть /> - нормированная линейнаяалгебра с единицей над полем действительных чисел, а /> - ее подалгебра,содержащая 1, е />B, где е — единичный вектор. Как мыпоказали ранее, />являетсяподалгеброй алгебры (A, +,.R, .). Из теорем 1 и 2 следует, что/>.изоморфна удвоеннойподалгебре />.
Рассмотримподалгебру />, изоморфную полюдействительных чисел (R, +,.). Если она не совпадает со всей алгеброй />, тонайдется единичный вектор е />D. Составим подалгебру />, изоморфную удвоению />, а следовательно,изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры />. Из того, что сказано вышео сопряжении в алгебре /> , вытекает, чтодля элементов из D + De сопряжение совпадает с обычнымсопряжением комплексных чисел.
Если, всвою очередь, подалгебра /> , где С= D + De, не совпадает со всей алгеброй /> , тоопять-таки найдется единичный вектор е//>С.Составим подалгебру /> изоморфнуюудвоению />, а следовательно, иизоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры/>. Из вышесказанного осопряжении в алгебре /> следует, что дляэлементов из С+Се/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в телекватернионов.
Если, всвою очередь, подалгебра />, где К= C+Ce', не совпадает со всей алгеброй />,то снова найдется единичный вектор е" />K. Составим подалгебру /> изоморфную удвоению /> , а следовательно, иизоморфную алгебре октав.
Но этаподалгебра />, где U = К + Ке// совпадает уже c самой алгеброй /> , таккак по теореме 3 любая подалгебра алгебры />,содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй /> ,ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре(теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебра />совпадаетсо всей алгеброй />.
Резюмируявышеизложенное, мы получаем, что если алгебра /> неизоморфна ни одной из алгебр /> , /> или />, то она изоморфна алгебреоктав /> , что и доказываетутверждение теоремы Гурвица.
§7.Обобщенная теорема Фробениуса
Теорема. Любая альтернативная линейная алгебранад полем действительных чисел с делением является нормированной линейнойалгеброй.
Пусть /> - альтернативная линейнаяалгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операциюсопряжения следующим образом: если элемент а /> A пропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален1. то он содержится в комплексной подалгебре />.В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который ипримем за элемент, сопряженный к а в алгебре />.
Изопределения ā непосредственно следует, что /> =а, а также />=kā, где k />R.
Пусть а /> A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а /> A тоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что асовпадает с ā.
Элементыа и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ā= 2а* 1, где а /> R, (14)
а* ā= d*1, где d /> R. (15)
Элементыа и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ ã= 2а1* 1, где а1/> R, (14')
а * ã= d1 *1, где d1/> R. (15/)
Вычтемиз (14) и (15) соответственно (14/) и (15'). Тогда:
ā — ã = 2(a – a1)*1.
а (ā — ã) = (d-d1)* 1 /> 2(a – a1)a*1.=(d- d1)* 1.
Если
a(ā — ã),то a = />*1,
т.е. апропорционален 1, что противоречит предположению.
Отсюдаследует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того,рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элементкватернионной подалгебры алгебры />.
Точнотак же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры, так и вслучае кватернионной подалгебры алгебры />,так, что модуль элемента а /> A не зависит от того, рассматриваем мыего как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры />.
Тогдадля любых a, b /> А справедливы равенства:
/>=ā+ /> и />= ā */>. (16)
Если а иb принадлежат одной комплекснойподалгебре алгебры/> , то равенства(16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежатразным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения вкватернионной подалгебре алгебры />.
Из />= b и из второго равенства (16) вытекает, что />= bā, откуда
a/> + bā = с* 1, где с /> R.
Определимв (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как
a/> + bā = 2(а, b) *1.
Покажем,что (а, b) удовлетворяет всем свойствамскалярного произведения:
1) (а,а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.
В самомделе,
(а, а) *1 = /> (аā + аā) = аā= |а|* 1,
а модулькомплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠0 и равен 0 при а = 0.
2) (a, b) = (b. а), так как
a/> + bā = 2(a, b)* 1, bā+ a/> = 2(b, a)* 1,
но
a/> + bā = bā + a/>, тогда (a, b) = (b, a).
3) (a, kb) = k(a, b) при k /> R.
Действительно,
(a, kb) = /> (a(/>) + kbā) = />(a(k/>) + kbā) = k/>/>(a/> + bā) = k(a, b).
4) (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2)
следуетиз определения скалярного произведения и первого равенства (16).
Из (а,а) = |а|2/> 1 следует, что /> = |а|, т.е. норма элементаa /> А совпадает с модулем а как комплексногочисла, так и кватерниона.
Так каклюбые два элемента а и b изалгебры /> принадлежат однойкомплексной или одной кватернионной подалгебре, то
|ab|2 = |a|2/> |b|2/>(ab, ab) = (a, a)(b, b).
Следовательно,все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра /> есть нормированнаялинейная алгебра.
Обобщеннаятеорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительныхчисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полюдействительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебреоктав.
Так какпо доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полемдействительных чисел с делением и единицей является нормированной линейнойалгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительныхчисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав,то отсюда следует утверждение теоремы.
Список литературы
1. Виноградова И.А.,Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях(числовые и функциональные ряды). М.: Факториал, 1996, 477с.
2. Власова Е.А.Ряды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002, 608с.
3. Воробьев Н.Н.Теория рядов: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1986, 408с.
4. Демидович Б.П.,Марон И.А. Основы высшей математики. М.: Наука, 1986, 364с.
5. Зайцев В.В.,Рыжов В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. М.: Наука, 1984, 400с.
6. Никольский С.М.курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 2 т. Т.1. М.: Наука, 1990,528с.; Т.2. М.: Наука, 1991, 544с.
7. Шмелев П.А.Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш.шк., 1983, 176с.