Содержание
Основная часть
Выводы
Библиографический список
В современных радиоэлектронных системах в процессе передачисигнала на него накладываются различные шумы. Процесс приема и перевода сигналав цифровой вид также сопряжен с внесением в сигнал шумовой составляющей. Вбольшинстве случаев шум является аддитивным. Как правило, при обработке сигналаосновной задачей является выделение полезной и ослабление шумовой составляющей.Для решения данной задачи чаще всего используются критерий минимумасреднеквадратической погрешности или критерий среднеабсолютного отклонения. Всвязи с чем актуальной является задача обработки цифрового сигнала одновременнопо нескольким критериям [1].
В связи с этим значительный интерес представляетиспользование многокритериальных методов обработки результатов измерений,представленных единственной реализацией при ограниченном объеме априорнойинформации о функциях полезной составляющей и шуме.
Цель работы – уменьшение дисперсии шумовой составляющей многокритериальнымиметодами сглаживания входного сигнала, представленного единственной реализациейнестационарного случайного процесса в условиях априорной неопределенности.
Пусть исходные результаты измерений представляют собой дискретнуюпоследовательность значений измеряемой физической величины />, полученную вравноотстоящие моменты времени /> где /> (/> - константа). Данную выборкурезультатов измерений можно рассматривать как реализацию случайного процесса />, который являетсяаддитивной смесью полезного сигнала и шума. Упрощенная математическая модельвходного сигнала представляется в виде:
/>, />, (1)
где /> – полезнаясоставляющая; /> – аддитивнаяшумовая составляющая; /> – объем выборки.
Функциональная зависимость от времени /> полезной составляющейнеизвестна. Закон распределения аддитивного шума /> такжесчитается априорно неизвестным. Однако предполагается, что плотностьраспределения шумовой составляющей имеет нормальный закон, а математическоеожидание равно нулю.
Получение оценки /> величины/> можно интерпретировать какуменьшение дисперсии аддитивного шума />.Предлагается уменьшать дисперсию измеряемого процесса путем существенногоуменьшения суммы квадратов конечных разностей его значений [2]:
/> (2)
а также (или) уменьшения суммы квадратов конечных разностейвторого порядка:
/>. (3)
При этом в качестве меры расхождения исходного и полезногосигналов используется сумма:
/>. (4)
Для определения оценок /> будемстремиться одновременно уменьшить суммы (2 и(или) 3) и (4). Эта цельдостигается минимизацией двухкритериальных целевых функций вида [1–3]:
/>, (5)
/>, (6)
а также минимизаций трехкритериальной целевой функцией вида:
/>,(7)
где /> и /> – постоянныерегулировочные множители. При реализации рассматриваемых методов сглаживаниянаилучшие результаты на основе использования имитационного моделированиядостигаются при значениях /> вслучае использования целевых функций вида (5) и (6) и />, /> в случае использованияцелевой функции вида (7).
Заметим, что целевые функции (6, 5–7) непрерывны и ограниченыснизу на множестве />, поэтому, покрайней мере, в одной точке /> достигаетсвоего наименьшего значения. Докажем единственность такой точки на примерецелевой функции вида (5). В силу необходимого условия экстремума ее координатыдолжны удовлетворять системе уравнений:
/> />, (8)
то есть следующей системе /> линейныхуравнений с /> неизвестными
/>:/>. (9)
Перепишем систему (9) в виде:
/>. (10)
Докажем, что система уравнений (10) имеет единственное решение.С этой целью методом математической индукции установим справедливостьутверждения /> «первые /> уравнений системы (10)задают переменные /> как линейныефункции аргумента /> т.е. />, причем />, />» при каждом /> (полагаем здесь />). При /> имеем />/>,/>, а в случае /> – />, где />, />, то есть утверждения />, /> верны. В предположенииверности утверждения /> при некотором /> докажем справедливостьутверждения />. Из />-го уравнения системы (10)получаем
/>
где />; />.
Итак, утверждения /> выполнены.С помощью утверждения /> последнееуравнение системы (10) приводится к виду /> где/>/>, />. Полученное уравнениеимеет единственное решение />, покоторому однозначно определяются значения />,где />.
Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение;аналогично доказательство единственности решения для целевых функций вида (6) и(7).
Для нахождения точки наименьшего значения целевых функций /> (5), (6) и (7) применимметод наискорейшего спуска [4]. Зададим точность />,с которой будут найдены значения />. Вкачестве начальной итерации примем />, />. При каждом /> зададим величину />, присвоив ей значениелевой части k-го уравнения систем (10).
Для целевой функции (6), получим:
/> (11)
Целевая функция (7) сводится к решению системы:
/>(12)
Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину:
/>. (13)
Для целевой функции вида (6) – величину:
/>. (14)
Для целевой функции вида (7) – величину:
/>. (15)
Если />, то в точке /> функция /> достигает наименьшегозначения. Заметим, что /> и что /> тогда и только тогда,когда />. В случае /> функция /> является квадратичнойфункцией с положительной второй производной. Решив уравнение />, найдем точку минимума
– для целевой функции вида (5):
/>, (16)
– для целевой функции вида (6):
/>, (17)
– для целевой функции вида (7):
/> (18)
Так как в точке /> производнаяфункции /> по направлению вектора /> положительна, то />; следовательно />. Произведем коррекцию значений/>:
/>, />.
После этого проверяем условие
/>. (19)
Если неравенство (19) выполняется, требуемая точностьсчитается достигнутой, и расчет заканчивается. Тогда />, т.е. расстояние междудвумя последними итерациями в пространстве /> непревосходит />. В случае невыполненияусловия (19) повторяется расчет величин /> ипроверка указанного условия.
Таким образом, вектор оценок /> итерационнокорректируется так, чтобы целевая функция /> достигласвоего наименьшего значения. На некотором шаге итерационного процессавыполнится условие (19), и вычисления прекращаются. Полученный вектор оценок /> с заданной точностью /> будет являться точкой наименьшегозначения целевой функции /> призаданных начальных условиях [5].
Также в работе предложено аналитическое решение двухкритериальнойцелевой функции вида (5). Как установлено ранее, точка минимума функции (5)является единственным решением системы линейных уравнений [2, 3]
/> (20)
Покажем, что это решение имеет вид
/>, />, (21)
где/>, (22)
/> (23)
коэффициенты), (здесь и далее />– биноминальные
/>. (24)
Воспользовавшись соотношениями (21), (22) при /> и соотношением (23) при />, получим
/>.
Подставив результат в первое уравнение (20), получимтождество
/>.
Убедимся в том, что величины (21) (при условиях (22)–(24))удовлетворяют k-му уравнению системы (20) и при />, т.е.
/>
где />. (25)
Преобразуем левую часть уравнения:
/>
Упростим часть выражения в левой части, используя свойствабиномиальных коэффициентов [4]:
/>
(здесь и далее считаем, что при /> суммавида /> равна нулю).
Таким образом, k-еуравнение системы (20) принимает вид
/>.
С учетом выражений (23) и (25) полученное соотношениеперепишется следующим образом:
/>
Упростим левую часть уравнения, используя свойствабиноминальных коэффициентов:
/>
Преобразуем коэффициент при /> впоследней сумме:
/>
Таким образом, k-еуравнение системы (20) превращается в тождество
/>
Докажем, что величины (21) удовлетворяют />-му уравнению системы (20),т.е.
/>
или
/>
Коэффициент при /> равен
/>
Уравнение принимает вид
/>
Выражение в скобках равно
/>
Так как />, то />, а это равенство выполненов силу (24).
Итак, выражение (21) (при подстановке в него выражений (22)–(24))дает единственное решение системы уравнений (20); это решение минимизируетфункцию (5), и других точек минимума данная функция не имеет.
Для проверки эффективности многокритериальных методов сглаживанияцифровых сигналов в качестве критерия используем среднеквадратическое отклонениеоценок от значений входной реализации:
/>.
На рис. 1 представлены кривыесреднеквадратического отклонения, полученные при обработке двухкритериальнойцелевой функцией, при точном решении и при итерационном. В качестве полезнойсоставляющей использовалась функция, огибающая которой описывается параболой,среднеквадратическое отклонение шума />=0,15.
/>
Рис. 1. Зависимость /> при итерационном инеитерационном решении
Анализ результатов, представленных нарис. 1, позволяет сделать вывод, что результаты оценки эффективности,полученные при решении целевой функции (5) итерационным алгоритмом и приопределении точного решения, практически совпадают, разброс параметровсоставляет менее 1 % [5].
Таким образом, на основе проведенных исследований получены аналитическиевыражения для минимизации многокритериальной целевой функции, в условияхограниченного объема априорной информации о функции сигнала, статистическиххарактеристиках шума и ограниченности объема выборки.
На рис. 2 представлен алгоритм получения оценок многокритериальнымиметодами сглаживания сигналов, основанных на целевых функциях (5), (6,6) и(6,7), в условиях ограниченного объема априорной информации.
/>
Рис. 2. Алгоритм вычисления оценок многокритериальными методамисглаживания сигналов
Используя полученный алгоритм, удалось реализовать методсглаживания сигналов на основе компьютерной программы для выполнения машинногомоделирования (свидетельства об официальной регистрации программы для ЭВМ,РОСПАТЕНТ: № 2006612520, № 2007612944, № 2008611151).
Для нахождения импульсной характеристики используем соотношения(21)–(24), т.е. отклика системы на единичный импульс [6]:
/> />. (26)
где /> – положениеединичного импульса.
Имеем /> при /> и /> при />. Поскольку /> при />, то для всех указанных />, />, подставив значения ввыражение (3), получим
/>
или
/>. (27)
На рис. 3 представлены графики обработки входной реализации,представленные единичным импульсом (26), на основе выражения (27), при условии /> и параметре целевой функции (5) /> – кривая 1; /> – кривая 2.
/>
Рис. 3. обработкацелевой функцией входной реализации единичной амплитуды, параметры /> (кривая 1) и при /> (кривая 2)
Анализ зависимостей, представленных на рис. 3, показывает,что импульсная характеристика лежит только в положительной полуплоскости.Следует отметить, что импульсная характеристика быстро спадает, в связи с этимможно ее ограничить и рассматривать на интервале />, где /> составляет 20–25 отсчетовотносительно положения единичного скачка. При /> коэффициентами и /> можно пренебречь, так как />, при />.
На рис. 4 представлены нормированные значения результатов, полученныхранее для проведения сравнения величины /> приразличных значениях />.
/>
Рис. 4. Сравнение нормированных характеристик при /> (кривая 1) и при /> (кривая 2)
Анализ нормированных импульсных характеристик, представленныхна рис. 4, показывает, что при увеличении параметра /> импульснаяхарактеристика становится более пологой.
Для обработки цифровых сигналов по мере поступления данныхпредлагается обработка входной реализации путем нахождения оценокмногокритериальной целевой функции в задаваемом окне /> с последующим скольжениемокна /> по всем значениям входнойреализации.
Выбор величины окна обработки обусловлен минимумом итерационныхзатрат для получения оценок входной реализации и представлен на рис. 5 при />, /> [7].
а)/>
/>
б)
Рис. 5. График изменения значения среднеквадратического отклоненияот ширины окна (а) и величины шага перемещения окна (б)
Анализ результатов, представленных нарис. 5, показал, что минимум зависимости /> достигаетсяпри />, а /> – при /> и слабо зависит от функцииполезной составляющей />. На рис. 6представлены зависимости />,которые получены при сглаживания исходной реализации (1) многокритериальнойцелевой функцией, где в качестве обрабатываемых значений /> использовались сигналы,огибающие которых описываются: составной моделью (кривая 1), треугольной формой(кривая 2), экспоненциальной функцией (кривая 3), параболической функцией(кривая 4), а также гармонической формы (кривая 5), при этом аддитивный шумгауссовского закона распределения /> [8].
/>
Рис. График выбора параметра />
Анализ результатов, представленных на рис. 6, показал, чтоиспользование двухкритериальной целевой функции вида (6) позволяет локализоватьзначение параметра /> на одном участке/> (табл. 1) при обработкереализаций сигнала с различными функциями />.Погрешность в выборе параметра /> приводитк увеличению значения /> до 10 %.
В табл. 1 приведены значения параметра />, при котором значениясреднеквадратической погрешности являются минимальными, значения /> [3].
Таблица 1 Минимальная среднеквадратическая погрешность
сигнал
иссле
дуемый
параметр
Составная
модель полезного сигнала
сигнал
треугольной формы
экспоненциальная
функция параболическая функция гармоническая функция
/> 0,04 0,02 0,01 0,01 0,01
/> 0,023502 0,023961 0,022876 0,022665 0,022271
/> 0,21 0,08 0,08 0,09 0,21
/> 0,025858 0,026778 0,032578 0,03423 0,041156
Процесс получения оценок в скользящем окне параметра /> осуществляетсяпараллельной обработкой исходных значений, находящихся в обрабатываемом окне,многокритериальной целевой функцией с различными параметрами обработки />. Правило выбора параметра /> представлено в работе [2,3]. Переход между оценками, полученными с различными параметрами />, осуществляется условием:
/>
где />, /> – оценки входнойреализации, полученные при параметрах /> и/>, p – пороговое значение,определенное экспериментально при дисперсии аддитивной шумовой составляющей />, составляет />.
На рис. 7 представлен пример обработки цифрового сигнала /> (кривая 1) представленногов виде аддитивной смеси (1) полезного сигнала (кривая 2) и шумовой составляющейпри наличии импульсных помех [8].
/>
Рис. 7. Пример сглаживания цифрового сигнала при наличииимпульсных помех с последующим прогнозированием
цифровой сигнал шум априорная
выводы
1. Разработаны и исследованымногокритериальные методы сглаживания цифровых сигналов в условияхограниченного объема априорной информации о функциях сигнала и статистическиххарактеристиках шума.
2. Использование многокритериальныхметодов сглаживания для обработки цифровых сигналов в скользящем окне, показалоих высокую эффективность, в среднем на 25 %, в сравнении с обработкой всейреализации. При наличии во входной реализации функций разрыва первого рода илискачков единичной амплитуды происходит повышение эффективности в среднем на 60%, в сравнении с используемыми на практике аналогами, в качестве критерияэффективности используется среднеквадратическое отклонение оценок от значенийвходной реализации.
Библиографический список
1. Марчук В.И.Сравнение результатов решений двухкритериальных целевых функций. / В.И. Марчук,Е.А. Семенищев // Наука и образование без границ: материалы 3-й междунар.научно-практич. конф. Т. 1 Технология. – София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2007. – С.80–82.
2. Марчук В.И.Двухкритериальный метод обработки результатов измерений / В.И. Марчук, К.Е.Румянцев, И.С. Шрайфель // Авиакосмическое приборостроение. – 2008. – № 12. –С. 33–35.
3. Практическиеаспекты цифровой обработки сигналов (Practical aspects of digital signal processing): монография / под ред. В.И.Марчука. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. – 207 с.
4. Корн Г.Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т.Корн. – М., 2007. – 832 с.: ил.
5. Семенищев Е.А.Исследование эффективности итерационного метода выделения полезного сигнала наоснове двухкритериальной целевой функции / Е.А. Семенищев // Цифровая обработкасигналов и ее применение: сб. тр. Российского научно-технического обществарадиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова. – М., 2008. – Вып. X-1. –С. 452–455.
6. Марчук В.И.Исследование решения двухкритериальной целевой функции / В.И. Марчук, Е.А.Семенищев, А.И. Шерстобитов // Информационные технологии в современном мире:материалы междунар. конф. – Таганрог: ТРТУ, 2009 – Ч. 2. – С. 93.
7. Марчук В.И.Исследование зависимостей параметров двухкритериального метода при обработке вскользящем окне / В.И. Марчук, Е.А. Семенищев // Информация, сигналы, системы:вопросы методологии, анализа и синтеза: материалы междунар. научно-практич.конф. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. – ч.4. – С. 45–47.
8. Марчук В.И.Исследование двухкритериальной целевой функции для обработки цифровых рядов вреальном масштабе времени / В.И. Марчук, Е.А. Семенищев // Современные методы исредства обработки пространственно-временных сигналов: сб. статей VI всероссийской научно-технич. конф. –Пенза, 2008. – С. 568.