Содержание
1. Введение
2. Постановка задачи3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР4. Построение фундаментальной матрицы решений методомЭйлера5. Нахождение приближённого решения в виде матричногоряда
6. Построениеобщего решения матричным методом
7. Задача Коши для матричного метода8. Решение неоднородной системы
ГрафикиЗаключение
1. Введение
Рассмотрим системулинейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:
/> (1)
где коэффициенты аij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;
yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.
Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующаянеоднородной системе (1).
Обозначая матрицу системычерез А(х), а вектор /> через /> тогда систему (1) можемпереписать в матричной форме
/>(1а)
Если />, то получаемсоответствующую систему однородных уравнений
/>. (2)
Всякая совокупность n функций
/> /> />
определенных и непрерывнодифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) вэтом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:
/>/>
справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собойсумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решениянеоднородной.
2. Постановка задачи
Цель работы: исследование методоврешения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:
/>;/>;/>/>/>/>Задание
1. Найти собственныечисла и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построитьфундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенноерешение в виде матричного ряда.
4. Построить общеерешение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы Аот ее собственных чисел.
5. Решить задачуКоши.
/>
Начальныеусловия:
Векторначальных условий: [1, 2, 3, 4]
t = 0/>
3.Нахождение собственных чисел и построение ФСР
Однородной линейной системойдифференциальных уравнений называется система уравнений вида:
/> (3)
Если в матрице системы /> все />=const,то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или спостоянной матрицей.
Фундаментальной системой решенийоднородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространстварешений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.
Для построения фундаментальнойсистемы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числахарактеристического полинома, так как в зависимости от их вида(характеристические числа могут быть действительными разными, кратными,комплексными) строится фундаментальная система решений.
Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальноерешение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) былравен нулю:
/> (4)
Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеетнетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.
Запишем характеристический полином,для этого воспользуемся функцией CHARPOLY
/>
/>
Для нахождениясобственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращаетхарактеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
/>
/>
Получилось два действительно корня /> и двакомплексно-сопряженных корня />. Следовательно, вектора,образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находитьсяотдельно для /> и отдельно для />. Запишем ФСР для данныхдля полученных характеристических чисел:
Матрицу y(x), столбцами которой являются решения,образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
/>
И общее решение системы будетвыглядеть следующим образом:
/>/>
Найдем решение данной системы спомощью метода Эйлера. 4.Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера
Метод Эйлера заключаетсяв следующем.
Решение системы (1)находится в виде:
/> (5)
Функция (5) является решением системы(1), если /> –собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы,соответствующей числу />. Если собственные значения />1, />2, …,/>n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторыэтой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :
/>
где С1, С2, …,Сn – произвольные числа.
Для случая кратных корней решениесистемы принимает вид
/> (6)
где Pi(x)-полиномы степени не выше,чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что средикоэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, аоставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномовподставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты приодинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентовчерез свободные.
Если для кратного собственногозначения /> матрицыА имеется столько линейно независимых собственных векторов />, какова его кратность,то ему соответствует kнезависимых решений исходной системы:
/>
Если для собственного значения /> кратности k имеется только m (m, можно искатьв виде произведения векторного многочлена степени k — m на />, т.е. в виде:
/>
Чтобы найти векторы />, надо подставить выражение (4) в систему (3).Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получимуравнение для нахождения векторов />.
Для данного задания были найденыследующие собственные значения:
/>.
Построили фундаментальную системурешений:
/>
Найдем 1 строку фундаментальнойматрицы решений для характеристического числа />. Запишем третью строку решений вобщем виде:
/>
Где аij найдем по выражению:
/> или />
Полученная матрица:
/>
Решаем систему:
/>
Полученные корни:
/>
Доопределим />
Тогда первая строка будетиметь вид:
/>
Аналогично найдем вторуюстроку фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа-1. Полученные значения:
/>
Тогда вторая строка будетиметь вид:
/>
Найдем третью и четвертуюстроки фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа />. Сопряженныйкорень/>непорождает новых вещественных линейно независимых частных решений.
Полученные значения:
/>
Отделяя в нем вещественные и мнимыечасти, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторуюстроки фундаментальной матрицы решений
/>
Аналогично остальные 3:
/>
Запишемнайденную фундаментальную матрицу решений:
/>
Умножим транспонированнуюфундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов />и получимвектор общего решения исходной системы:
/>
Сделаем проверкунайденного решения следующим образом:
/>
Получаемнулевую матрицу-столбец:
/>чтопоказывает, что общее решение найдено верно. 5.Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда
Дадим определениематричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.
Матричные ряды.Рассмотрим бесконечную последовательность матриц />, />,/>. Будем говорить, чтопоследовательность матриц сходится к матрице А:
/>,
если /> при />. Из определения нормыследует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричнымрядом называется символ />, причем говорят, что этот рядсходится к сумме />, если к f сходится последовательность частичных сумм Sk, где
. />
Пусть />, тогда можно определитьстепень матрицы А обычным образом:
/> (k раз).
Рассмотрим ряд,называемый степенным:
/>, />, />,
где по определениюположим A0= En.
Экспоненциальная функцияматрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:
/>.
Так как радиус сходимостисоответствующего числового ряда
/>
Равен бесконечности, торяд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией(экспонентой) и обозначается через еА, если ехр{А}.
Приближенно вектор решений можнонайти как произведение матричного ряда:
/>
и вектора начальных условий y0=[y1,y2, …..yk].
Формула является матричной задачейКоши в приближенном виде.
Экспонентой /> матрицы Аназывается сумма ряда
/>
где Е – единичная матрица.
Матрица />является решениемматричной задачи Коши:
/> т.е. является фундаментальнойматрицей системы.
Найдем разложениематричного ряда последовательно по семи, восьми и десяти первым членам.
для получения разложенияпо 7 первым членам (аналогично по 8,10 и 10). Результатом будет являтьсяматрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий S=[1,2,3,4] и получаем приближенноерешение в виде матричного ряда.
/>
/>
/>
/>
При увеличении членов разложения рядавектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений. Этотфакт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенногорешений (см. приложение).
Умножим на соответствующий векторначальных условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда,запишем полученное решение для n=7.
[s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]
/>
6. Построение общего решенияматричным методом
Матричный метод решения системы уравнений (1)основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.
/>
/> />
Экспонентой eA матрицы А называется сумма ряда
где Е – единичная матрица.
Свойство матричной экспоненты:
а) если АВ=ВА, то еА+В=еА*еВ=еВ *еА;
б) если А=S-1*B*S, то еА=S-1*eB*S, где матрица S –это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходныхпеременных.
в) матрица y(t)=eAt является решением матричной задачиКоши:
т.е. является фундаментальнойматрицей системы (1).
Из свойства в) следует, чторешение y(t) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y0, определяется выражением y(t)=eAt*y0. Таким образом, задача нахождения решений системыуравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы eAt по матрице А.
Для вычисления матрицы eAt удобно представить матрицу А в виде:
/>,
где матрица S – это матрица преобразованияпеременных из собственного базиса в базис исходных переменных, а BА – жорданова форма матрицы А, т.к. eAt= S-1*eBt*S.
Жорданова форма матрицы зависит от видахарактеристических чисел.
1. Пустьхарактеристические числа действительные кратные, тогда Жорданова форма матрицыразмерности nxn имеет вид:
/>
где /> — действительный корень кратности n.
2. Если среди корнейхарактеристического полинома имеются, как действительные разные, так идействительные кратные корни, то матрица В имеет вид:
/>
где /> — действительные разные корни, а />-действительный корень кратности 2.
3. При наличии средикорней характеристического полинома корней комплексно-сопряженных Жордановаклетка выглядит следующим образом:
/>
где а /> комплексно сопряженный кореньхарактеристического полинома.
Так как в нашем случае средихарактеристических чисел присутствуют, как комплексно-сопряженные корни л = 2 — ∨ л = 2 + , так и действительный разные корни л = -1 ∨ л = 1, то жорданова матрица выглядитследующим образом:
/>
Из уравнения A*S = S*В, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, изкоторой находим элементы матрицы S.Полученная матрица S будет выглядетьследующим образом:
/>
Решаемсистему 16-го порядка из уравнения A*S = S*В
/>
Доопределяемнекоторые элементы и получаем следующую матрицу S:
/>
Сделаемпроверку A*S — S*В=0:
/>
Значитматрица перехода найдена верно.
Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на />, где /> — это вектор, элементы которогозависят от корней характеристического многочлена:
/>
Для комплексных чисел /> имеет следующий вид:
/>
Для случая корней действительныхразных:
/>
В нашем случае /> получается равной:
/> =/>Отсюда найдем общее решение у=S*/>, получим:
/>При подстановке решения в исходнуюсистему получается верное равенство, из этого следует, что решение найденоверно:
/>
7. Задача Коши дляматричного метода
Необходимо из всех решений системыуравнений найти такое решение, в котором y(i)(t) принимает заданное числовоезначение y0iв заданной точке, т.е. найти значения сi для следующих заданных значений: x=0, y=[1, 2, 3,4].
В вектор решений y(t) подставляем заданные условия и решаем полученную системуотносительно c1, c2, c3, c4:
/>
В результате получаем:
/>
При подстановке c1, c2, c3, c4в общее решение получимрешение в форме Коши:
/>Сделаем проверку, подставив общее решение в исходнуюсистему />:
/>
Получился нулевой вектор />.Следовательно, найденная матрица является решением исходной системы.Исследованиезависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы
Пусть J – жорданова клетка матрицы А. Дляслучая действительных разных корней жорданова клетка будет выглядеть следующимобразом:
/>
Пусть среди действительных собственных чисел матрицы А естькратные. Жорданова клетка будет находиться по следующей формуле:
/>
Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:
/>
Если кратность k=3,то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:
/>
Если же среди трех собственных чисел /> являются корнями кратности 2, тожорданова форма будет выглядеть следующим образом:
/>
Если два собственных числа матрицы А являются комплекснымисопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть так:
/>
где /> – действительная, /> – мнимая частьсобственного числа />.8.Решение неоднородной системыПравая часть:
/>
Общее решениенеоднородной системы можно найти по формуле:/>
Где /> - фср, Со – матрица />, F(t) – вектор правых части.
/> - общее решение однороднойсистемы/> - частное решение неоднороднойсистемы
Полученное частноерешение неоднородной системы:
/>
Общее решение однороднойсистемы
/>
Тогда их сумма будет искомымобщим решением неоднородной системы:
/>
Проверим
/>
Найденное решение верно.
Графики
Изобразим графически точное частноерешение однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами для начальных условий: t0= 0, y0= [1, 2, 3, 4].
/>
Сравним график одной функции вектора точного решения и однойфункции вектора приближенного решения с 3-мя, 5-ю и 7-ю членами ряда:
/>
Где 1 – график приближенного решениядля трех членов ряда; 2 – график приближенного решения для шести членов ряда; 3– график приближенного решения для девяти членов ряда; 4 – график точногорешения.
Можно сделать вывод:
С увеличением числачленов ряда, число совпадения членов ряда с точным решением будетувеличиваться, область совпадения будет расти.
Заключение
В ходе проделанной работы было изучено3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальныхуравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. По сравнениюс методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост вреализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши,которая была использована для нахождения частного решения однородной системылинейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий.
Для установления правильностипроведенных вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученныхрешений в исходную систему уравнений.
Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функциипакета:
1. EIGENVALUES (A, />) – вычисление собственных чиселматрицы A с последующей записью в вектор />.
2. SOLVE (Pm=0, />) – решение уравнения Pm=0, где Pm – полином степени m: Pm=p0*/>mp1*/>m-1+…+pm-1*/>+pm, а /> - переменная, относительно которой решается данноеуравнение.
3. EXACT_VECTOR(A, />) – вычисление точного собственного вектора матрицы Аи размещение этих значений в />.
4. DIF(A,x,n) – дифференцирование A по x n раз.
5. SUM(M,n,f,g) – вычисление суммы M по nизменяющимся с f до g.
6. VECTOR(u,k,n)– задание (вычисление) векторазначений при k изменяющемся от 1 до n.
А также функции меню:
1. SOLVE/SYSTEM–решение системы споследующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений ипеременных, относительно которых решается данное уравнение.
2. Simplify > Expand– раскрытие выражений.
Команда Expandиспользуется для раскрытия математических выражений.
Expand expression: #n:где n – номер строки выражения (операнда).
Expand Variable: #n .
В этом варианте командынеобходимо указать имя переменной, по которой будет проведено преобразование.Если по всем -.
3. Для построенияграфиков использовали функцию 2D-plot.