МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика
_________________________________
НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:
ассистент каф. алгебры и функционального анализа
_________________________________
профессор, доктор физико-математических наук
_________________________________
РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:
зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.
_________________________________
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. *— алгебры……………………………………………………………………...6
1.1.Определение * — алгебры……………………………………………………….6
1.2.Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебрыс единицей…………………………………………………………….7
1.4.Простейшие свойства * — алгебр……………………………………………….9
1.5.Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2.Представления ……………………………………………………………….13
2.1.Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямаясумма представлений ………………………………………………..15
2.3.Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4.Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5.Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3.Тензорные произведения……………………………………………………26
3.1.Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2.Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31
§ 1. Дваортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31
1.1.Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2.Одномерные *-представления *-алгебры P2……………………………….31
1.3.Двумерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35
1.5.Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Дваортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39
2.1.Неприводимые *-представления *-алгебры P2 …………………………...39
2.2.Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1.Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45
1.1. Спектрортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2.Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр водномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр вдвумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр вn-мерномпространстве……………………………………………..47
1.6. Линейнаякомбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2.Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовомпространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектроператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектрлинейной комбинации А = аР1 + bР2(0b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н.Рассмотрим подмножество А в L(Н),сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. ТогдаА – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, тоодна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А вL(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (сточностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура,В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физикетеория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебрбыла разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А.Кирилловым и др. в 60-70-х годах XXвека. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр,заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных ибесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимыедля дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В§1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия:неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование идезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведенияпространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8],[9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2= С p1, p2| p12= p1* = p1, p22= p2* = p2>,
порожденнойдвумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например,[12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказанысоответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны всенеприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2. Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
Идвумерные: /> , /> τ /> (0, 1).
Доказанаспектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную суммуинвариантных относительно π подпространствН, а также получено разложение π нанеприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическомуфольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов всепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всехнеприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для парыпроекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2,аР1+bР2 (0 ab). Полученынеобходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для тогочтобы А = Р1+Р2или А = аР1+bР2, 0 ab, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) оспектре суммы пары самосопряженных операторов).
/>
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. /> — алгебры
1.1. Определение/> — алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:
1) А есть линейное пространство;
2) в Авведена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α(x y) = (αx) y,
x (αy) = α(x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x(y+ z) = xy+ xz для любых x, y, z /> А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры Аназываются перестановочными, если xy= yx.Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексныхчисел. Инволюцией в А называется такое отображение x→ x* алгебры А в А, что
(i) (x*)*= x;
(ii) (x+ y)* = x* + y*;
(iii) (αx)* = /> x*;
(iv) (xy)* = y*x* для любых x, y /> С.
Алгебра над С,снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй.Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А,сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i) следует, чтоинволюция в А необходимо является биекцией А на А.
1.2. Примеры
1) На А = Сотображение z→/> (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая Св коммутативную *- алгебру.
2) Пусть Т –локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (тоесть для любого ε > 0 множество {t/>T: |f(t)| /> ε}компактно, f(t) /> А. Снабжая А отображением f→/> получаем коммутативную *- алгебру.Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н –гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н.Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А — *-алгебра.
4) Обозначим через К(Н)совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н;операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующиедействия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввестиинволюцию А→А* (А/>К(Н)).Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы.Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытыйединичный шар S/> H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W совокупность всех абсолютносходящихся рядов />.
Алгебра W есть *- алгебра, если положить />. (/>)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если Асодержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе =х для всех х/>А (1.1.)
Элемент еназывают единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ — также единица в А,то
е΄х =хе΄ = х, длявсех х/>А (1.2.)
Полагая в(1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ =е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать какподалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
/>Доказательство. Искомая алгебрадолжна содержать все суммы х΄=αе + х, х/>А; с другой стороны,совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которойосновные операции определяются формулами:
β(αе+ х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е+ х2) = (α1 + α2)е + (х1+ х2),
(α1е + х1)(α2 е+ х2 )=α1α2 е +α1 х2 +α2 х1+ х1 х2 (1.3.)
Каждыйэлемент х΄ из А΄ представляется единственным образом ввиде
х΄ =αе + х, х/>А, так как по условию А не содержит единицы.Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄= αе + х, х/>А, вкоторой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра Аполучится при α = 0.
/>Алгебру А΄ можно такжереализовать как совокупность всех пар (α, х), х/>А, в которойосновные операции определяются по формулам:
β(α, х) = (βα, βх), (α1,х1)+ (α2, х2) = (α1 + α2,х1 + х2),
(α1,х1)(α2, х2) = (α1α2,α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогичнотому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогдарассматривать как совокупность всех пар (0, х), х/>Аи не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х),мы получим:
(α,х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так чтовторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент yназывается левым обратным элемента х, если xy= e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz= e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые иправые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе частиравенства yx= e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1элемента х.
1.4. Простейшие свойства />-алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым илисамосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х.Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называетсяидемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов естьвещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и yперестановочны. Для каждого х/>Аэлементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитовэлемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта1.2. Действительно, для любого z/>C />, но если z действительно отрицательное число, то его нельзяпредставить в виде />.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить,и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2– эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1+iх2, следовательно:
/>, /> (1.5.)
Такимобразом, это представление единственно. Обратно, элементы х1,х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1+iх2.
Эти элементы х1, х2 называютсяэрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что хх* = х12 + х22+ i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12+ х22 — i(х2х1– х1х2)
так что хнормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е, то естьединица эрмитов элемент.
Если А — *-алгебра без единицы, а А΄ — алгебра,полученная из А присоединением единицы, то, положив /> при х/>А, мы определиминволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Такчто А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть*-алгебра, полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1также существует и
(х*)-1= (х-1)*Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1 =е,
получим х*(х-1)*=(х*)-1х*=е.
Но этоозначает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1алгебрыА называется*-подалгеброй, если из х/>А1 следует, что х*/>А1.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности,пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S/> А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной,если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра,содержащая нормальный элемент х, и если х-1существует,то х-1/>В.
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всемиэлементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1= (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1/>В.
Определение 1.6. Элемент х/>А- *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря,если х обратим и х = (х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем,равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарнуюгруппу А. Действительно, если x и y– унитарные элементы *-алгебры А, то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1(y*)-1 = xy,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1=((х*)-1)-1 = х-1, то х-1унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовемгомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f(x + y) = f (x) + f (y),
f(αx) = α f (x),
f(xy) = f (x) f (y),
f(x*) = f (x)*
для любых х,y/>А, α/>С.Если отображение f биективно,то f называют изоморфизмом(*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:
(i) I≠ A;
(ii) Из х, y/>I следует x+ y />I;
(iii) Из х/>I, а α/>А следует α х/>I.
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно илевым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I –двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентнымиотносительно идеала I,если х-y/>I. Тогда вся алгебра А разбивается на классыэквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всехэтих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения начисло и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операцийне зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебраназывается фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемыхсамосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9. Идеал I(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х/>Iследует х*/>I.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно,отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал влевый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то Iестьодновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A/Iпо самосопряженному двустороннемуидеалу Iможно определить инволюцию следующимобразом. Если х-y/>I, то х*-y*/>I. Поэтому при переходе от х к х*каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2.выполнены; следовательно, A/Iесть *-алгебра.
Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄,то полный прообраз Iнуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двустороннийидеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.
Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х/>А в содержащийего класс вычетов по Iесть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А — *-алгебра, Н – гильбертовопространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм*-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).
Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такоеотображение из А в L(H), что
π (x+y) = π (x)+ π (y), π (α x) = α π(x),
π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*
для любых х,y/> А и α /> С.Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ.Пространство Н называется пространством представления π.
Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1и Н2соответственно, эквивалентны (или унитарноэквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х/>А,то есть
U π1(х) =π2(х)U для всех х /> А.Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех х/>А)плотно в Н. Вектор f называют циклическим (илитотализирующим) для представления π.
Определение 2.4. Подпространство Н1/>Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1/>Н1.
Если Н1инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х/>А)можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.
Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н,то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть fортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех g/>Н1. Тогда для любого х/>А (π(х)f, g) = (f,π(х)*g) = (f, π(х*)g)=, так как π(х*)g/>Н1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.
Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н наподпространство Н1/>Н1.
Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда итолько тогда, когда все операторы представления перестановочны с операторомпроектирования Р1 на Н1.
Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространствои f/>Н1, но также π(х)f />Н1. Отсюда для любого вектора f/>Н
π(х)Р1f />Н1
следовательно,Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,
то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.
Применяяоперацию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х*вместо х, получаем, что также
Р1π(х)Р1 = Р1π(х).
Следовательно,Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f/>Н1
Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;
Следовательно,также π(х)f />Н1.Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.
Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида
h = f1+ … + fn, где f1,…,fn – векторы исходных подпространств. Сдругой стороны, π(х)h= π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеетсвоим пределом π(х)g.
2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i/>I — семейство представлений *-алгебры А вгильбертовом пространстве Нi (i/>I). Пусть
|| πi(х)|| ≤ сх
где сх– положительная константа, не зависящая от i.
Обозначимчерез Н прямую сумму пространств Нi,то есть Н = />Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывныйлинейный оператор π(х)в Н, который индуцирует πi (х)в каждом Нi. Тогдаотображение х → π(х)есть представление А в Н, называемое прямой суммой представленийπi и обозначаемое />πi или π1/>…../>πnв случае конечного семейства представлений (π1…..πn).Если (πi)i/>I – семейство представлений *-алгебры А,совпадающих с представлением π,и если CardI = c,то представления />πi обозначается через сπ. Всякое представление,эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякоелинейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Хсодержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличныхпредставлений.
Доказательство. Пусть f≠– какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторовπ(х)f, где х пробегает всю *-алгебру А.Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1– инвариантное подпространство, в котором f есть циклический вектор. Другимисловами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1есть отличное от {0} инвариантноеподпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическоеподпространство Н2 ортогональное Н1.
Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональныхциклических подпространств представления; одной из таких систем являетсяпостроенная выше система {Н1, Н2}.Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образуетчастично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно,верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}/>Мбудет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальнаясистема {Нα}. Но тогда Н=/>Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(/>Нα) существовало бы отличное от {0}циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}/>Н0/>М, содержащуюмаксимальную систему {Нα}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Нне существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякийоператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления,равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π впространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличныйот нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этогопредставления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо.При f/>Н, f≠ 0,подпространство, натянутое на векторы π(х)f, х/>А, естьинвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадаетс {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерноепространство
{α f | α />C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, еслипредставление π приводимои К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н,то никакой вектор f из К не будетциклическим для представления πв Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимотогда и только тогда, когда коммутант π (А)в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратнымединичному).
Доказательство.Пусть представление πнеприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В –эрмитов оператор; обозначим через E(λ)спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в видунеприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает привозрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0такое,что E(λ) =0 при λλ0. Отсюда
В=/>λdE(λ) = λ01.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор,переста-
новочный со всеми операторами π(х).Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтомуэрмитовы операторы В1=/>, В2=/> также перестановочны совсеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и операторВ = В1+iВ2кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всемиоператорами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий операторпроектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может бытькратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно,представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т: Н → Н΄такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х/>А,называется оператором сплетающим π иπ΄.
Пусть Т: Н→ Н΄ — оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т*: Н΄ → Нявляется оператором, сплетающим π΄иπ, таккак
Т*π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюдаполучаем, что
Т*Тπ(х)=Т*π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| — полярное разложение Т. Тогда для любого х/>А
Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.)следует
Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)
Если, кроме того, />= Н΄,то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н иН΄ и (2.3.) доказывает что π иπ΄ эквивалентны.
Пусть π и π΄ — неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах НиН΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающийоператор Т: Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6.следует, что Т*Т и ТТ* — скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление*-алгебры А. Тогда π = π1/>…../>πn, где πi неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = qи что наше предложение доказано при dimπq. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ /> π΄΄, причем dimπ΄q, dimπ΄΄q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1/>…../>πn не единственно. Тем не менее, мыполучим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1, ρ2 – дванеприводимых подпредставления π. Имотвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2.Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1и Н2. Они коммутируют с π(А).Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающийρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1и Н2не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любоенеприводимое подпредставление πэквивалентно одному из πi. Итак, перегруп-
пировав πi, получаем, что π = ν1/>…../>νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ– неприводимое представление π, топредыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантноеподпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н,порожденное пространствами подпредставлений π,эквивалентных νi΄. Таким образом, доказанопредложение.
Теорема 2.8. В разложении π= ρ1ν1΄/>…../>ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целыечисла ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом,как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т,снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующимисвойствами: Т/>В, Ø/>В, В инвариантноотносительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода кдополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 –борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительнаямера на Т.
Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Тесть пара ε = ((H(t))t/>T, Г), где (H(t))t/>T – семейство гильбертовыхпространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множествовекторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Г – векторноеподпространство />Н(t);
(ii) существуетпоследовательность (х1, х2,…) элементов Гтаких, что для любого t/>T элементы хn(t) образуют последовательность H(t);
(iii) для любого х/>Г функция t→||x(t)|| μ – измерима;
(iv) пусть х– векторное поле; если для любого y/>Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х/>Г.Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) μ – измеримое полегильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полемс интегрируемым квадратом, если х/>Ги />||x(t)||2 dμ(t) ∞.
Если х, y– с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ/>С) – тоже ифункция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим
(x,y) = />(x(t), y(t)) dμ(t)
Тогдавекторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н,называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое />x(t)dμ(t).
Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого t/>T определен оператор S(t)/>L(H(t)). Если для любого х/>T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.
Пусть Т – борелевское пространство, μ — положительнаямера на Т, t→Н(t) — μ — измеримое поле гильбертовыхпространств на Т. Пусть для каждого t/>T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.
Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х/>А полеоператоров t→π(t)х измеримо.
Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х/>А можнообразовать непрерывный оператор π(х)=/>π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =/>Н(t) dμ(t).
Теорема 2.9. Отображение х→π(х)есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, y/>А имеем
π(х+y) = />π(t) (x+y) dμ(t) = />(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =/>π(t) (x )dμ(t) +
+/>π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π=/>π(t) dμ(t).
Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)/>L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=/>Н(t)dμ(t).Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) – μ-измеримое полегильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т,эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μабсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=/>. Тогда отображение,которое каждому х/>Н==/>Н(t)dμ(t) составляетполе t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=/>Н(t) dμ1(t),
естьизометрический изоморфизм Н на Н1, называемыйканоническим.
Действительно,
||/>ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = />||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = />||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ –мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т,t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),
Н=/>Н(t) dμ(t), π1==/>π(t )dμ(t),
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 –мера на Т, эквивалентная μ,
Н1 =/>Н(t) dμ1(t), π1 =/>π(t) dμ1(t),
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1.Тогда канонический изоморфизм преобразует πв π1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=/>. Канонический изоморфизм из Нв Н1есть изометрический изоморфизм, который переводит х=/>x(t) dμ(t)/>Н в
Ux= />ρ-1/2х(t) dμ1(t).
Пусть α />А. Имеем
π1(α)Ux = />π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U/>π(t)(α)х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,
поэтому ипреобразуем π в π1. Тогдаесли S/>Д, то аналогично SUx = USx, для любого х/>Н.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевскиепространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1соответственно; ε = ((H(t))t/>T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1/>T1, Г), — μ-измеримое и μ1-измеримоеполя гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1– борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1;η-изоморфизм εна ε1 называется семейство (V(t))t/>T, обладающееследующимисвойствами:
(i) для любого t/>T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));
(ii) для того, чтобыполе векторов t→x(t)/>H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо идостаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) />Н1(η(t)) на Т1было μ1-измеримо.Отображение, переводящее поле х/>Н=/>Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) />Н1= />Н1(t) dμ1(t), есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый />V(t) dμ(t).
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ –мера на Т, t→H(t) – μ — измеримое поле гильбертовыхпространств на Т, t→ π(t) — μ — измеримое поле представлений Ав H(t),
Н=/>Н(t) dμ(t), π ==/>π(t) dμ(t),
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.
Предположим, что существует:
1. N, N1 – борелевские подмножества Ти Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
2. борелевскийизоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;
3. η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t/>Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1/>Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.Тогда V =/>V(t)dμ(t) преобразует Дв Д1 и πв π1.
Доказательство. Обозначим через It, It1 единичныеоператоры в Н(t)и Н1(t1). Если f/>L∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует />f(t)Itdμ(t) в />f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому Vпреоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α/>А и х = />х(t) dμ(t)/>Н.
Тогда
Vπ(α)х = V/>π(t)(α)х(t) dμ(t) = />V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1))dμ1(t1) = />π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1))dμ1(t1) = π1 (α) Vх
Поэтому V преобразует π в π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
1. Пусть имеетсяпоследовательность гильбертовых пространств /> идискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любогоn/>N. Тогда
/>Н(n) dμ(n) = />Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
2. Пусть Т=[0,1] и в каждой точке t/>Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Тзадана линейная мера Лебега dt.Тогда />С dt = L2 (0, 1).Изоморфизм устанавливается отображением х = />х(t) dt →х(t)/>L2 (0, 1).
Разложения представления на неприводимыепредставления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть/> - конечнаяпоследовательность сепарабельных гильбертовых пространств, /> - некоторыйортонормированный базис в Нк.
Образуем формальноепроизведение
/> (3.1.)
α = (α1,…,αn) />/> (nраз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (/> ) и наформальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что ониобразуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называетсятензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1/>,…, />Нn = />/>. Его векторы имеют вид:
f= /> (fα/>C), || f||2=/>
Пусть g= />/>/>/>,тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) = /> (3.3.)
Пусть f(k)= />/>/>(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f = f(1)/>…/> f(n)= /> (3.4.)
Коэффициенты fα= /> разложения (3.4.)удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит />/>,при этом
|| f || = /> (3.5.)
Функция Н1/>,…, />Нn />> />/>/> />/> линейнапо каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в />/> - эта линейная оболочканазывается алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…,Нn и обозначается α. />/>
Приведенное определение тензорного произведениязависит от выбора ортогонального базиса />вкаждом сомножителе />. При изменениибазисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своейструктуры исходному произведению.
Пусть Н1 и Н2 –гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорногопроизведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1/> f2, причем считается, что
(f1 + g1)/> f2 = f1/> f2 + g1/> f2 (3.6.)
f1/> (f2 + g2) = f1/> f2 + f1/> g2 (3.7.)
(λ f1)/> f2=λ (f1/> f2) (3.8.)
f1/> λ (f2) = λ (f1/> f2) (3.9.)
f1,g1/>Н1; f2,g2/>Н2;λ />С.
Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству,натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми илевыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1/> f2,g1/> g2) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)
f1,g1/>Н1; f2,g2/>Н2,
а затем распространяется надругие элементы из факторизованного L билинейнымобразом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определимтензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть />, /> - две последовательностигильбер-
товых пространств, /> -последовательность операторов Ак/>L(Нк,Gк). Определим тензорное произведение А1/> …/>Аn = />Ак формулой
(/>/>) f = />/>(/>) = /> (3.11.)
(f />/>/>).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.)сходится слабо в />/>и определяет оператор />/>/> L (/>/>, />/>),причем
|| />/>||= />|| />|| (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1/>,…, />Нn = (Н1/>,…,/>Нn-1)/>Нnобщий случай получаетсяпо индукции.
Пусть />-некоторый ортонормированный базис в Gк(к= 1, 2) и пусть g = /> />G1/> G2.В качестве f возьмемвектор из Н1/> Н2с конечным числом отличных от нуля координат fα.
Зафиксируем α2,β1 /> Z+ и обозначим через f(α2) />Н1вектор f(α2)= /> и через g(β1)/>G2 – вектор g(β1)=/>. Получим
/>= />=
= />≤ />=
= />≤ />=
= />
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1/>G2ряда /> уже при произвольном c />Н1/>Н2и оценкаего нормы в G1/>G2сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||.Таким образом, оператор A1/> A2:Н1/> Н2→G1/>G2определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма непревосходит ||A1|| ||A2||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1/> A2)(f1/> f2)|| = ||A1 f1||||A2f2|| (fк/>Нк,к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1, f2последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||,поэтому неравенство ||(A1/> A2)||≤ ||A1|| ||A2||не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак />L(Hк, Gк), Вк />L(Hк, Gк) (к = 1,…, n)соотношения
(/>Вк)(/>Ак) = />(Вк Ак) (3.13.)
(/>Ак)*= />Ак* (3.14)
(/>Ак)(f1/> …/> fn) = A1 f1/>…/> An fn (3.15.)
(fк/>Hк; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор />Ак.
Приведем пример. Пусть Hк= L2(/>(0,1),d (/>mк)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.) /> /> />/> поставимв соответствие функцию /> />L2.Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождаеттребуемый изоморфизм между />/>и L2.
Глава II. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1. Постановказадачи. Пусть дана*-алгебра P2
P2 = Ср1, р2| р12= р1* = р1, р22=р2* = р2 >
порожденная двумяпроекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u = 2p1 –1, v = 2p2– 1, тогда u, vсамосопряженные элементы.
u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 –4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарныесамосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:
P2 = С p1*= p1, p2*=p2 | p12= p1, p22= p2> = Cu* = u, v* = v | u2 = 1, v2=1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумяунитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления*-алгебры P2, с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2. Пусть π: P2→L(H) — *-представление *-алгебры P2.Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.
P2 = Ср1, р2| р12= р1* = р1, р22=р2* = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк),к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк(к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк ={y/>H| Ркy = y } к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1. Н1= Н2= {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
2. Н1= Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1= 1, Р2 = 0.
3. Н1= {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогдаР1 = 0, Р2 = 1.
4. Н1= Н2 = Н (dim H1 = dim H2=1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.
Так как dim H =1, то мы можемполучить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2,причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2. Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ — ортогональноедополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1/>Н1┴, Н=H2/>Н2┴
Введем дополнительные обозначения:
Н0,0= Н1┴ ∩Н2┴,Н0,1= Н1┴ ∩Н2,Н1,0= Н1 ∩Н2┴,Н1,1= Н1 ∩Н2. (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, чтосуществуют i и jтакие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть,например, dim Н1,0= 1(остальные случаи аналогичны). Тогда в Hсуществует ненулевой вектор h такой, что Н1,0= л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантноеподпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j=0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1= dim H2=1. Тогда в Н можно найтидва ортогональных базиса {e1, e2} и {g1,g2}, в которых матрицы операторовР1 и Р2 имеют вид />.Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1,e2}.
/>Пусть g1 = a11e1 + a12e2
/> g2 = a21e1 + a22e2
e1= b11g1 + b12g2
e2= b21g1 + b22g2
Рассмотрим векторы h1= eite1 и h2 = eile2,тогда
|| h1 || =|| eite1 || = || e1 || = 1, || h2|| = || eile2 ||= || e2 || = 1
(h1 ,h2) = (eite1, eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1,h2} – ортонормированныйбазис.
Р1h1=eit Р1 e1 = h1, Р1h2=eilР1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1,h2} матрица оператора Р1также имеет вид />. Тогда можносчитать, что a11,a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1=|a11| h1)
(e1, e2)= 0, значит a11a21 = a12a22 = 0 или />, тогда существует такоекомплексное число r, что
/>a22 = — ra11
a21 = ra12
Базис (e1, e2) ортонормированный; следовательно
/>a112 + a122 = 1
|a22|2+ |a21|2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 (b11g1 + b12g2)= b11g1= b11a11e1+ b11a12e2,
Р2 e2 = Р2 (b21g1 + b22g2)= b21g1= b21a11e1+ b21a12e2.
Найдем b11и b21:
e1 = b11g1+ b12g2 = b11(a11e1 + a12 e2) + b12(a21e1 + a22e2) =(b11a11 + b12a12)e1+ (b11a12 + b12a22)e2,
/>b11a11 + b12a12= 1
b11a12 + b12a22 = 0 или
/>b11a11 + b12a12r = 1
b11a12 — b12a11 r = 0,
Тогда b11 = a11.
Аналогично
E2 = b21g1+ b22g2 = (b21a11+ b22a21)e1 + (b21a12+ b22a22)e2,
/>b21a11 + b22a21=0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21= a12.
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2}будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2 = />, где a11>0, a12>0и a112 + a122 =1
А) Пустьa112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = />.Так как a11a12 >0, то τ/>(0, 1).
Тогда Р2 = />.
В) Положим a11 = cosφ,тогдаa12 = sinφи Р2 запишется следующим образом
Р2 = />.
Найдем коммутант π(P2).Пусть Т = /> оператор перестановочный сР1 и Р2, тогда
ТР1 = />/> = />
Р1Т = />/> = />
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = />/> = />
Р2Т= />/> =/>
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6.глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν/>(0, 1), τ ≠ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н,устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1= Р1U, следовательно U=/>, a,b />C
UР2(τ) = />/> = />
Р2 (ν)U = />/> =/>.
Тогда τ = ν, следовательно U= 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеютвид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2)= 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2)= 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2)= 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2)= 1;
(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентныепредставления имеют вид: π(p1) /> , π(p2) /> τ/> (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и впункте (ii) можно положить π(p2) = /> φ/> (0, />).
1.4. n – мерные *-представления*-алгебры P2 .Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1,dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 иj= 0,1, что Нi,j≠ {0},следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространствоотносительно *-представления π,но тогда πприводимо.
Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное.Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j= {0} длялюбых i = 0,1 иj= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы.Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представлениеπ окажетсяприводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х/>Н1такой, что Р1Р2х = λх, где λ/>С.
Доказательство. Пусть />,/> ортонормированный базисы вН, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид />, где I– единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е)и (g) связаны уравнениями
/>/>/> />
к = 1,…, n к = 1,…, n
Так как х/>Н1,то />, gk />C, к = 1,…, n.Тогда
Р1Р2х= Р1Р2/>= Р1Р2/>/>= Р1/>/>=
= Р1/>/>/>=/>/>/>=/>(/>/>)/> = />
Таким образом получаем систему линейных однородныхуравнений относительно q1,…, qn:
/>/>/>= />
j = 1,…, n
Подбирая λ/>C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль,получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент худовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х,Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1и Р2.
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b />Симеем
Р1 (aх + bР2х)= aх + λbх =(a + λb) х />L,
Р2 (aх + bР2х)= aР2х + bР2х= (a + b) Р2х />L
dimL= 2, так как Нi,j= {0} (длявсех i, j= 0,1).
Действительно, если aх +bР2х = 0, где, например, а≠ 0, то х = /> Р2х,значит />= 0 или 1 и х />Н1,1;тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН= n, n>2,то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P2. Всенеприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пунктемы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного*-представления π*-алгебры P2,а также разложение пространства Н на инвариантные подпространстваотносительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2подпространств
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0/>Н1,1 /> (/>(С2/>Нк)), (1.1.)
где каждому подпространствуНк соответствует одно φк/> (0, />), φк ≠φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m).Пусть Рi,j:Н → Нi,j, Рφк:Н → С2/>Нк– ортопроекторы к = 1,…, m. Тогдасуществуют единственные разложения операторов
I = P0,0/> P0,1/> P1,0 />P1,1/>(/>Рφк), (1.2.)
P1 = P1,0/>P1,1/>(/>(/>/>Iк)) (1.3)
Р2= P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк)) (1.4)
где Iк– единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j.Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0/> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. итеорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк/> (0, />):
Н΄ = />Нφк, (l = n — />)
Собирая вместе все Нφк,у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк/>…/>Нφк≈ С2/>Нк, где Нφк nкэкземпляров, dim(Нφк/>…/>Нφк)=2nк dim(С2/>Нк) = dimС2 dimНк= 2nк. Следовательно, получаемразложение (1.1.)
Н = Н0,0/> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> (/>(С2/>Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк–сужение π на Нφк(к = 1,…, m), то есть πi,j и πк — *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0/>n0,1π0,1/>n1,0π1,0/>n1,1π1,1/>(/>nкπк) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы Iразложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 /> P0,1/> P1,0 />P1,1 /> (/>Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2примут вид
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк ))
Р2 = P0,1 />P1,1 /> (/> />/>Iк ))
Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0.В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяютсяоднозначно.
§ 2. Два ортопроектора всепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебрыP2. Пусть А = Р1 — Р1┴ = 2Р1– I и В = Р2 – Р2┴= 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. СледовательноА и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ,тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогдаи только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы.Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство Lотносительно операторов А и U. Тогда UL= АВL/>L, нотогда ВL/>АL/>L, то есть пара А, В– приводима.
Обратно, пусть А и Uнеприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть />L/>Н: АL/>L и ВL/>L, то из включенияАВL/>АL/>L следуетприводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантноеподпространство L/>Нтакое, что Р1L/>L,Р2L/>L.Рассмотрим АL = (2Р1 – I)L/>L, ВL = (2Р2 – I)L/>L, то есть А и Вприводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1и Р2 также будут приводимы, так как Р1L= />L/>L, Р2L = />L/>L, для любогоинвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ/>/>(U), то e-iφ/>/>(U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечномуспектру оператора U, то существует f/>Н: ||f||= 1 и Uf = eiφf. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφпринадлежит спектру U.
2) Если eiφ/>/>(U), то существуетпоследовательность единичных векторов /> вН || fn || = 1 такая, что
||Ufn — eiφfn || = || UАfn — eiφA fn || = || U-1Аfn — eiφA fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ/>/>(U-1),следовательно e-iφ/>/>(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и Всамосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U+ U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U — U-1)= А (U2 – 2I + U-2) = (U2– 2I + U-2)А = (U — U-1)2А
Таким образом А (U+ U-1) = (U-1+U)А (2.2.)
А (U — U-1) = (U — U-1)2А (2.3.)
Пара А и U неприводима(лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1= cI
(U — U-1)2 =d2I
где c,d />С. По теоремепреобразования спектров eiφ+e-iφ= c, eiφ — e-iφ= ±d.
1) Если d = 0, то />(U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U= I или U = -I.Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1и А = +I или А = -I. Посколькусуществует одномерное инвариантное подпространство yоператора А: л.о. {(A+I)x}, х/>H.
2) Если d ≠0, то />(U) дискретен и состоит из двухточек eiφ=/> и e-iφ=/> φ/>(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ(или e-iφ),Нeiφ = {f/>H |Uf= eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутоена собственные векторы f иAfдля оператора U: Uf= eiφf,U(Аf)= eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что />(U) = {eiφ, e-iφ} φ/>(0,π) в базисе изсобственных векторов оператора U имеют вид:
А = />, U = />, В = />
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1,Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н –сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в формеоператоров умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 всепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/> (/>(С2/>L2((0,/>), dρк))) (2.4.)
где ρ1 >ρ2 >… ρк меры на интервале(0, />), такое, что имеют месторавенства
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк )) (2.5.)
Р2 = P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк )) (2.6.)
Iк– единичный оператор в L2((0,/>),dρк)
Доказательство. Пространство Н можнопредставить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 /> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> Н΄, то естьотщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит изинвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечаетциклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF.При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций синтегрируемым квадратом по мере μF наТ.
Пусть каждому вектору ξ/>Н поставим всоответствие подпространство Нξ/> Н,которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ,где х/>А.Ограничения операторов из π(А)на Нξ является циклическим представлением. Обозначим егочерез πξ, а соответствующую меру на Т черезμξ. Введем упорядочение в Н,полагая ξ>η, если μξ> μη(то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).
Если η/>Нξ, то Нη/>Нξ, тогда πη – циклическое подпредставлениеπξ. Пусть Е/> Ти μξ(Е)= 0, тогда μη(Е) = 0, следовательно μξ> μη,а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н.Пусть существует счетное разложение Н = />Нηк. Пусть{ζi} – последовательность, вкоторой каждый из векторов ηiвстречается бесконечное число раз. Определим ξкиндуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
1) ξк+1 – максимальный вектор в (/>Нξi)┴,
2) d (ζк, />Нξi) ≤ />.
Тогда разложение Н =/>Нξктакое что ξк>ξк+1и μк>μк+1.
Пусть представления πμ в L2(Т,μ) и πνв L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т,μ) →L2(Т, ν) устанавливающий ихэквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функцииg на Т v(g)=vπμ(g)f = πν(g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическоеотображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна помере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что νабсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значитсуществует разложение Н΄ = />(С2/>L2(Т,μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерампредставления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.).Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк ))
Р2 = P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк ))
Iк– единичный оператор в L2((0,/>),dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в формеразложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 всепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/> />С2/>Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интегралинвариантных относительно Р1, Р2 подпространств иопределенное на Т = (0, />)разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, />) в Н+ =/>С2/>Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 />P1,1/> />/>I+ (2.8.)
Р2 = P0,1 />P1,1/> />/>/>dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А,действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимуюпеременную в пространстве />L2(R, dρк),где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогдадоказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следуетнепосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
ГлаваIII. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторовв унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертовопространство. Если Р – ортопроектор, то />(Р)= />р (Р) = {0, 1}, где />р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх — λх = y, х, y/> Н, λ/> С. Тогда (1 — λ) Рх = Рy. Если λ ≠1, то Рх = />Рy. Если х ≠ 1, то х = />(/>Рy — y), тогда />(Р)= {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1/>/>р (Р). Существует y ≠ 0: (I- Р)y ≠ 0, тогдаР(I — Р)y =0 = 0 · (I — Р)y, тоесть 0 />/>р (Р). Итак, />(Р) = />р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы дваортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н.Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. ПустьdimH =1. Пусть, как и выше, Нк– область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А =Р1 + Р2 и найдем />(А).
1) Р1 = Р2= 0, то для любого х/> Н Ах= 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 />/> (А).
2) Р1 = 0, Р2= I, то для любого х/> Н2 = Н Ах= х, то есть 1 />/> (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х/> Н1 = Н Ах= х.
4) Р1 = Р2= I, то для любого х/> Н1 = Н2= Н Ах = Р1х + Р2х = 2х,то есть 2 />/> (А).
Таким образом, если dimH=1, то />(А) />{0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х/> Н0,0,тогда Ах = 0 и 0 />/> (А).
2) х/> Н0,1 илих/> Н1,0 ,тогда Ах = х и 1 />/> (А).
3) х/> Н1,1, тогдаАх = 2х, то есть 2 />/> (А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j/> Нk,l = H. В этом случае />(А)/>{0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существуетодномерное инвариантное подпространство Lотносительно Р1 и Р2, тогда АL/>L. Пусть х/> L,тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможныслучаи:
(i) λ1 = 0, λ2 = 0;
(ii) λ1 = 0, λ2 = 1;
(iii) λ1 = 1, λ2 = 0;
(iv) λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что /> k,l =0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопрекипредположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мыможем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некоторомортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = />, Р2 /> τ/> (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 +bР2,a и b/> С. Для этого решимхарактеристическое уравнение det(aР1+bР2 – λI)= 0.
/>
/> (1.1.)
Тогда />, /> (1.2)
Положим a = 1, b =1, ε = />, тогда λ1= 1+ε, λ2= 1-ε и 0τ
Тогда />(А) />{0, 1, 2}/>{1+ε, 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр Аодновременно.
1.5. Спектр в n-мерномпространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К/>L, где К, Lинвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х/> Н существуетединственное разложение x = k+l, k/> K,l/> L. Пусть λ/>/> (А),тогда Ах = λх =λk+λl;, следовательно, если пространство Нразложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектроператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А насоответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II,представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0= Н0,0, Н1=Н0,1/>Н1,0, Н2=Н1,1и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк φк/> (0,/>), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Таккак А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеетместо разложение на собственные подпространства
Нφк = Н1+εк />Н1-εк , причем dimН1+εк =dimН1-εк =1 (1.3)
Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (таккак εк =/>=cosφк и φк/> (0,/>)). Объединим все Нφк, у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, иобозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk,то есть Нφк состоит из qkэкземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк ,то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства,получим Нφк = Н1+εк />Н1-εк , dimН1+εк =dimН1-εк = qk.
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор Апредставим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
/>(А)/>{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}), 0
причем dimН1+εк =dimН1-εк к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2,тогда его спектр был найден выше:
/>(А)/>{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}), где 0к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А иизвестно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают,то есть
dimН1+εк =dimН1-εк . Существует единственное разложение Н вортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0)/> Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>Нк)) (1.4.)
(1.4.) можно записатьиначе
Н = Н(0)/> Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>(Н1+εк />Н1-εк ))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2следующим образом
P1 = PН2/>(/>(/>/>Iк)) (1.6.)
Р2 = PН1/>PН2/> (/> />/>Iк )) (1.7.)
где PНк – ортопроектор в Нна Н(к) (к = 1, 2), Is– единичный оператор в Hs s=1,…, m.Но тогда
Р1 + Р2= PН1 />PН2 /> (/> />/>Iк)) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пустьтеперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b.Пусть λ2 = ε,тогда λ1 = a +b – ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a — b)2 +4abτ > 0.
Тогда ε = /> > />= 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a, тогда
a ≤ />
/>≤ b– a
(b — a)2+4abτ≤ (b – a)2
abτ ≤ 0,но abτ > 0 и значит ε a
Итак,
/>λ1 = ε
λ2 = a + b – ε. (1.8.)
0 a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор Апредставим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1+bР2, 0ab тогда и толькотогда, когда
/>(А) />{0,a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), 0
dimНεк =dimНa+b-εк (Нεк ,Нa+b-εк — собственные подпространства оператора А, отвечающиеεк) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1+bР2, 0ab. Найдем />(А).
1) х/> Н0,0, тоАх = 0 и 0/>/>(А);
2) х/> Н0,1,то Ах = bx и b/>/>(А);
3) х/> Н1,0,то Ах = ax и a/>/>(А);
4) х/> Н1,1,то Ах = (a+b)x и a+b/>/>(А).
Тогда />(А) />{0, a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), где0к=1,…m. Причем числа εк, a + b- εквходят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогдасумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк такжеинвариантна относительно А и dimНεк =dimНa+b-εк = qk.(с учетом кратности εк)
Обратно. Существует единственное разложение Нв силу (1.4.)
Н = Н(0)/> Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(С2/>Нк)) (1.9.)
Где Н(0)=Н0,0, Н(a) =Н1,0, Н(b)=Н0,1, Н(a+b)=Н1,1 или
Н = Н(0)/> Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(Нεк/> Нa+b-εк) (1.10.)
Положим
P1 = Pa/>Pa+b/>(/>(/>/>Iк )) (1.11.)
Р2 = Pb />Pa+b /> (/> />/>Iк )) (1.12.)
Но тогда
aР1 +bР2= aPa/>bPb /> (а+b)Pa+b /> (a/>(/>/>Iк ))/>
/>(b/>/>Iк )) = A.
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), (0к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинацияортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторовв сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2.Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовомпространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный оператор Апредставим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2тогда и только тогда, когда />(А) =[0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную суммуинвариантных относительно А пространств
Н = Н0/> Н1/> Н2 />(/>(С2/>L2((0,/>), dρк))) (2.1.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 +Р2. Н0=Н0,0, Н1=Н1,0/>Н0,1, Н2=Н1,1
Поставим в соответствие φ→ε cosφ,где φ/> (0, />). Тогда, как было найденовыше, спектр />(А) /> [0, 2] и Нможно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II)в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0/> Н1/> Н2 />(/>(С2/>L2((0,2),dρк)))
Поскольку собственные подпространства,соответствующие собственным значениям А 1+ε, 1-ε, 0ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительнопреобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и />(А) /> [0, 2]. Тогда зададимортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами
Р1΄= P1/>P2/>(/>(/>/>Iк))
Р2΄ = P2 /> (/> />/>Iк))
где Pi:Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0,2), dρк)). Тогда А =Р1΄+ Р2΄ — самосопряженный оператор, спектр которогосодержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) являетсясуммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 +bР2(0ab).Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1+bР2 (0ab).
Теорема 2.2. Самосопряженный оператор Апредставим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 +bР2,0ab тогдаи только тогда, когда />(А) /> [0, a]/>[b,a+b] и Нможно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно Апространств
Н = Н0/> Нa />Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b],dρк)))) (2.2.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1+bР2 (0ab). Пусть Н0=Н0,0,На=Н0,1, Нb=Н1,0, Нa+b=Н1,1. Так как />(А) /> [0,a] />[b, a+b]и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора Авходят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогичнотеореме 2.1. получаем
Н = Н0/> Нa />Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b],dρк))))
где меры ρк(к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть />(А)/> [0,a] />[b, a+b]и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом
P1 = Pa/>Pa+b/>(/>(/>/>Iк ))
Р2 = Pb />Pa+b (/> />/>Iк ))
где Рα:Н→Нα, α = a,b, a+b – ортопроекторы, Iк– единичный оператор в L2([0,a]/>[b,a+b]). Тогда
А =aР1 +bР2 = aР1/> bР2/>(a+b)Pa+b />(/>(/>/>Iк )) />
/> (/> />/>Iк))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов всепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всехнеприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2.
P2 = Сp1, p2| pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
Идвумерные: /> , /> τ/> (0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 +bР2 (0ab), а также необходимые и достаточные условияпредставимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 иА = aР1 +bР2 (0ab).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовомпространстве, М., Наука, 1966.
2. Березенский Ю.М.,Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
3. Браттели У.,Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий.Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4. Диксмье Ж.С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5. Кириллов А.А.Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6. Кужель А.В.Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7. Ленг С. Алгебра.М., Мир, 1968.
8. Мерфи Д.С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9. Наймарк М.А.Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10. Рудин У.Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11. NishioK,Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science PublishingCo., Inc., 1985.
12. SamoilenkoY.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.