Ханспетер Крафт
Те, кому посчастливилось ходить на уроки математикиещё до введения теории множеств в школьную программу, несомненно, помняттеорему Пифагора, :
В прямоугольномтреугольнике сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площадиквадрата, построенного на гипотенузе (рис.1).
Эта теорема была известна вВавилонии уже во времена Хаммурапи, а возможно, её знали и в древнем Египте,однако впервые она была доказана, по-видимому, в пифагорейской школе. Такназывалась группа интересующихся математикой философов по имени основателяшколы Пифагора (ок. 580–500 г. до н. э.) – личности довольно мифической. Этобыл мистик, учёный и политик аристократического толка. Он, должно быть,путешествовал по Вавилонии и Египту, а позднее на юге Италии, в Кротоне, собралвокруг себя кружок увлечённых юношей, из которого и возникла пифагорейскаяшкола. В настоящее время уже невозможно установить, какие достиженияпифагорейцев принадлежат самому учителю, а какие следует приписать егоученикам.
/>
Рис.1 />
/>
Рис.2
Пусть длины сторон прямоугольноготреугольника ABC (рис.2) обозначены через a, b, c, причём сторона длины cнаходится напротив прямого угла. Теорема Пифагора утверждает справедливостьравенства(1)
a2 + b2 = c2.
Оно выполняется,например, если вместо a, b, c подставить числа 3, 4, 5, или 5, 12, 13, или 41,140, 149. Такие решения уравнения (1) в целых положительных числах нашли ужепифагорейцы, и потому такие решения называют пифагоровыми тройками. Вполневозможно, что поиски этих троек и привели к теореме Пифагора. Впрочем, тройка(3, 4, 5) была известна значительно раньше, о чём свидетельствует, скажем,дошедший до нас диалог императора Чжоу-гуна (ок. 1100 г. до н. э.) и учёного Шан Гао ([2], стр. 54–65); более подробно о тройке(3, 4, 5) рассказывается в предыдущей лекции Ю. Рольфса.
Зададимся вопросом, сколькосуществует пифагоровых троек. Очевидно, умножая все три числа на любое целое n,можно из тройки (a, b, c) получить бесконечно много новых троек; из тройки (3, 4,5) возникает таким образом последовательность троек (3, 4, 5) (6, 8, 10), (9, 12,15), (12, 16, 20),…. Поэтому уточним поставленный вопрос и будем искать простейшиепифагоровы тройки (a, b, c), т.е. те, у которых наибольший общий делитель чиселa, b и c равен 1. Решение этой задачи указал ещё Диофант из Александрии (ок. 250 г. н. э.):/>
Если n и m – два взаимно простых целых (положительных) числа, разность которых n – m положительна и нечётна, то (2nm, n2 – m2, n2 + m2) – простейшая пифагорова тройка, и любая из таких троек может быть найдена этим способом.
Первая частьутверждения легко проверяется непосредственной подстановкой; частные случаи этого«правила построения» пифагоровых троек были известны и раньше. Более сложнодоказать, что таким образом получаются все простейшие тройки. Сейчас мыустановим это с помощью геометрических соображений. Разделив равенство (1) на c²,получим(
a
c )
2 + (
b
c )
2 = 1.
Поэтому каждаяпифагорова тройка (a, b, c) дает решение уравнения(2)
x2 + y2 = 1
/>
Рис.3
в рациональных числах(дробях), а именно x = a/c, y = b/c; назовём такую пару рациональным решениемуравнения (2). Наоборот, из всякого такого решения, если привести дроби x и y кобщему знаменателю: x = a/c, y = b/c, где a, b, c – целые, тотчас возникаетпифагорова тройка. Следовательно, наша задача сведена к определениюрациональных решений уравнения (2). Это уравнение также хорошо известно изшколы – оно задаёт на евклидовой плоскости окружность с центром в началекоординат и радиусом 1 (рис.3). Если рассмотреть прямую g с угловымкоэффициентом l, проходящую через точку(0, –1):(3) g: y = lx – 1,
то координаты обеихточек пересечения S = (0, –1) и Pl= (xl, yl) прямой g с окружностью удовлетворяютуравнениям (2) и (3). Подставляя (3) в (2), получаем(4)
(l2 + 1) x2 – 2lx = 0,
откуда можно найтикоординаты (xl, yl) точки Pl:(5)
xl =
2l
l2 + 1
, yl = lxl – 1 =
l2 – 1
l2 + 1 .
(Легко убедитьсяподстановкой, что они являются решением уравнения (2).) При рациональных l эти решения, очевидно, будут рациональными.Обратно, если (x0, y0) – рациональное решение уравнения(2) и P0– соответствующая ему точка на окружности, то угловойкоэффициент прямой, проходящей через точки (0, –1) и P0, рационален:l = (y0+ 1)/x0.Следовательно, (x0, y0) есть решение вида (5). Такимобразом, доказано, что все рациональные решения уравнения (2) находятся поформулам (5) с рациональным l. Еслизаписать l в виде дроби: l = n/m, то формулы (5) перепишутся так:
xl =
2nm
n2 + m2
, yl =
n2 – m2
n2 + m2 .
Итак, любая пифагороватройка представима в виде (2nm, n2 – m2, n2 + m2),что и требовалось доказать.
Приведённый результат – лишь одиниз многих, содержащихся в «Арифметике» Диофанта. До нашего времени сохранились6 книг этого сочинения; об их общем числе можно только строить догадки.Неизвестно также, кем был Диофант. Во всяком случае, его труд – одно из самыхвеликолепных сочинений античной эпохи, в котором собраны весьма разнообразныезадачи и часто с чрезвычайно остроумными решениями. (Более подробные сведенияинтересующийся читатель может найти в удачной книжечке Башмаковой [1].)
Именно сочинение Диофанта –изданное в 1621 г. в переводе Клода Гаспара де Баше де Мезирьяка (1581–1630) –дало повод Пьеру Ферма записать на полях перевода одно из самыхдостопримечательных и далеко поведших замечаний в истории математики:/>
«Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»
«Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашёл этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось».
Таким образом, большаятеорема Ферма утверждает, что уравнение(6)
an + bn = cn
ни при какомнатуральном n, большем 2, неразрешимо в целых положительных числах.
Общее доказательствосформулированного утверждения не удалось найти до сих пор, несмотря на то чтоэтим занимались поколения математиков. [Напомню, чтолекции эти были читаны в 70-е годы, а Эндрю Уайлз и Ричард Тейлор опубликовалидоказательство теоремы Ферма в 1995 г. Любой поисковик (search engine) выдасткучу ссылок в Интернете на эту тему, я же приведу только одну публикацию –D.Goldfeld. «Beyond the Last Theorem», опубликованную в журнале«The Sciences». – E.G.A.] Вероятнее всего, Ферма ошибался,предполагая, что располагает решением. В 1908 г. Пауль Вольфскель завещал премию в сто тысяч марок тому, кто первым представит доказательство. В результатеинфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее времясоставляет едва десятую часть первоначальной суммы (см. [15],лекция 1, пункт 7). К тому же, как указывает Г. Эдвардс в своей книге [5] о теореме Ферма, премия назначена лишь за доказательствопредположения – контрпример не принесёт ни пфеннига!
Справедливость большой теоремыФерма для некоторых частных случаев была установлена уже довольно давно: самФерма доказал неразрешимость уравнения (6) при n = 4, Л. Эйлер – при n = 3 (1770 г.), А. Лежандр – при n = 5 (1825 г.) и Г. Ламе – при n = 7 (1839 г.). Самые замечательные результаты здесь принадлежат, однако, Э. Куммеру(1810–1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающеевлияние на развитие алгебраической теории чисел. В нашем столетии его методыбыли усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Д. Лемера и Э. Лемера, так что к настоящему временинеразрешимость уравнения (6) доказана (с использованием ЭВМ) для всех n £ 125000 (З. Вагштафф, 1976 г.; см. также [15], лекция 2, «Последние результаты»). Если принять вовнимание, что число 2125000 записывается посредством 37628 цифр, топоиски контрпримера к большой теореме Ферма представляются совершеннобезнадёжным занятием!
/>
Рис.4
Рассуждения, аналогичные проведённымпри нахождении пифагоровых троек, показывают, что проблема Ферма сводится копределению рациональных решений уравнения(7)
xn + yn = 1.
Рассмотрев наевклидовой плоскости кривую Fn, заданную этим уравнением, получимдве качественно различные возможности в зависимости от чётности или нечётности n(см. рис.4). Кривая Fn называется кривой Ферма порядка n. Поэтомугипотеза Ферма означает, что на кривой Fn порядка выше 2 единственнымирациональными точками (т.е. точками с рациональными координатами) являютсяточки пересечения с осями координат.
Сам собой напрашивается следующийобщий вопрос: Каковы рациональные точки кривой С на евклидовой плоскости, задаваемой произвольным алгебраическим уравнением (8)
C: å aij xi yj = 0
с целочисленными коэффициентами aij?
Порядок кривой C, т.е.максимальная из степеней i + j одночленов xi yj, входящихв уравнение (8), служит грубой мерой сложности кривой. Очевидно, что чем вышепорядок, тем труднее найти рациональные решения уравнения (8). Этообстоятельство находит более точное выражение в гипотезе Морделла:/> На кривой, порядок которой выше или равен четырём, имеется лишь конечное число рациональных точек.
Здесь следует сделатьоговорку, что рассматриваются кривые «общего вида» 1,а вырожденные случаи во внимание не принимаются.
Относительно справедливостигипотезы Морделла известно очень мало; единственным общим результатом здесьявляется теорема Зигеля ([16], 1929 г.):/> На кривой общего вида, порядок которой выше 2, лежит лишь конечное число целых точек (точек с целыми координатами), т.е. у соответствующего уравнения (8) существует лишь конечное число целочисленных решений.
Для кривых малогопорядка d картина следующая: при d = 1 имеем прямую и на ней бесконечно многорациональных (и даже целых) точек; при d = 2 получается квадрика (эллипс,парабола, гипербола); на квадрике либо совсем нет, либо бесконечно многорациональных точек 2. Это доказывается тем жегеометрическим методом, который выше был применён для нахождения рациональныхточек на единичной окружности и который, согласно данным Башмаковой, такжевосходит к Диофанту ([1], § 5). И именно, прямая срациональным угловым коэффициентом, проходящая через рациональную точку Pквадрики, пересекает её в рациональных точках. Поворачивая прямую вокруг точки P,получаем бесконечно много рациональных точек (рис.5).
/>
Рис.5 />
/>
Рис.6
Случай d = 3 является в известномсмысле промежуточным между рассмотренными. Как мы видели, на кривой Ферма F3(рис.4) лежат лишь две рациональные точки, а сейчас мы приведём пример кривойтретьего порядка, на которой бесконечное число рациональных точек. Для этоговоспользуемся следующим методом секущих, представляющим собой обобщениеуказанного ранее способа для квадрик (и этот метод тоже встречается у Диофанта;см. [1], § 6):/> Если P и Q – две рациональные точки кривой C третьего порядка и прямая, проходящая через P и Q, пересекает кривую C ещё в одной точке R, то R также является рациональной точкой (рис.6).
Это утверждениедоказывается очень просто. Если(9) g: y = rx + s
– уравнение прямой,проходящей через точки P и Q, то r и s – рациональные числа, ибо их можновыразить через координаты (xP, yP) и (xQ, yQ)точек P и Q по формуламr =
yP – yQ
xP – xQ
, s = yP – r xP =
xP yQ – yP xQ
xP – xQ .
Подставив (9) вуравнение кривой C, получим для x уравнение третьей степени(10)
x3 + ax2 + bx + c = 0
с рациональнымикоэффициентами a, b, c. По условию корнями его являются абсциссы точекпересечения P, Q и R прямой g с кривой C, т.е. xP, xQ, xR. Однако, зная корни уравнения, можно найти его коэффициенты совершеннотак же, как это делается в школе для квадратного уравнения. Например, суммакорней, взятая с противоположным знаком, равна коэффициенту при x2:
xP + xQ + xR = –a.
По предположению xPи xQ рациональны, поэтому рациональным будет и xR, азначит, и yR = r xR + s, т.е. R – рациональная точка, чтои требовалось доказать.
Опробуем этот способ на кривой E,заданной уравнением(11)
E: y2 = x3 – 25x,
/>
Рис.7.
отправляясь от точек P= (–5, 0), Q = (0, 0), R = (5, 0) и S = (–4, 6) (рис.7). Сначала, используяпрямую SQ получим точку S1 с координатами (61/4, –93/8),затем получим точку S2 = (5/9, –319/27), далееточку S3 = (12473/961, –4013790/29791) и т.д.Из уравнения (11) видно также, что кривая E симметрична относительно оси х:вместе с каждой точкой T(xT, yT) на кривой лежит исимметричная ей относительно оси x точка T'(xT, –yT), иесли точка T рациональна, то и T' будет рациональной. Это можно подогнать подописанный выше метод секущих следующим образом: дополним кривую E «несобственнойточкой» O в направлении оси y. Прямые, проходящие через O, – это прямые,параллельные оси y, и мы можем получить точку T' как «третью точку пересечения»прямой, проходящей через O и T, с кривой E. Далее, можно использовать предельныйслучай метода секущих – метод касательных: вместо прямой, проходящей черезрациональные точки P и Q, брать касательную t к кривой в рациональной точке P(считая точки P и Q совпавшими). Рассуждениями, аналогичными проведённым ранее,можно показать, что точка пересечения прямой t с кривой E тоже будетрациональной (и опять это было известно уже Диофанту; см. [1],§ 6).
В разобранном выше примересоздается – и совершенно справедливо – впечатление, что проводимые построенияникогда не заканчиваются и позволяют найти бесконечно много рациональных точекна кривой E. Затруднения могли бы возникнуть, лишь если бы мы после конечногочисла шагов вернулись к одной из ранее полученных точек, но это представляетсявесьма маловероятным ввиду всё усложняющихся знаменателей.
Следующее утверждение быловысказано в 1901 г. А. Пуанкаре (1854–1912) [14], адоказано только спустя 20 лет (в 1922 г.) Л. Морделлом [9]:/> Все рациональные точки кривой третьего порядка можно получить из некоторого конечного их числа с помощью описанного способа построения.
Как и в теоремеЗигеля, кривая считается «пополненной» своими несобственными точками, и крометого, предполагается, что она является кривой общего вида (т.е. не имеетособенностей). Такие кривые называются эллиптическими 3.
Сформулированная выше теоремаМорделла была обобщена в двух различных направлениях: вместо рациональных точекстали рассматривать точки с координатами из заданного числового поля, а вместоэллиптических кривых – поверхности произвольной размерности (так называемые абелевымногообразия). Начало этим обобщениям было положено А. Вейлем, и окончательныйрезультат называют сейчас теоремой Морделла–Вейля.
В связи с этими вопросами орациональных точках за последние 15 лет появился ряд отчасти фантастическихгипотез (Б. Бёрч, X. П. Суиннертон-Дайер, Дж. Тэйт, Э. Огг; см. обзорную статью[17]). Справедливость некоторых из них недавно былаподтверждена в проложившей новые пути работе Б. Мазура ([8], 1976 г.). Речь идёт о вопросах, связанных с так называемой «тонкой структурой»рациональных точек на эллиптической кривой, и об этом мне хотелось бы немногорассказать в заключение.
Рассмотрим эллиптическую кривую E,заданную в канонической форме Вейерштрасса, т.е. уравнением вида(12)
E: y2 = x3 + ax2 + bx + c
/>
Рис.8
с целочисленнымикоэффициентами a, b и c. Качественно возможны два показанных на рис.8 случая, всоответствии с тем, один или три вещественных корня имеет многочлен в правойчасти (12) (эти корни соответствуют точкам пересечения E с осью x). Будем опятьсчитать кривую E пополненной несобственной точкой O в направлении оси y. СледуяА. Пуанкаре [14], определим на кривой E операцию P*Q: длялюбых точек P и Q точка P*Q – это третья точка пересечения прямой PQ с кривойE, симметрично отражённая относительно оси х (рис.9).
/>
Рис.9.
Легко видеть, что введённаяоперация коммутативна (т.е. P*Q = Q*P), что точка O является для неё нейтральнымэлементом (т.е. O*P = P*O) и что для каждой точки P существует обратный элемент– симметричная ей относительно оси x точка P' (т.е. P*P' = O = P'*P). Несколькосложнее доказать, что эта операция ассоциативна (т.е. (P*Q)*R = P*(Q*R) длялюбых точек P, Q, R). На языке современной математики это означает, что точкикривой E образуют коммутативную группу относительно операции *.
Из предыдущих рассужденийследует, что для любых двух рациональных точек P, Q точка P*Q такжерациональна, – собственно, это и послужило исходным пунктом нашего методасекущих для построения рациональных точек. Итак, рациональные точки Eratкривой E образуют подгруппу группы E. (Несобственная точка O считаетсярациональной.)
Искушённый читатель легкозаметит, что теорему Морделла можно теперь сформулировать так:/> Рациональные точки эллиптической кривой образуют конечно-порождённую коммутативную группу.
Эта формулировка имеетопределённые преимущества, так как для таких групп известны структурныетеоремы. Например, группу Erat можно представить в виде произведениянекоторой конечной группы TE и конечного числа бесконечныхциклических групп. Количество бесконечных циклических сомножителей называется рангомэллиптической кривой E, а конечная группа TE – её группой кручения.О ранге известны до сих пор только отдельные факты. Так, А. Нерон ([11], 1953 г.) доказал, что существует кривая, ранг которой неменьше 10, не приведя, правда, явного примера. А. Виман ([20], 1948 г.) построил пример кривой ранга ³4,Д. Пенни и К. Померанс ([13], 1975 г.) дали пример кривой ранга ³7, а Ф. Грюневальд иР. Циммерт ([6], 1977 г.) – кривой ранга ³8 4; к числукривых ранга ³8 относится,например, кривая, задаваемая уравнением (12) с коэффициентами a = –32×1487×1873,b = 25×32×5×151×14551×33353,c = 28×34×52×7×1512×193×277×156307. Рассмотренная ранее кривая(11) (рис.7) имеет ранг 1, соответствующая бесконечная циклическая подгруппапорождается точкой S = (–4, 6). Это следует из результатов Р. Вахендорфа ([19], 1974 г.), который исследовал кривые, задаваемыеуравнениями вида y2 = x3 – p2x, где p –простое.
Пока неясно, существуют лиэллиптические кривые сколь угодно большого ранга (что считается весьмавероятным). Известно, однако, что ранг оценивается через коэффициенты уравнения(12) (точнее, через число различных простых сомножителей отдельныхкоэффициентов [18]). Поэтому неудивительно, что впостроенных примерах кривых высокого ранга уравнения имеют большие коэффициенты.Согласно одной из упомянутых выше гипотез, ранг эллиптической кривой E равенкратности нуля так называемого L-ряда LE (z) кривой E в точке z = 1(Бёрч и Суиннертон-Дайер [3]).
Рассмотрим, наконец, группукручения TE. Она состоит из рациональных точек P конечного порядка(т.е. из тех, для которых n-кратная композиция P*P*...*P равна O при некотором n),называемых (рациональными) точками кручения. Прежде всего на основании самоговида кривой можно заключить, что справедлива следующая общая структурнаятеорема: группа TE либо сама циклична, либо есть произведение группыZ2 порядка 2 нациклическую группу. Это можно обосновать следующим образом. Кривая E(пополненная) состоит из одной или двух замкнутых линий (см. рис.8), а потомутопологически выглядит как одна или две окружности. При этом часть E0,содержащая (несобственную) точку O, образует подгруппу. Можно доказать, чтолюбая конечная подгруппа в E0циклическая (это делается точно также, как для группы вращений окружности). Следовательно, если группа кручения TEцеликом лежит в E0, то TE – циклическая группа. Впротивном случае TE есть произведение Z2на группу T0E точек кручения из E0.
О группе кручения кое-что былоизвестно уже довольно давно. Так, Т. Нагелль ([10], 1935 г.) и, позднее, Л. Лутц ([7], 1937 г.) получили следующий интересныйрезультат, дающий одновременно метод для явного определения точек крученияконкретных кривых:/>
Если Р – (рациональная) точка кручения эллиптической кривой Е, заданной уравнением
y2 = x3 + ax2 + bx + c
то её координаты xP и уP являются целыми числами, причём уP равно или 0, или какому-нибудь делителю дискриминанта D кривой Е.
(Дискриминантом кривойназывается определённый многочлен от коэффициентов уравнения; в данном случаедискриминант равен
D = 4a3c – a2b2– 18abc + 4b3 + 27c2;
условие D ¹ 0 является необходимым и достаточнымусловием регулярности кривой E.) Например, для кривой
E: y2 = x3 – 14x2 + 87x
группа кручения TEесть циклическая группа порядка 8, порождённая точкой P = (3,12). Другимпримером служит кривая
E: y2 = x3 – 43x2 +166
с циклической группойкручения порядка 7, порождённой точкой P = (3,8). Весьма занимательно и совсемнесложно самостоятельно придумать и исследовать другие примеры.
Уже давно существовалопредположение, подтверждавшееся всё новыми численными примерами, что порядокгруппы кручения ограничен. К 1960 г. было известно, что он не может приниматьнекоторых значений, например кратных 11, 14, 15,… (см. [4]).
В 1976 г. Б. Мазур существенно продвинулся вперёд, доказав, что порядок всякой рациональной точкикручения равен 12 или не превосходит 10 (это уже в 1974 г. предполагал Э. Огг [12]). Тем самым была полностью выяснена структурагруппы TE./>
Имеется 15 возможностей: либо TE – циклическая группа, порядок которой равен 12 или не превосходит 10, либо она есть произведение группы Z2 на циклическую группу порядка 2, 4, 6 или 8.
Выдающимся результатом Б. Мазурабыла завершена одна из глав теории эллиптических кривых, причём весьманеожиданно даже для некоторых специалистов, считавших, что над этой проблемойпридётся работать ещё долгое время. Можно смело утверждать, что этот результатпринадлежит к числу интереснейших математических результатов последних лет.Разумеется, в рамках настоящей лекции невозможно указать даже хотя бы идеюметода доказательства Мазура. Да это и не входит в мою задачу.
Я хотел только попытаться пройти вместе с вами небольшуючасть пути развития одной математической проблемы – от Пифагора через Диофантаи гипотезу Ферма к рациональным точкам эллиптических кривых – и показать, как входе исследования проблему видоизменяли, обобщали и снова конкретизировали,частично решали и возводили на её основе новые теории. Пусть нематематикипростят мне, что время от времени я вынужден был обращаться к математическимпонятиям и формулам.
Примечания
1.
Формально-математическиэто означает отсутствие особенностей у соответствующей комплексной проективнойкривой, представляющей собой тем самым поверхность Римана рода g > 1. назадк тексту
2.
Случаи, когда квадрикавырождается в точку (как это будет, например, для кривой, задаваемой уравнениемx² + y² = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту
3.
Происхождение этогоназвания имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов идругих кривых математики столкнулись с интегралами вида g ò
dx
Öf (x)
где f (x) – многочленстепени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер.Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этихинтегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями.Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющиедифференциальному уравнению вида
X ´ ² – f (X) = 0.
Исходя из этогоуравнения, можно показать, что эллиптические функции – это в точности функции,мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановыповерхности). назад к тексту
4.
Видоизменив методГрюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга ³9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29(1979)). назад к тексту
Литература
(Превосходныебиблиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и[15].)
Список литературы
И.Г.Башмакова,Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту
K.L.Biernatzki, Die Arithmetik derChinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту
В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reineangew. Math. 218 (1965). назад к тексту
W.S.Cassels, Diophantine equationswith special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назадк тексту
H.M.Edwards, Fermat's Last Theorem,Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York –Heidelberg – Berlin, 1977. [Имеется перевод: Г.Эдвардс. Последняятеорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир,1980.] назад к тексту
F.J.Grunewald, R.Zimmert, Übereinige rationale elliptische Kurven mit freiem Rang ³8, J. reine angew.Math. 296 (1977). назад к тексту
E.Lutz, Sur l'equation y² = x³– Ax – B dans les corps p-adiques, J. Math. 177 (1937). назад к тексту
B.Mazur, Modular curves and theEisenstein ideal, Publ. Math. IHES 47 (1977). назад к тексту
L.I.Mordell, On the rationalsolutions of the indeterminant equations of the third and fourth degrees, Proc.Cambridge Phil Soc. 21 (1922). назад к тексту
T.Nagell, Solution de quelquesproblèmes dans la théorie arithmétique des cubiques planesdu premier genre, Vid. Akad. Skrifter Oslo 1 (1935), No. 1. назадк тексту
A.Neron, Problèmesarithmétiques et géométriques rattachés à lanotion de rang d'une courbe algébriques dans un corps, Bull. Soc. Math. France 80 (1952). назад к тексту
A.P.Ogg, Diophantine equations andmodular forms, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975). назад к тексту
D.E.Penney, C.Pomerance, Threeelliptic curves with rank at least seven, Math. Comp. 29 (1975). назадк тексту
H.Poincaré, Sur lespropriétés arithmétiques des courbes algébriques,J. de Math. Pures et Appl., ser. 5, 7 (1901). назадк тексту
P.Ribenboim, 13 Lectures on Fermat'sLast Theorem, Springer-Verlag, New York – Heidelberg – Berlin, 1979. назад к тексту
C.L.Siegel, Über einigeAnwendungen Diophantischer Approximationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss.Phys.-Math. Kl. 1 (1929). назад к тексту
J.T.Tate, The arithmetic of ellipticcurves, Invent. Math. 23 (1974). назад к тексту
J.T.Tate, Rational Points on EllipticCurves, Philips Lectures, Haverford College, 1961. назад к тексту
R.Wachendorf, Über den Rang derelliptischen Kurve y² = x³ – p²x, Diplomarbeit, Bonn, 1974. назад к тексту
A.Wiman, Über rationale Punkteauf Kurven dritter Ordnung vom Geschlecht Eins, Acta Math. 80 (1948). назадк тексту
Сведения по историиматематики наряду с [1], [4], [5], [15], [17] можно найти в работах:
M.Cantor, Vorlesungen überGeschichte der Mathematik, 4 Bände, Leipzig, 1900–1908.
L.E.Dickson, History of the theory ofnumbers, Carnegie Institution, Washington, 1919, 1920, 1923.
D.I.Struik, Abriss der Geschichte derMathematik, Vieweg, Braunschweig, 1976. [Имеется перевод: Д.Я.Стройк.Краткий очерк истории математики. – М., Наука, 1978.]
B.L.van der Waerden, Die Pythagoreer,Artemis Verlag, 1979. [См. также: Б.Л.ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. – М.: Физматгиз,1959. – Перев.]
EncyclopedicDictionary of Mathematics, ed. by Math. Soc. Japan, MIT Press, Cambridge Mass. and London.
Список литературы
Для подготовки даннойработы были использованы материалы с сайта ega-math.narod.ru/