Вступ
Вбагатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожнаточка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того жсамого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогоюперетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис ікласифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а такожрозробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спроститиобчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням,коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії,що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більшпроста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма зновповертаються до числа. В операційному методі широко використовуєтьсяперетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.
1. Означенняперетворення Лапласа. Оригінал і зображення.
Нехай f [ t] -інтегрована на (0, Т) при довільному Т>0 функція, щодорівнює нулю при t>0: f[t]=0 приt0 задовольняє оцінці:
/> (1.1)
то можнарозглянути інтеграл
/>(1.2)
Дійсносправджується оцінка
/>(1.3)
При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що />. Функція /> є аналітичною функцією комплексної змінної /> в півплощині/>. Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:
/>(1.4)
Як і при виведенні (1.3),знаходимо
/>(1.5)
Останнєозначає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна />існує при />, і формула(1.4) справедлива при />.
Інтеграл(1.2) називається перетворенням Лапласа функції /> і позначається -/>. Вцьому випадку функція /> називається оригіналом, а функція /> – зображенням.
ПеретворенняЛапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:
/>
Де /> (ПеретворенняФур’є із знаком «-»)
2.Властивостіперетворення Лапласа L
Лінійність.
/>
Доведення:
В силу властивостейінтеграла:
/>
Диференціюваннязображення
/>
Для m=1 властивість вжевстановлено.Для довільного m властивістьдоводиться аналогічно.
ПеретворенняЛапласа похідних.
/>
Для m=1 за допомогою інтегруваннячастинами знаходимо
/>
При цьому миврахували, що виконуються наступні оцінки:
/>
При />/> и />. Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією
Зсув перетворенняЛапласа.
/>
Доведеннявластивості 2.4очевидно.
ПеретворенняЛапласа і його подібності.
/>
/>
Зсув оригінала вперетворенні Лапласа.
/>
Доведення. Позначимо
/>
Очевидно, що g’[t]=f[t], g[+0]=0
Тому за допомогоюінтегрування частинами знаходимо
/>
При цьому миврахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)
/>
при />, />, />.
/>
при />, />, />.
Звідси знаходимо
/>
ПеретворенняЛапласа дробу f[t]/t.
/>
Доведення.Позначив Ф[p]=£[f[t]\t][p] . Знайдемо
/>
Останню рівністьпро інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞
/>
Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібнувластивість (2.8).
ПеретворенняЛапласа згортки f*g.
/>
Доведення.Позначимо
/>
Очевидно, що /> при t→∞
/>
При довільному έ>0. Для доведення останньоїнерівності ми використовуємо також оцінку.
/>
Звідси при />
/>
Таким чином, при Rep>a
/>
Тут мискористалися теоремою Фуббіні і змінили порядокінтегрування.
3.Обчислення перетворення Лапласа основних функцій
1. f[t]=e/>. Rep>Reλ, λ/>
/>/>
2. f[t]=Sin[ωt], ω/>R
За формуламиЕйлера маємо
Sin[ωt]=/>
Тому за допомогою1 маємо:
/>
3. f[t]=cos[ωt], ω/>L[cos[ωt]][p]=/>
Доведенняаналогічне.
4. f[t]=Sh[ωt], ω/>R
За означеннямгіперболічних функцій Sh[ωt]= />/2
/>
5. />
/>
Доведенняаналогічне.
6. />
За властивістю2.2 маємо:
/>
Зокрема
/>
7. />
/>
Як і у прикладі6, знаходимо для функції />
/>
Застосуємо далідля лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини,вважаючи р дійсним і додатнім.
/>(3.1)
/> (3.2)
4. Обернене перетворення Лапласа
Теорема 4.1 (основна) Нехайфункція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільнійточці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджуєтьсяформула подання:
/>(4.1)
Доведення
Розглянемо функцію/>. Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.
/>
Після множенняостанньої рівності на />отримаємо 4.1. 4.1 називаєтьсяформулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теоремудоведено. ■
Теорема маєнедолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивостівихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюєтьсяформула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].
Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:
1) Прибудь-якому /> існуєінтеграл:
/>
2) Для
/>
- дуги коларадіуса R з центром в точці (/>,0)
/>, при />
Тоді, /> - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 (/>)
Доведення
Розглянемопрямокутний контур /> (мал..4.1)
За теоремою Кошиінтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границів J1[σ1, σ2, р]прир→∞. Легкопереконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямуютьдо 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границівиявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить відвибору />.
Доведемо, щопобудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсноє оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, щодля інтеграла (4.1) справедлива оцінка
/>
Звідси випливає,що інтеграл (4.1) рівномірно по /> збігається.
Доведемо, що f[t]=0, при tпо замкненому контуру /> в півплощині />, щоскладається з дуги кола /> радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). Затеоремою Коши :
/>
В силу лемиЖордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t, дорівнює нулю при tp=q(/>) співпадає з F[q]. Задопомогою формули Коши знаходимо при />
/>■
При виведенні ми врахували що інтеграл попрямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром />, так як
/> при R→∞
Лема Жордана. Нехай t>0 і /> - півколо радіуса R в півплощині />. Якщо функція /> задовольняє умовам:
/> функція /> неперервна при /> , />,/>
/> />
Тоді /> при R→∞
Доведення
Зробимо замінузмінної інтегрування
z=R/>/>.
Тоді справедливаоцінка інтеграла
/>
Як відомо, при /> />. Продовжимо оцінку інтеграла
/>
При R→∞. Лему доведено■
Задача Знайти перетворення Лапласафункції />
/> (5.1)
Введенагамма-функція
/>
Розглянемоспочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо
/>
Нехай далі /> і /> . Для визначеності будемо вважати />, />(випадок /> розглядається аналогічно). Покладемо />. Легко перевіряється що ps=t – додатне число.
Далі маємо:
/>(5.2)
де /> — відрізок променя />. Побудуємо замкнений контур /> (мал. 5.1). За теоремою Коши:
/>
Оцінимо інтегралпо дузі /> і кола радіуса R
/>
/>
при R→∞.
Перейдемо дограниці при R→∞, />→0 в рівності (5.3), отримуємо
/>
/>
Звідси і із 5.2встановлюємо (5.1).
5. Приклади розв’язання базових задач
Зауваження.Функцією-оригіналомназивається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняєумовам:
1°.f(t) інтегрована на будь-якому скінченомуінтервалівісі t(локальноінтегрована).
2°.Дляусіх від’ємних t
/>
3°. f(t) зростає нешвидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі /> і />, що для усіх t
Задача1.Показатищо функція є функцією-оригіналом.
/>
/>
/>
/>
Розв’язання
Дійсно,функція f(t)локально інтегрована
/>
існує длябудь-яких скінчених /> і />. Умова 2°виконана в силу завдання функції.
Іврешті решт, для будь-яких дійсних />
/>,
Тобто в якості Мв умові 3° можна вибрати довільне число >1 />
Задача2.Користуючисьозначенням, знайти означення функції
/>
Розв’язання
Для функції /> маємо />. Тому зображення />буде в усякому разівизначене і аналітичне на півплощині />. Маємо:
/>
Тобто, />. Ця функція аналітична при />, і крім того вона аналітичнавсюди, за виключенням точки />. Це не суперечить означенню, такяк останнє гарантує аналітичність /> при />, але не стверджує, що якщо />, тоді функціябуде всюди аналітична.
Задача3.Знайтизображення функції />
Розв’язання
Маємо />. За теоремою про інтегруванняоригінала
/>
Задача4./> /> />
Розв’язання
/> />
/>
/>
Знаходимооригінал для функції />
/>
Для знаходженняоригіналу для функції /> скористаємось, наприклад. Теоремоюпро диференціювання зображення.
/>
Отже, />
Тобто, />
Висновок
Застосуванняметодів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування врозв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки,радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що вонодозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальнихрівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типузгортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означеннярозв’язання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійнимикоефіцієнтами задовільнє алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже можебути легко знайдено.
Списоклітератури
1. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров-М.: Наука, 1988.-512 с.
2. Свешников А.Г.Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. — М.:Наука, 1970. – 304с.
3. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексногопеременного / Ю.В.Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. – М.: Наука, 1982.-488с