МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕСРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 106Вписанные и описанные окружности
Реферат составил:
учащийся 9акласса
Онещюк Игорь
Учитель:
Голенко Наталья
Сергеевна
— 2003 -
Содержание.
лист
1.Основныетеоремы об описанной и вписанной окружности……….
2.Правильные многоугольники………………………………………..
2.1. Теорема об окружности,описанной около правильного многоугольника.
2.2. Теорема об окружности, вписанной вправильный многоугольник………
2.3. многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойокружности………………………………………
2.4. Решениезадач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности…………………………………………………………………………
2.5. Площади правильныхмногоугольников…………………………………...
3. Построение правильных многоугольников…………………………
3.1. Способы построения правильныхмногоугольников………………………
3.2. Насколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля илинейки?………………………………………………………………...
4. Изистории….…………………………………………………………
4.1. 0вписанных углах. Гиппократ Хиосский…………………………………..
4.2. 0правильных многоугольник……………………………………………….
5.Софизмы……………………………………………………………….
6. Решение задач………………………………………………………...
ЛИТЕРАТУРА
1.Геометрия. Учебник для 7 –9 кл. ср.школы. / Л.С. Атанасян и др., М.: Просвещение, 1990.
2. М.В. Ткачева «Домашняя математика », М.: Просвещение, 1994.
3. Г.И. Глейзер «История математики в школе, 7 – 8классы»,
М.: Просвещение, 1982.
4.А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. «Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы»,
М.: Дрофа, 1995.
5.И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. «Наглядная геометрия»,
М.: МИРОС, КПЦ «Марта», 1992.
6.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы.
Под ред. М.И. Сканави. Учебное пособие,1994.
1. Основные теоремы обописанной и вписанной окружности.
Окружностьназывается описанной около многоугольника, если всевершины
многоугольникалежат на этой окружности, а многоугольник
называется вписаннымв эту окружность.
Окружность называетсявписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется
описаннымоколо этой окружности.
ТЕОРЕМА: В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство.
Рассмотрим произвольныйтреугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведемиз точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМсоответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторонтреугольника АВС, то ОК = ОL= ОМ. Поэтому окружность сцентром О радиуса ОК проходит через точки К, Lи М. Стороны треугольникаАВС касаются этой окружности в точках К, Lи М, так как ониперпендикулярны к радиусам ОК, ОLи ОМ. Значит, окружность сцентром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.
Замечание. 1)Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогдацентр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадаетс точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию отточки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
2) В отличие от треугольника нево всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например,прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, неявляющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить”окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить” окружность так, чтобы она касалась всех четырехего сторон, т. е. нельзя вписать окружность.
Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороныобладают следующим замечательным свойством:
В любомописанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
AB+ CD= BC+ AD.
ТЕОРЕМА:Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС.Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонами проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершинтреугольника ABC, то OA= OB= OC. Следовательно, окружностьс центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит,является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.
Замечание. 1) Отметим,что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле,допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центркаждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой Опересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равенрасстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружностисовпадают.
2) В отличие оттреугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом.
Если же околочетырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующимзамечательным свойством:
В любом вписанномчетырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
ÐA+ ÐC= ÐB+ ÐD
Верно обратное утверждение: Еслисумма противоположных углов четырехугольника
равна 1800, то около него можно описатьокружность.
2.Правильные многоугольники.
Выпуклыймногоугольник называется правильным многоугольником, если равнывсе его углы и все его стороны.
2.1. Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника.
ТЕОРЕМА:Около любого правильногомногоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Доказательство.
Пусть А1А2А3…Аn–правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов А1 и А2.
Соединим точку О отрезками состальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1=ОА2=…=ОАn.Так как ÐА1=ÐА2, то Ð1=Ð3, поэтому треугольник А1А2Оравнобедренный, и, следовательно, ОА1=ОА2. Треугольники А1А2О и А3А2О равны по двум сторонам и углумежду ними (А1А2=А3А2, А2О– общая сторона и Ð3=Ð4), ÞОА3=ОА1.
Аналогично можно доказать,что ОА4=ОА2, ОА5=ОА3 и т.д.
Итак, ОА1=ОА2=…=ОАn,т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность сцентром О и радиусом ОА1является описанной около многоугольника.
Докажемтеперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь тривершины многоугольника, например А1, А2, А3.Так как через эти точки проходит только одна окружность, то околомногоугольника А1А2…Аnможно описать только однуокружность. Теорема доказана.
2.2. Теорема об окружности, вписанной в правильныймногоугольник.
ТЕОРЕМА: В любой правильный многоугольник можно вписатьокружность, и притом только одну.
Доказательство.
Пусть А1А2…Аn– правильный многоугольник, О – центр описанной окружности. В ходедоказательства предыдущей теоремы мы установили, что rОА1А2 =… = rОАnА1,поэтому высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также равны: ОН1= ОН2 = … = ОНn. Отсюда следует, чтоокружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2,…, Нnи касается сторон многоугольника в этих точках, т. е.эта окружность вписанная в данный правильный многоугольник.
Докажем теперь, что вписанная окружностьтолько одна.
Предположим, что наряду с окружностью сцентром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная вмногоугольник А1А2…Аn. Тогда ее центр О1равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждойиз биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой Опересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки Одо сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, втораяокружность совпадает с первой. Теорема доказана.
Следствие 1. Окружность, вписанная вправильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Следствие 2. Центр окружности, описаннойоколо правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной втот же многоугольник.
Эту точку называют центромправильного многоугольника.
2.3. многоугольника, его стороны и радиусавписанной окружности.
Пусть S– площадь правильного n–угольника, аn– его сторона, Р – периметр,а, r и R– радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажемсначала, что
S= ½Pr. (1)
В самом деле, соединим центр данногомногоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на nравныхтреугольников, площадь каждого из которых равна ½аnr( см.рис.п.2.2)
Следовательно,
S= n½anr= ½(nan) r= ½Pr.
Выведем далее следующие формулы:
an = 2R sin , (2)
r= R . (3)
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольномтреугольнике А1Н1О
ÐА1 = 0= 900 — Следовательно,аn = 2А1Н1= 2Rcos ( 900 — ) = 2Rsin , а r = OH1 = Rsin ( 900 — ) = Rcos .
Полагая в формуле (2) n= 3, 4и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата иправильного шестиугольника:
а3= 2R sin = 2R sin 600= 2R ۰ = R (4)
а4= 2R sin = 2R sin 450= 2R ۰ = R (5)
а6= 2Rsin = 2R sin 300= 2R ۰ = R; (6)
2.4. Решение задач сприменением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусавписанной окружности.
Дляиллюстрации применения данных формул (1) – (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.
Задача № 1. Для квадрата со стороной а,вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу(известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
N
R
r
a4
P
S
1
3
6
24
36
2
2
4
16
16
3
4
16
32
4
3,5
7
28
49
5
8
4
16
16
Решение.
a4= 2R sin = 2R sin 450= 2R ۰ = R
r = R cos = R cos 450= R
P =4a; S = a2 .
1) a4= R R = R = =
r = ۰ = 3.
P = 4a = 4۰6 =24, S = a2 = 36.
2) R = , R = 2
a4 = = 4,
P = 4۰4= 16, S = 16.
3) r = 4۰ =
a4 = 4۰ =
P = 4۰ = S = 32.
4) a4 = 28: 4 =7,
R = = 3,5۰,
r = 3,5۰ = 3,5,
S = 49.
5) a4 = 4, P = 16,
R= = ,
r= =8.
Задача № 2. Для правильного треугольника состороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу(известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).
N
R
r
a3
P
S
1
3
1,5
3
9
2
10
3
4
2
4
12
12
4
5
15
5
2
6
Решение.
а3 = 2Rsin = 2R sin600= 2R۰ = R
r = R cos 0= R۰ =
P = a + b + c = 3a,( т.к. а= b= c), S =
1) r = = 1,5, a3 =
P = 3۰ =
2) a3 = = =
R = = 2۰ = 2۰ =
= ۰ =
P =
3) r = 2۰2 = 4, a3 =
P = 3۰ = =
4) R = =
r = : = =
P = 3۰5 = 15, S =
5) a3 = 6: 3 = 2, S = =
R = =
r= : = = .
Используя решенные задачи, можно составить таблицузависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружностидля всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.
Количество сторон
n
а
r
S
3
4
2R2
6
R
2.5 Площади правильныхмногоугольников.
В таблице приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (a означает длину стороны), вычисленные по формуле (1)пункта 2.3.
НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Число сторон
Название многоугольника
Площадь