Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Институт бизнеса и делового администрирования
Кафедра: ММЛ
Курсовая работа
по дисциплине:
«Математические методы в теории принятия решений»
Выполнил:
студент 4 курса З/О
47 А группы
Кулахметов Д.А.
Проверил:
Розен В.В.
Саратов 2006
Содержание
Введение
Принятие решения по многим критериям (многокритериальнаяоптимизация)
Учет неопределенных пассивныхусловий
Заключение
Список используемой литературы
Введение
В настоящее время мы все чаще начинаем задавать себе вопрос:«Как применить математические методы расчета в бизнесе,предпринимательстве, производстве, да и просто в жизни»? Как добиться«теоретической подкованности» в решении многих возникающих перед намизадач? Как рассчитать процент мешающей делу конкуренции и вычислить долю успехав наших, суперначинаниях, когда, порой на карте стоит благополучие всей семьи? Какснизить вероятные промахи до минимума? Оказывается, на самом деле, сделать этодовольно просто.
Цель этой курсовой работы будет не только заключаться втеоретическом доказательстве, но и будут сделаны реальные практические расчетыи вычисления, применяемые нами в предпринимательском деле. В большинстве теоретическихзадачах речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащихнеопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задачсодержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, чторешение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, апринятие решений без их учета — частным. Однако, из-за концептуальных иметодических трудностей в настоящее время не существует единогометодологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накопленодостаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений сучетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду,что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решениявсегда остается за человеком (ЛПР). Мы рассмотрим действие теорииматематических решений, целесообразность применения критериев Вальда, Лапласа,Гурвица, Сэвиджа, для каждого случая, научимся действовать практически разумно,найдем их плюсы и минусы, а также будет доказана суть всей работы иэффективность применения их в различных ситуациях. Для нас этот вопрос является«Архиважным», потому что стремительно развивающий российский рынок непрощает ошибок и мы обязаны доказать главную суть применения математики напрактике.
Принятие решения по многим критериям (многокритериальнаяоптимизация)
В экономических задачах основными критериями служатэкономическая эффективность и стоимость при этом каждый из этих критериев можетбыть подразделен на более частные критерии.
Если исходы оцениваются по mкритериям, где m > 1, то такая задача принятиярешения называется многокритериальной.
Основная сложность логического анализа многокритериальныхзадач: эффект несравнимости исходов.
Несравнимость исходов является формой неопределенности,которая связана со стремлением принимающего решения «достичьпротиворечивых целей».
Математическая модель ЗПР при многих критериях может бытьпредставлена в виде (D; f1,…,f m), где D — некоторое множество допустимыхисходов, f1 — числовая функция, заданная на множестве D, при этом f1 (a)- оценка исхода a по j — му критерию.
Критерий f j называется позитивным, еслипринимающий решение стремится к его увеличению, и негативным, если он стремитсяк его уменьшению.
В многокритериальной ЗПР с позитивными критериями цельпринимающего решение: получение исхода, имеющего как можно более высокие оценкипо каждому критерию.
Для всякого исхода a є D набор его оценок по всем критериям, т.е. (f1(a),…,fm (a))есть векторная оценка исхода a. Векторная оценка исходасодержит полную информацию о ценности этого исхода для принимающего решение исравнение любых исходов заменяется сравнением их векторных оценок.
Основное отношение, по которому производится сравнениевекторных оценок — это отношение доминирования по Парето.
Определение: говорят, что векторная оценка y= (y1,…,ym) доминирует поПарето векторную оценку y´= (y1´,…,ym´), если каждого j =1,…,m выполняется неравенство y ≥ y´, причем, по крайнеймере, для одного индекса неравенство должно быть строгим.
Определение: векторная оценка y* называетсяПарето-оптимальной в некотором множестве векторных оценок, если она являетсямаксимальным элементом этого множества относительно Парето-доминирования (т.е. еслив этом множестве не существует такой векторной оценки, которая доминирует поПарето векторную оценку y*).
Перенесём теперь эти понятия на исходы.
Определение: говорят, что исход a1доминирует по Парето исход a2, если векторная оценкаисхода a1 доминирует векторную оценку исхода a2.
Определение: исход a*є D называется Парето-оптимальным исходом в множестве D, если он не доминирует по Парето никаким другим исходом ихмножества D (т.е. если векторная оценка исхода a* является Парето-оптимальной в множестве векторных оценок).
Парето-оптимальность исхода a* означает,что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения покакому-нибудь другому критерию.
Перейдем к проблеме оптимальности для многокритериальных ЗПР.Сформулировать единый принцип для класса таких задач не представляетсявозможным, так как понятие векторного оптимума не определено. Укажем вначаленеобходимое условие оптимальности: если исход a*є D не является Парето-оптимальным. Онне может «претендовать на роль» оптимального исхода. Однако втипичных случаях Парето-оптимальных исходов может быть несколько.
Общая методика исследования ЗПР на основе математическогомоделирования может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.
Первый подход. Для заданной многокритериальной ЗПР находитсямножество Парето — оптимальных исходов. А выбор конкретного оптимального исходаиз этого множества предоставляется принимающему решение.
Второй подход. Производится сужение множестваПарето-оптимальных исходов с помощью формальных процедур, что облегчаетокончательный выбор исхода для принимающего решения.
Рассмотрим некоторые простейщие способы суженияПарето-оптимального множества.
Указание нижних границ критериев.
Дополнительная информация об оптимальном исходе a*є D в этомслучае имеет следующий вид fj (a*)≥yj j=1,…,m
При указании нижних границ критериев оптимальным можетсчитаться только такой Парето-оптимальный исход, для которого оценка по каждомуиз критериев j =1,…,m не ниже назначенной оценки fj. Такимобразом, происходит сужение Парето-оптимального множества за счет условия. Окончательныйвыбор Парето-оптимального исхода производится из суженного Парето-оптимальногомножества принимающего решение.
Основной недостаток состоит в том, что оптимальное решениестановится субъективным, так как зависит от величины назначенных границкритериев и от окончательного выбора, совершаемого принимающим решение.
Субоптимизацию производят следующим способом: выделяют одиниз критериев, а по всем остальным критериям назначают нижние границы. Оптимальнымпри этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множествеисходов, оценки которых по остальным критериям не ниже назначенных.
Всякие задачи принятия решения является:
Альтернативы (варианты, планы, допустимые альтернативы)
Исходы (Результаты)
Оптимальные решения (Наилучшие решения)
Математическая модель ЗПР включает в себя формальноеописание этих компонентов.
X — множество допустимых альтернатив
A — множество возможных исходов
В математической модели ЗПР: а) реализационная структура
б) целевая структура.
Реализационная структура устанавливает связь междуальтернативами и исходами. Следует иметь в виду, что в общем случае выбор тойили иной альтернативы не определяет получающий исход: он зависит также отдругих факторов. Чаще всего связь между альтернативой и исходом устанавливаетсяс помощью среды и введением дополнительной компоненты Y — множество всех состояниях среды. Среда это то, что привыбранной альтернативе определяет однозначно результат.
Определение: Функция реализация это отображение каждой парывида (x,y) єX,Y.
где x альтернатива (xєX)
y состояние среды (yєY)
отображение каждого вида ставит в соответствии её исход.
(x,y) →a
По характеру организационной структуры все задачи делятся натри вида:
1. Принятие решений в условиях определенностихарактеризуется тем, что принимающий решение знает состояние среды.
2. Принятие решений в условиях неопределенностихарактеризуется тем, что принимающий решение не знает состояние среды, но знаетмножество всех сред.
3. Принятие решений несет информацию о вероятных появленийтех или иных состояний среды, тогда говорят что принятие решений происходит вусловиях риска.
Компонента ЗПР.
Целевая структура ЗПР дает оценку исходов с точки зренияпринимающего решения. Эта оценка представляет функция: φ: A→ΙR каждому исходуставится число в соответствии оценки с точки зрения принимающего решения. Вэкономике в качестве оценки выступает прибыль, доход, но не всегда. Времявыполнение какого-нибудь проекта, доля рынка завоевание фирмой.
Компонента φ ·F есть функция которая каждой паре вида (x,y) ставит в соответствии число-оценку исхода F (x,y).
Компонента действует последовательно!
φ ·F (x,y) = φ (F (x,y)) — есть число, которое является оценкой ситуации (x,y).
Принятие решений в условиях определенности.
При принятие решений в условиях определенности состояниесреды известно, поэтому мы его исключаем из вопроса. Оценочная функция задаетсясразу на множестве их допустимых альтернатив и представляет собой числовоезначение: f׃ x→R
f (x) Оценка альтернативы x (с точки зрения принимающего решение)
оценка альтернативы есть некоторый критерий, который можетбыть позитивным и негативным.
Позитивный критерий такой, каким мы хотим увеличить, анегативный наоборот, уменьшить. Принцип оптимальности алтернативы называетсяоптимальной если она максимизирует позитивный критерий (или миминизируетнегативный).
x*єx ↔f (x*)=maxf (x) позитивный критерий
xєX
f (x*) =minf (x) негативный критерий
xєX
Учет неопределенных пассивных условий
Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен,являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именнона этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторскихрешений. Методический учет таких факторов базируется на формированииспециальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда,Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.
/>
В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальнойвыбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем «нижняя ценаигры с природой»:
Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальдаможно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wir] дополняетсяеще одним столбцом из наименьших результатов Wir каждой строки. Выбратьнадлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение Wirэтого столбца.
Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Этоозначает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом,чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Vj невстретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойствозаставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому втехнических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так инеосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерияможет оказаться очень невыгодным.
Применение этого критерия может быть оправдано, еслиситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующимиобстоятельствами:
о вероятности появления состояния Vj ничего неизвестно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
не допускается никакой риск.
Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда,учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:
/>
Соответствующее правило выбора можно интерпретироватьследующим образом: матрица решений [Wij] дополняется еще однимстолбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираетсятот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этогостолбца.
Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которойпринимается решение, следующие требования:
вероятность появления состояния Vj известна и независит от времени;
принятое решение теоретически допускает бесконечно большоеколичество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальнойвыбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшеезначение в самой неблагополучной ситуации:
/>
Здесь величину W можно трактовать как максимальныйдополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vjвместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнегосостояния, вариант.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждыйэлемент матрицы решений [Wij] вычитается из наибольшего результатаmax Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков.Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей Wir. Выбираетсятот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.
Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия,которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом иоптимизмом:
/>,
где r — коэффициентпессимизма, выбираемый в интервале [0,1].
Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрицарешений [Wij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенныенаименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тотвариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wir этогостолбца.
При r = 1 критерийГурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при r = 0 — в критерий азартного игрока. Отсюдаясно, какое значение имеет весовой множитель r.В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так жетрудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r = 0.5 принимается в качестве средней точкизрения.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которойпринимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vj ничего неизвестно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критерияхВальда и Байеса-Лапласа:
/>
Правило выбора, соответствующее этому критерию,формулируется следующим образом: матрица решений [Wij] дополняетсястолбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математическогоожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариантрешения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.
При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, апри z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра zподвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и числореализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии техническихрешений.
Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которойпринимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vj ничего неизвестно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
принятое решение теоретически допускает бесконечно большоеколичество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия датьзатруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях недопустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; еслиопределенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можнорекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этогосреди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных,приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение.
Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во всевнутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние
субъективного фактора. Кроме того, в области техническихзадач различные критерии часто приводят к одному результату.
Критерий наиболее вероятного исхода.
Этот критерий предполагает замену случайной ситуациидетерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственнымзначением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данногокритерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается наопыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющиеприменение этого критерия:
критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятностьсобытия недопустимо мала;
применение критерия невозможно, если несколько значенийвероятностей возможного исхода равны между собой.
Задание 1
Найти оптимальный вариант электростанции по критериямЛапласа, Вальда, Гурвица с показателями 0,8 и 0,3 и Сэвиджа по заданной таблицеэффективностей:
Среда
Варианты
В1
В2
В3
В4
А1 10 8 4 11
А2 9 9 5 10
А3 8 10 3 14
А4 7 7 8 12
Таблица эффективностей
Решение:
В1
В2
В3
В4 Критерий Вальда Крит. Лапласа Критерий Гурвица
А1 10 8 4 11 4 8,25 5,4 8,9
А2 9 9 5 10
/>5 8,25 6 8,5
А3 8 10 3 14 3 8,75 5,2 10,7
А4 7 7 8 12 7 8,5 8 10,5 10 10 8 14
Критерий Лапласа:
L (1) =1/4*33=8,25
L (2) =1/4*33=8,25
L (3) =1/4*35=8,75
L (4) =1/4*34=8,5
Вывод: по критерию Лапласа оптимальным решением являет выбор3 типа электростанции.
Критерий Вальда: по критерию Вальда оптимальным решениемявляется выбор 4 типа электростанции.
Критерий Гурвица:
Н (1) =0,8*4+ (1-0,8) *11=5,4
Н (2) =0,8*5+ (1-0,8) *10=6
Н (3) =0,8*3+ (1-0,8) *14=5,2
Н (4) =0,8*7+ (1-0,8) *12=8
Н (1) =0,3*4+ (1-0,3) *11=8,9
Н (2) =0,3*5+ (1-0,3) *10=8,5
Н (3) =0,3*3+ (1-0,3) *14=10,7
Н (4) =0,3*7+ (1-0,3) *12=10,5
Вывод: по критерию Гурвица оптимальным решением являетсявыбор 3 и 4 типа электростанции.
Критерий Сэвиджа:
В1
В2
В3
В4 Критерий Сэвиджа
А1 2 4 3 4
А2 1 1 3 4 4
А3 2 5
/>0 5
А4 3 3 2 3
Вывод: по критерию Сэвиджа оптимальным решением являетсявыбор 4 типа электростанции.
Ответ: оптимальное решение — выбор 4 электростанции.
Задание 2
Найтиоптимальное решение задачи о бурении нефтяной скважины по критериюматематического ожидания с учетом результата эксперимента:Состояние скважины Тип грунта Открытый Замкнутый С 50 2 М 8 10 Б 12 28
Таблица результатов сейсморазведок/> С М Б Х -50 30 250 Х
Таблица прибылей
Решение:
Х1 — бурить; Х2 — не бурить.
Р (С) =0,52; Р (М) =0,18; Р (Б) =0,4Состояние скважины Тип грунта Всего Открытый Замкнутый С 50 2 52 М 8 10 18 Б 12 28 40 Всего 70 40 110
/>
Построенное дерево определяет игру руководителей группы сприродой. Найдем вероятность каждого хода.
Р (А) =Р (А∩В)
Р0(С) =Р (С∩О) /Р (О) =0,5/0,7=0,71
Р0(М) =Р (М∩О) /Р (О) =0,08/0,7=0,11
Р0(Б) =Р (Б∩О) /Р (О) =0,12/0,7=0,17
Р3 (С) =Р (С∩З) /Р (З) =0,02/0,4=0,05
Р3 (М) =Р (М∩З) /Р (З) =0,1/0,4=0,25
Р3 (Б) =Р (Б∩З) /Р (З) =0,28/0,4=0,7
а=а1*р1+а2*р2+а3*р3
b=max{b1,b2,b3}
а=-50*0,52+30*0,18+250*0,4=-26+5,4+100=79,4
а=-50*0,71+30*0,11+250*0,17=-35,5+3,3+42,5=20,3
а=-50*0,05+30*0,25+250*0,7=-2,5+7,5+175=180
Задание 3.
При выборе квартиры в качестве существенных признаков взяты:Р1 — метраж (м2), Р2 — время поездки на работу(мин), Р3 — время поездки в зону отдыха (мин).
а) найти варианты, оптимальные по Парето;
б) найти единственный оптимальный вариант методомсубоптимизации, назначив верхние границы по критериям Р1 и Р2.
Критерии
Варианты
Р1
Р2
Р3 1 45 30 20 2 60 40 30 3 42 20 10 4 45 30 15 5 48 45 25
Таблица критериев
Решение:
Р1
Р2
Р3 1 45 30 20 2 60 40 30 3 42 20 10 4 45 30 15 5 48 45 25
а) варианты, оптимальные по Парето: 1>4
б) р1 — не менее 45
р2 — не более 30
Вывод: оптимальным вариантом при выборе квартиры является 4вариант.
Ответ: вариант 4
Заключение
Применение математических методов в бизнесе и конкурентнойборьбе за выживание (процветание) производства стало неотъемлемой частьюроссийской экономике и с каждым годом становится все прогрессивнее. Мы доказалипрактической частью работы, что это возможно, этим надо пользоваться инаучиться внедрять теории Лапласа и других в управление и способы исследованиярынка сбыта и производства. Времена «простой коммерции» давнозабылись и мы, будучи людьми образованными, обязаны применять свои знания иглавные постулаты на практике. Математические методы применимы не только вэкономике, конечно, ими удобно пользоваться и обыденных ситуациях, например вогородничестве (при выращивании какой-либо культуры). Уменье рассуждать, делатьправильные выводы, обосновывать свои суждения, то есть умение мыслить логическиявляется неотъемлемым качеством интеллигентного человека. Кромеинтеллигентности мы затрагиваем тот факт, когда присутствует возможностьэкономии денежных ресурсов и материальных. Ведь применив математические теориии сделав правильные расчеты, мы не будем гнать технику за тысячу километров изакупать необходимые комплектующие, зная, что выводы показали, что кампанияубыточна! Это накладывает на нас ответственность перед подчиненными, за будущиеошибки, да и просто это интересно. Интересно знать то, чего не знают другие. Мудростьи знания делают из нас, настоящих людей. Человек с большой буквы, думает нетолько о себе и учится не на своих ошибках. И потом, предвидеть ситуацию дартолько избранных, а мы учимся это делать без всякого дара природы. Надо лишь применятьлогику и мышление и у нас всё получиться.
Список используемой литературы
1. Розен В.В. «Теория игр и экономическое моделирование» 1996 год
2. Розен В.В. «Математические модели принятия решений в экономике»
3. Е.С. Венцель «Исследование операций» Москва Сов. родно 1972год
4. Браверманн Э.М. «Математические модели планирования правления вэкономических системах» Москва «Наука» 1976 год
5. Гейл Д. «Теория линейных экономических моделей» Москва ИЛ1963год
6. Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: Теория иприменение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 1999.200 с.
7. Моисеев Н.Н., Математические методы системного анализа М. Наука 1981 487с.
8. Е.С. Вентцель Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М. Наука1988 206 с.