--PAGE_BREAK--
Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (для демонстрационного примера – это 8,0, 10,0, 12,0, 14,0 млн. руб.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.
Процесс группировки единиц совокупности по признаку Доходам представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 2.3.
Таблица 2.3.
Группировка страховых организаций по размеру денежных доходов
Группы
Группы страховых организаций по доходам, млн. руб.
Номер организации
Доходы, млн. руб.
Прибыль млн. руб.
7
6,0
0,25
I
6,0-8,0
15
7,0
0,31
16
8,0
0,40
Итого
3
21
0,96
1
9,7
0,41
2
9,0
0,40
5
9,8
0,42
II
8,0-10,0
6
10,0
0,44
14
8,5
0,38
23
8,5
0,34
24
8,5
0,35
Итого
7
64
2,74
3
10,2
0,45
4
10,3
0,46
8
10,5
0,48
10
11,6
0,53
III
10,0-12,0
11
11,7
0,54
13
11,9
0,55
20
10,5
0,49
21
10,7
0,50
22
10,8
0,50
26
11,5
0,52
Итого
10
109,7
5,02
12
12,8
0,56
17
12,2
0,58
18
13,5
0,63
IV
12,0-14,0
19
13,9
0,65
25
12,2
0,58
27
13,3
0,60
28
13,8
0,64
30
13,5
0,64
Итого
8
105,2
4,88
V
14,0-16,0
9
16,0
0,75
29
15,0
0,70
Итого
2
31,0
1,45
Итого
30
330,9
15,05
В результате группировке получили следующий ряд распределения (таблица 2.4.):
Таблица 2.4.
Распределение страховых организаций по доходам
Группы
Группы организаций по доходам страховых организаций, млн. руб.
Число организаций
I
6,0-8,0
3
II
8,0-10,0
7
III
10,0-12,0
10
IV
12,0-14,0
8
V
14,0-16,0
2
Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 — 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частотыSj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .
Таблица 2.5. Структура организаций по доходам
№ группы
Группы организаций по доходам, млн. руб.
Число организаций, fj
Накопленная
частота,
Sj
Накопленная
частость, %
в абсолютном выражении
в % к итогу
1
2
3
4
5
6
I
6,0-8,0
3
10,0
3
10,0
II
8,0-10,0
7
23,33
10
33,33
III
10,0-12,0
10
33,33
20
66,66
IV
12,0-14,0
8
26,67
28
93,33
V
14,0-16,0
2
6,67
30
100,0
Итого
30
100,0
Вывод.Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности страховых организаций показывает, что распределение организаций по доходам не является равномерным: преобладают организации с доходами от 10 млн. руб. до 12 млн. руб. (это 10 организаций, доля которых составляет 33,33 %); 33,33 % организаций имеют доходы менее 10 млн. руб., а 66,66 % – менее 12 млн. руб.
1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом
Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.
Мода Модля дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).
Рис. 1 Определение моды графическим методом
Медиана Ме– это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.
Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 2.5, графа 5).
Рис. 2. Определение медианы графическим методом
3. Расчет характеристик ряда распределения
Для расчета характеристик ряда распределения среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану на основе табл. 2.5 строится вспомогательная таблица.
Таблица 2.6.Расчёт характеристик ряда распределения
Среднее арифметическое находим по формуле средне арифметическая взвешенная:
, где
продолжение
--PAGE_BREAK--
— сумма произведений величины признаков на их частоту;
— общая численность единиц совокупности.
=млн. руб.
Дисперсию вычислим по формуле:
=
Среднее квадратическое отклонение определим по формуле:
млн. руб.
Коэффициент вариации найдем по формуле:
; =19,7%
Вывод: 19,7%
Рассчитываем моду:
где X
o– нижняя граница модального интервала,
h
–ширина модального интервала,
f
Mo– частота модального интервала,
f
Mo-1– частота интервала, предшествующего модальному,
f
Mo+1– частота интервала, следующего за модальным.
= 16 млн. руб.
Вывод: В данной совокупности наиболее часто встречаются страховые организации с доходом 16 млн. руб.
Найдём медиану:
;
где X
0 – нижняя граница медианного интервала,
h– ширина медианного интервала,
– сумма всех частот,
f
Ме– частота медианного интервала,
S
Mе-1– кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
= 11,429 млн. руб.
Вывод: В данной совокупности 50% страховых организаций имеют доход более 11,429 млн. руб., а 50% страховых организаций менее.
ВЫВОД: Анализ полученных значений показателей и σговорит о том, что средний доход организаций составляет 10,933 млн. руб., отклонение от среднего дохода в ту или иную сторону составляет в среднем 2,159 млн. руб. (или 19,7%), наиболее характерные значения доходов организаций находятся в пределах от 8,77 млн. руб. до 13,09 млн. руб. (диапазон ).
Значение V= 19,7% не превышает 33%, следовательно, вариация кредитных вложений в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=10,933 млн. руб., Мо=16 млн. руб., Ме =11,429млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение доходов страховых организаций (10,933 млн. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.
4. Вычисление средней арифметической по исходным данным
Для расчета применяется формула средней арифметической простой:
,
Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам и , заключается в том, что по формуле (ср. ариф. простой) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти банков, а по формуле (ср. ариф. взвешанной) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным.
Задание 2
По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения задания №1 необходимо выполнить следующее:
1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками денежные доходыи прибыли, используя метод аналитической группировки образовав, пять групп с равными интервалами по факторному признаку.
2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.
Выполнение задания №2
Целью выполнения данного заданияявляется выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.
Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.
По условию задания 2 факторным является признак Доходов (X), результативным –признак Прибыли (
Y).
1. Установление наличия и характера связи между признаками денежных доходов и прибыли методом аналитической группировки
При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя разработочную таблицу 2.3., строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – доходов и результативным признаком Y– прибыли.
Таблица 2.7.
Сводная итоговая аналитическая таблица
Группы
Группы организаций по доходам, млн. руб.
Число организаций
Прибыль,
млн. руб.
Доход,
млн. руб.
Всего по группам
На 1 организацию
Всего по группам
На 1 организацию
1
2
3
4
5
6
7
I
6,0-8,0
3
0,96
0,32
21
7
II
8,0-10,0
7
2,74
0,39
64
9,143
III
10,0-12,0
10
5,02
0,5
109,7
10,97
IV
12,0-14,0
8
4,88
0,61
105,2
13,15
V
14,0-16,0
2
1,45
0,725
31
15,5
Итого
30
15,05
330,9
Сред. Знач.
0,5
11,03
Вывод: сравнивая графы 5 и 7 аналитической таблицы, мы видим, что с увеличением прибыли страховых организаций растет их доход, отсюда следует, между этими показателями имеется прямая зависимость.
2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения
Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Вычислим коэффициент детерминации, который представляет собой отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.
Эмпирический коэффициент детерминации найдем по формуле:
, где
— межгрупповая дисперсия,
— общая дисперсия.
Расчет межгрупповой дисперсии представим в рабочей таблице 2.8.:
Таблица 2.8.
Рабочая таблица с расчетом межгрупповой дисперсии
Группы
Число организаций (f)
0,5
I
0,32
3
-0,18
0,097
II
0,39
7
-0,11
0,0847
III
0,5
10
IV
0,61
8
0,11
0,0968
V
0,725
2
0,25
0,125
Итого
30
0,4035
Межгрупповую дисперсию найдем по формуле:
Общую дисперсию рассчитаем по формуле:
, для вычисления необходимо найти среднее значение квадрата признака по формуле
Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Yфакторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле
,
где y– индивидуальные значения результативного признака;
– общая средняя значений результативного признака;
n– число единиц совокупности.
Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:
или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:
Для вычисления удобно использовать формулу, т.к. в табл. 2.7. (графы 3 и 6 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.
Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 2.9
Таблица 2.9.
Номер
организации
п/п
Прибыль, млн. руб.
1
2
3
4
5
1
0,41
-0,09
0,0081
0,1681
2
0,40
-0,1
0,01
0,16
3
0,45
-0,05
0,0025
0,2025
4
0,46
-0,04
0,0016
0,2116
5
0,42
-0,08
0,0064
0,1764
6
0,44
-0,06
0,0036
0,1936
7
0,25
-0,25
0,0625
0,0625
8
0,48
-0,02
0,0004
0,2304
9
0,75
0,25
0,0625
0,5625
10
0,53
0,03
0,0009
0,2809
11
0,54
0,04
0,0016
0,2916
12
0,56
0,06
0,0036
0,3136
13
0,55
0,05
0,0025
0,3025
14
0,38
-0,12
0,0144
0,1444
15
0,31
-0,19
0,0361
0,0961
16
0,40
-0,1
0,01
0,16
17
0,58
0,08
0,0064
0,3364
18
0,63
0,13
0,0169
0,3969
19
0,65
0,15
0,0225
0,4225
20
0,49
-0,01
0,0001
0,2401
21
0,50
0,25
22
0,50
0,25
23
0,34
-0,16
0,0256
0,1156
24
0,35
-0,15
0,0225
0,1225
25
0,58
0,08
0,0064
0,3364
26
0,52
0,02
0,0004
0,2704
27
0,60
0,1
0,01
0,36
28
0,64
0,14
0,0196
0,4096
29
0,70
0,2
0,04
0,49
30
0,64
0,14
0,0196
0,4096
Итого
15,05
0,4167
7,9667
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
Расчет общей дисперсиипо формуле :
Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле:
,
где –средняя из квадратов значений результативного признака,
–квадрат средней величины значений результативного признака.
Считаем коэффициент детерминации: или 87%
Вывод: 87% вариации прибыли страховых организаций обусловлено вариации доходов и на 13% вариации прочих факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле
Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 2.12.):
Таблица 2.10
Шкала Чэддока
h
0 – 0,3
0,3 – 0,5
0,5 – 0,7
0,7 – 1,0
Характеристика
силы связи
Отсутствует
Слабая
Умеренная
Сильная
Найдем эмпирическое корреляционное отношение по формуле:
Так как эмпирическое корреляционное отношение больше 0,7 можно сделать вывод, что связь между прибылью и доходом страховых организаций сильная.
3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации
Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие — либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.
Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F
— критерий Фишера, который рассчитывается по формуле
,
где n– число единиц выборочной совокупности,
m– количество групп,
– межгрупповая дисперсия,
– дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),
– средняя арифметическая групповых дисперсий.
Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:
,
где – общая дисперсия.
Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F
расч сравнивается с табличным F
табл
для принятого уровня значимости и параметров k
1,
k
2, зависящих от величин n
и
m: k
1
=
m
-1,
k
2
=
n
—
m
.Величина F
таблдля значений , k
1,
k
2определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k
1,
k
2
.Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).
Если F
расч
>
F
табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.
Если F
расч
F
табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.
Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k1=3,4,5; k2=24-35 представлен ниже :
Таблица 2.11 Фрагмент таблицы Фишера
k2
k1
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
3
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,91
2,90
2,89
2,88
2,87
4
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,68
2,67
2,66
2,65
2,64
5
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,55
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,48
продолжение
--PAGE_BREAK--