--PAGE_BREAK--
Пример 2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = 2А + В.
.
Заметим, что наши матрицы – квадратные (число строк равно числу столбцов, это общее число 3 и есть порядок наших матриц). Матрицы А и В – треугольные, у матрицы А под главной диагональю все элементы нулевые. Это свойство матриц исчезнет при их сложении. Чтобы получить матрицу 2А, следует все элементы А умножить на 2.
.
Пример 3. Найти произведение матриц АВ = С, где
.
Для умножения двух матриц их порядки должны быть «согласованы», а именно, число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу строк второго множителя В. В нашем случае обе матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок 2. Значит, умножение АВ определено.
Произведение С=АВ будет квадратной матрицей того же порядка. Обозначим ее элементы сik, i = 1,2; k = 1,2.
Чтобы получить с11 следует в матрице А выделить первую строку, а в матрице В выделить первый столбец и вычислить их скалярное произведение с11 = 2.0+0.0=0. Теперь вычислим с12, для этого выделим в А снова первую строку, а в В – второй столбец, перемножим их соответствующие элементы и сложим.
Далее, , элемент с22 получается при умножении второй строки А и второго столбца В.
с22 = 2.2+(-1).(-1) = 5.
Запишем теперь матрицу .
Пример 4. Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны.
.
Выпишем формулы для вычисления элементов i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д:
d11 = a11b11 + b12a21, d12 = b11a12 + b12a22,
d21 = b21a11 + b22a21, d22 = b21a12 + b22a22.
Подставим в эти формулы числовые значения
d11 = 4, d12 = -2, d22 = 1, и матрица D=ВА имеет вид
Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.
Пример 5. Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец .
.
Умножение возможно, т.к. вектор можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А будет иметь порядок 4.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с11, с21, с31, с41.
с11 = 1.4-1.2+0 = 2; с21 = 0.4+2.2-4.1 = 0;
с31 = 4+2 = 6; с41 = -4+4 = 0.
.
Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.
Примеры решения задач на вычисление определителей.
Теория изложена в главе 2 §1.
Пример 1. Вычислить определитель .
Вычислим по правилу Саррюса
D = 1(-1). (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.
Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.
Найдем алгебраические дополнения.
D = 1. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.
Пример 3. Вычислить определитель 4го порядка.
.
Найдем алгебраические дополнения А12, А13
D = 0.
Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.
Теория изложена в главе 3.
Пример 1. Найти обратную к матрице
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы
А11 = +(-4)=-4 А21 = -(-2)=2
А12 = -3 А22 = +1
Найдем определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2
Проверка
.
Пример 2. Найти обратную к матрице
D(А) = -2
Проверка
.
Перечень умений.
№
п/п
Умение
Алгоритмы
1
Линейные операции над матрицами. Вычисление С=aА+bВ, где a,b — числа, А, В – заданные матрицы.
1. Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», то перейти к п.2, в противном случае вычислит С нельзя.
2. Умножить все элементы матрицы А на число a
aА = (aаij)m,n
3. Умножить все элементы матрицы В на число b
bВ = (bbij)m,n
4. Вычислить элементы матрицы С по формулам:
сij= aаij+ bbij, i = 1,2,…m, j = 1,2…n
2
Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы А на В.
С = АВ
1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы А = (аij)m,nс числом строк матрицы
В = (bij)n,k(«согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить А на В. В противном случае вычислить С нельзя.
2. Определить порядок матрицы произведения6
С = (сij)m,kимеет порядок mxk, где m – число строк первого множителя А, k – число столбцов второго множителя В.
3. Вычислить каждый элемент матрицы произведения С по формулам:
сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnj
i = 1,2,…m, j = 1,2…n.
4. Выписать полученную матрицу С.
3
Вычисление определителей 3го порядка по правилу Саррюса
1. По схеме Саррюса составить произведение трех элементов определителя, взяв по одному из строки и столбца.
2. Вычислить определитель, подсчитав сумму полученных произведений, взяв эти произведения с соответствующим знаком.
4
Вычисление определителей разложением по первой строке
1. Найти миноры Mij элементов первой строки вычеркивая последовательно элементы первой строки и j-ый столбец (j = 1,2 …,n), составляя из оставшихся элементов определители.
2. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки
А1j= (-1)1 + jMij
3. Вычислить определитель
4. D = а11А11 + а12А12 +…+ а1nА1n
5
Вычисление обратной матрицы
1. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы Аij= (-1)i + jMij
2. Вычислить определитель матрицы D(А)
3. Найти обратную матрицу
Тренинг умений.
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.
Задание
Вычислить матрицу С = 5А – В, где
.
Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№
Алгоритм
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1
Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», перейти к п.2, в противном случае вычислить С = 5А – В нельзя
Обе матрицы имеют порядок 2.3 (на первом месте число строк, на втором – число столбцов).
Матрицы одного порядка, переходим к п.2.
2
Умножить все элементы А на число 5
3
Умножить все элементы В на (-1)
4
Вычислить элементы матрицы С:
сij= 5аij– вij
Решите самостоятельно следующие задачи:
Задача 1.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.
.
Задача 2.
Даны матрицы А и В. Найти С = 3А – 2В.
.
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2.
Задание
Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = АВ, если возможно.
.
Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№
Алгоритм
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1
Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы А с числом строк В («согласованы» ли их порядки).
В противном случае умножение А на В невозможно.
Матрица А имеет порядок 2.3, число ее столбцов равно 3, матрица В имеет порядок 3.3, число столбцов у нее 3, порядки «согласованы», существует произведение А на В
С = АВ
2
Определить порядок матрицы произведения: С имеет порядок mxk, где m – число строк А, n – число столбцов В.
Порядок матрицы С будет 2.3, т.к. матрица А имеет 2 строки, а матрица В имеет 3 столбца
С = (сij)23
3
Вычислить каждый элемент матрицы С по формулам:
сij = аi1b1j + аi2b2j+ … + аinbnj
i = 1,2,…m, j = 1,2…n.
Вычисляем элементы первой строки
С: i = 1, j = 1,2,3
с11 = а11b11 + а12b21 + а13b31=
=(1.1)+2(-1)+(-1).1=-2
с12 = а11b12 + а12b22 + а13b32=
=1.2+2. (-3)+(-1).4=-8
с13=а11b13 + а12b23 + а13b33=
=1.0+2.0+(-1).1=-1
Вычисляем элементы второй строки:
i = 2, j = 1,2,3
с21=а21b11 + а22b21 + а23b31=
=3.1+1. (-1)+0.1=2
с22=а21b12 + а22b22 + а13b32=
=3.2+1. (-3)+0.4=3
с23=а21b13 + а22b23 + а23b33=
=3.0+1.0+0.1=0
4
Выпишем полученную матрицу-произведение
Решите самостоятельно следующие задачи.
Задача 1.
Найти произведение матриц АВ и ВА, если они существуют.
Сравните матрицы-произведения.
а)
б)
с) .
Задача 2.
Вычислить произведения АВ и ВА.
.
Совпадают ли матрицы произведения АВ и ВА?
Задача 3.
Вычислить А3, где матрица задана:
Указания: найти сначала произведение АА = А2, затем нужно умножить А2
на А,
А3 = А2.А.
Задача 4. Найти произведение АВ и сравнить с матрицей ВА.
.
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3.
Задание
Вычислить определитель
.
Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№
Алгоритм
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1
Перемножить элементы определителя главной диагонали и параллельно главной диагонали построить треугольники, взяв элементы по одному из строки и столбца, сложить их.
Соответствует формуле Саррюса (треугольника)
2.2. (-5)-1.0(-2)+3.3.4=
=-20+48=28
2
Перемножить элементы побочной диагонали и параллельно побочной построив треугольники, затем сложить их, поменяв знак каждого произведения.
-(-2.2.4+3. (-1)(-5)+3.0.2)=
=-(16+15)=1
3
Вычислить определитель, сложив полученные результаты
D=28+1=29
Определитель равен 29.
Решите самостоятельно.
Задача 1. Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника)
.
Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4.
Задание
Вычислить определитель
.
Решение.
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№
Алгоритм
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1
Вычислить алгебраические дополнения элементов первой строки
Вычеркиваем последовательно элементы первой строки, получаем соответствующие миноры, умножаем на (-1)1+k
2
Вычислить определитель по формуле
D = а11А11 + а12А12 + а13А13
D = 5.6+4. (-7)-1.2=
=30-28-2 = 0
D = 0
продолжение
--PAGE_BREAK--