Содержание
численноеинтегрирование формула программированиеВведение1. Методы численного интегрирования
2. Квадратурные формулы
3. Автоматический выбор шагаинтегрирования
ЗаключениеБиблиографическийсписок
Введение
Цель реферата состоит визучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций;реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня ипрактическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.
При решении инженерныхзадач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенногоинтеграла вида
/>. (1)
Если функция непрерывнана отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена черезизвестную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формулеНьютона – Лейбница:
/>.
В инженерных задачахполучить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того,функция f(x) может быть задана, например, таблицейэкспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенногоинтеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппаратинтерполирования.
Идея таких методовзаключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1),сначала вычисляют значения функции f(xi) = yiв некоторых узлах xi Î[a, b]. Затем выбирается интерполяционныймногочлен P(x), проходящий через полученные точки (xi,yi), который используется при вычислении приближенногозначения интеграла (1):
/>.
При реализации такогоподхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:
/>, (2)
где /> - узлыинтерполирования, Ai – некоторые коэффициенты, R –остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида(2) называют квадратурными формулами.
Геометрический смысл численногоинтегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции,ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумяпрямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит котбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующегопогрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительнаяпогрешность.
1. Методы численного интегрирования
В прикладныхисследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённогоинтеграла
/>
Как известно из курсаматематики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всехслучаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этогоинтеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникаетзадача приближенного значения этого интеграла.
/>
Суть приближенноговычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки /> в соответствующемотрезке.
В зависимости от выбора /> мы получаемразличные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правыхпрямоугольников (5), (6)
/> (5)
/> (6)
Формула трапеции:
/>
Формула Симпсона
/>
где m=n/2
h=b-a/n
b, a — концы рассматриваемого отрезка.
Для сравнения результатоввычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мяспособами следующий интеграл, разделив отрезок [0, />] на 6 равных отрезков:
/> h=/>
По формуле левыхпрямоугольников:
/>
По формуле трапеции:
/>
По формуле Симпсона:
/>
А результат полученныйаналитически равен
/>=1
Следовательно, можносделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсонявляется более точным, но используется в общем случае при делениирассориваемого отрезка на чётное число промежутков.
2. Квадратурныеформулы
Формулыпрямоугольниковявляются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезокинтегрирования [a, b] на п равных частей длиной />. Заметим, что величину hназывают шагом интегрирования. В точках разбиения х0 = а,х1 = a + h, ..., xn= b отметим ординатыy0,y1,…,yn кривой f(x),т.е. вычислим уi = f(xi), xi =a+ ih = xi-1+ h (i = />). На каждом отрезкедлиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi,где i = />,т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадькриволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можнопредставить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получимформулу прямоугольников:
/>. (3)
Если при вычисленииинтегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а вправых концах отрезков длиной h, что показано на рис. 1 пунктирнойлинией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:
/>. (4)
Третий вариант формулыпрямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x),вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):
/>. (5)
Формулы (3), (4) и (4)называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.
/>
Рис. 1
/>
Рис. 2
Формула трапеций. Здесь на каждом элементарноминтервале [xi-1, xi] длины hточки с координатами (xi-1, yi-1)и (xi, yi) соединяются отрезком (рис. 3).Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением0,5h(yi-1 + yi). Суммируяплощади элементарных трапеций для i = /> получим приближенное значениеинтеграла:
/>. (6)
/>
Рис. 3.
Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2nравных частей длиной />. На каждом отрезке [xi,xi+2] подынтегральную функцию f(х) заменимпараболой, проходящей через точки (xi, yi),(xi+1, yi+1), (xi+2,yi+2). Тогда приближенное значение интегралаопределяется формулой Симпсона:
/>. (7)
При вычислениях на ЭВМболее удобна следующая формула:
/>
Метод Симпсона — один из наиболее широко известных и применяемых методовчисленного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрированиимногочленов до третьего порядка включительно.
Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла поформуле Ньютона вычисляется следующим образом:
/>
где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n. Приразработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:
/>
Метод Ньютона дает точныезначения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядкавключительно.
3. Автоматическийвыбор шага интегрирования
В результате расчета поформулам (3) — (8) получают приближенное значение интеграла, которое можетотличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования.Ошибка определяется формулой остаточного члена R, различной для каждогоиз методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла спогрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h,чтобы выполнялось неравенство R(h) £ e. На практике используют автоматический выбор значения h,обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значениеинтеграла I(n), разбивая интервал интегрирования на п участков,затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I(2n).Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие:
/>,
где P – порядок точности квадратурнойформулы. Для формул левых и правых прямоугольников P = 1, для формул центральных прямоугольников итрапеций P = 2, для формул Симпсона и Ньютона P = 4. В результате полагают, что I » I(2n) с точностью e.
Заключение
В ходе выполнениякурсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численноеинтегрирование.
В настоящее времяпоявилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные,можно решить значительное число задач.
Для более глубокогоанализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языкипрограммирования.
Библиографическийсписок
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с.
2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А.,Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
3. Ракитин В.И., Первушин В.Е.Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ дляперсональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
Размещено на www.