Содержание
Введение
1.Кривые второго порядка
1.1 Эллипс
1.2 Гипербола
1.3 Парабола
2.Теоремы, связанные с кривыми второгопорядка
Литература
Введение
Впервые кривые второго порядкаизучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взятьдве пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного,то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью,то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность,парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знаниянашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическимтраекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно,что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружностивокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второйкосмической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1. Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка называетсялиния на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяетсяуравнением
ax2 + 2bxy + cy2+ 2dx + 2ey + f = 0
где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты,причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .
Вид кривой зависит от четырёхинвариантов:
инварианты относительно поворотаи сдвига системы координат:
/>
/>
/>
инвариант относительно поворотасистемы координат (полуинвариант):
/>
Многие важные свойства кривыхвторого порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы,соответствующей уравнению кривой:
/>
Так, например, невырожденнаякривая/>оказываетсявещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости оттого, будет ли/>положительно определённой, отрицательноопределённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливаетсяпо корням характеристического уравнения:
/>
Или
λ2 − Iλ +D = 0.
Корни этого уравнения являютсясобственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого,всегда вещественны:
/>
Кривые второго порядка классифицируютсяна невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2–гопорядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс,гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих),точка, пустое множество.
Иными словами, для каждойкривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат,в которой уравнение кривой имеет вид:
/>
1.1 Эллипс
Эллипсом называется геометрическоеместо точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точекплоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющиеточку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Если эллипс описывается каноническимуравнением
/>
где a > 0, b > 0, a> b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметричнона оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где
/>
Величина e = c/a называетсяэксцентриситетом эллипса.
/>
По определению эллипса r1+ r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
/>
Если фокусы эллипса совпадают,то эллипс является окружностью.
1.2 Гипербола
Гиперболой называется криваявторого порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
/>
где a > 0, b > 0 — параметрыгиперболы.
Это уравнение называется каноническимуравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническимуравнением, называется канонической.
В канонической системе осикоординат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболыс осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b называются полуосямигиперболы.
/>
Рис.1
Прямые ay − bx = 0 иay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность,соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу,вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
/>
/>
Рис.2
Такая гипербола называетсясопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0.Говорят о паре сопряжённых гипербол.
/>
1.3 Парабола
Параболой называется криваявторого порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
y2 = 2 px
где p > 0 — параметр параболы.
Такое уравнение называетсяканоническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описываетсяканоническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе осьабсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной.
/>
Рис.3
Уравнения y2 = −2 px,x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координаттакже описывают параболы:
/>
2. Теоремы, связанные скривыми второго порядка
Теоремма Паскамля — теоремапроективной геометрии, которая гласит, что:
Если шестиугольник вписанв окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу,даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат наодной прямой. Теорема Паскаля двойственна к теоремеБрианшона.
Теорема Брианшона являетсяклассической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:
Если шестиугольник описаноколо конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершиныэтого шестиугольника, проходят через одну точку.
В частности, в вырожденномслучае:
Если стороны шестиугольникапроходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположныевершины, проходят через одну точку.
Теорема Брианшона двойственнак теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.
Литература
1. Корн Г., Корн Т. Кривыевторого порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание.— М: Наука, 1978. — С. 64-69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5.Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочникпо математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: «Наука», 1988.