Введение
Неуклонный рост материальныхи духовных потребностей общества стимулирует развитие всех видов науки, техникии промышленных технологий. В результате этого происходит модернизация старых исоздание новых технических средств и систем различного целевого назначения. Отустаревших их отличают улучшенные потребительские и эксплуатационно-техническиехарактеристики (производительность, точность, сложность функций и качество ихисполнения, энергопотребление, надежность, конструктивная сложность, числоэлементов, интенсивность и скорость протекания процессов, возможность работы впограничных и критических режимах). Сферы их применения разнообразны:энергетика, транспорт, промышленное производство, авиационная, ракетно-космическая,военная, медицинская, научная и испытательная техника и др.
Сложные техническиеобъекты не могут самостоятельно и нормально функционировать (выполнять алгоритмфункционирования) без принудительных (управляющих) воздействий со стороныспециально организованного комплекса средств, образующих управляющую подсистему.Для реализации основных ее функций, таких как: а) сбор осведомительной информациио состоянии управляемого объекта и внешней среды; б) преобразование информации(принятие решения); в) формирование управляющих воздействий (исполнение решения)применяются специальные технические средства (устройства). При этом суть и цельавтоматизации управления состоит в возможно более полном освобождении человекаот выполнения названных выше функций управляющей подсистемы.
Переход от локальнойавтоматизации к комплексной приводит к необходимости одновременного изменениянескольких управляемых переменных. Усложнение функций, возложенных натехнические объекты, повышение требований к качеству их выполнения;необходимость учета взаимодействий локальных процессов; повышение порядка исложности математических моделей и др. существенно усложняют задачу управления.При этом сложные технические объекты должны рассматриваться не только какмногомерные, но и как многосвязные. Примерами могут служить летательныеаппараты, их силовые и энергетические установки; исполнительные подсистемыроботов и т.п. В них многосвязность проявляется в наличии перекрестных связей,за счет которых управляющее воздействие, поданное на любой из входов, приводитк изменению несколько выходов.
Сложность алгоритмовфункционирования и математических моделей современных технических объектов, ихмногосвязность приводят, как правило, к невозможности применения централизованного(радиального) управления на основе единой цели и алгоритма,обеспечивающего наилучшее (или допустимое) значение показателя эффективности.Это связано с наличием ряда проблем информационного, математического,методологического и технического характера.
Более конструктивным (присовременном уровне развития науки и техники) является подход децентрализации,при котором функции управления распределяются между несколькими,взаимодействующими между собой и с техническим объектом, управляющими центрами(узлами, устройствами). Организационная структура управляющей подсистемы приэтом усложняется и часто оказывается многоуровневой (иерархической), вкоторой между некоторыми парами узлов управления присутствуют отношения соподчинения.Несмотря на некоторое снижение эффективности по сравнению с гипотетическимвариантом радиального управления, децентрализация дает возможность практическогоосуществления управления сложными техническими объектами. При этом центрыуправления верхних (командных) уровней, реализуя более сложные алгоритмыуправления, получают осведомительную информацию от узлов управлениянижних уровней в некотором обобщенном (усредненном) виде. По этой причинескорости протекания процессов управления на двух соседних уровнях в большинствеслучаев могут различаться в десятки раз. Наиболее быстрыми и оперативнымибудут процессы на самом нижнем, исполнительном уровне, где требуемая скоростьизменения управляющих воздействий определяется свойствами управляемого объекта.Цели (задачи) для узлов управления исполнительного уровня, как правило,простейшие: регулирование значений управляемых переменных технического объектав соответствии с предписанными (со стороны верхних уровней) законами ихизменения во времени. При этом управляющие центры верхних уровней решают болеесложные задачи, связанные с координацией, адаптацией подчиненных им подсистем нижнихуровней и с оптимизацией режимов работы объекта. Определение числа уровней, атакже необходимого числа узлов (центров) управления на каждом уровне в составеуправляющей подсистемы, распределение между ними целей управления, определениеалгоритмов их достижения – вот характерные проблемы, возникающие при разработкесистемы с децентрализованным (распределенным) управлением. Для выбораподходящего варианта организационной структуры управляющей подсистемы внастоящее время нет аналитических методов, потому используют экспертные оценки,опыт предыдущих и аналогичных разработок, рекомендации методов структурногоанализа и синтеза сложных систем, методы компьютерного моделирования.
Темпы и скоростипроцессов управления на разных уровнях существенно различаются. По степениоперативности (по частоте принятия решений), по сложности и общности целейуправления, кроме первого (самого нижнего, исполнительного) уровня,осуществляющего оперативное управление подсистемами техническогообъекта, можно укрупнено выделить ещё два более высоких уровня управления:второй (тактический) уровень и третий (стратегический) уровень.Каждый из них, в общем случае, может содержать несколько подуровней управления.
Тактический уровень управления осуществляетсогласование, координацию сепаратных подсистем первого уровня, а принеобходимости, обеспечивает им свойства адаптации за счет изменения параметрових алгоритмов управления.
На стратегическом уровнеосуществляется оптимизация некоторых обобщенных показателей функционированиясложного технического объекта.
Алгоритмы управления,реализуемые каждым из уровней, базируются на использовании осведомительнойинформации, получаемой от нижестоящих уровней. В то же время функционированиецентра управления любого уровня определяется директивной, управляющейинформацией, поступающей со стороны вышестоящих уровней. Многоуровневый подходк организации управляющей подсистемы создает предпосылки для разбиения процессапроектирования системы управления сложными объектами на ряд последовательныхэтапов. При этом при разработке алгоритма управления для некоторого уровняобычно возможна идеализация нижних уровней, при которой считают, что их целиуправления достигаются быстро и точно, а управляющие (директивные) воздействиясо стороны верхнего уровня «замораживаются», либо имеют некоторый типовой вид.
Сложные (многосвязные)технические объекты в совокупности с узлами (устройствами) управления первого,исполнительного уровня образуют подсистемы оперативного управления, которыепредставляют собой многосвязные системы автоматического регулирования (МСАР)по типу следящих систем. Задающие воздействия для них формируются на втором, тактическомуровне, а цели управления состоят в воспроизведении с достаточной точностьютребуемых законов изменения для каждой управляемой переменной. При этомкритерием оценки эффективности МСАР будут функционалы от ошибок воспроизведениязадающих воздействий. На этапе расчета МСАР эти воздействия принимаютсятиповыми, а преобразовательные и собственные динамические свойства МСАР определеннымобразом ограничиваются, чтобы при синтезе алгоритмов управления тактическогоуровня их неидеальностью можно было пренебречь.
Проектирование МСАРследящего типа, как подсистем исполнительного уровня в составе многоуровневойсистемы управления представляет собой традиционную для ТАУ задачу динамическогосинтеза. Однако ее решение имеет весьма существенные особенности,обусловленные факторами многомерности и многосвязности объекта управления ОУ;высоким порядком его математической модели; особенностями оценки качестваработы МСАР и др. По этим причинам непосредственное применение традиционных инженерныхметодов синтеза одномерных следящих СУ оказываются невозможным без их обобщенияна многомерный случай. Научные работы в этой области, в основном, посвященыаналитическим методам оптимального синтеза МСАР. Используемые при этомфункционалы качества (критерии оптимальности) назначаются, как правило, исходяиз условий математической разрешимости задачи, и в большинстве своем имеютобобщенный, абстрактный характер, слабо связанный с инженерными приложениям итребованиями.
Несмотря на большое числопубликаций и монографий, в основном двадцатилетней давности, в учебнойлитературе по теории автоматического управления инженерным методамдинамического синтеза МСАР не уделяется должного внимания. Именно этимобусловлен выбор темы исследования.
Цель работы: частичный синтез и исследование многомерной САР исполнительногоуровня в составе распределенной системы управления сложным техническим объектом.
Исходные данные. Структурная схема рассматриваемой МСАР, показана нарисунке 1.
/>
Передаточные матрицы (ПМ) линейныхМДЗ в составе двумерной МСАР имеют вид:
W1(p)=diag{Wp1(p); Wp2(p)};
W2(p)=diag{W01(p); W02(p)};
W3(p)=diag(1/p); 1/p)},
где Wpi(p) – подлежащая определению ПФ i-госепаратного регулятора; i = 1; 2.
W0i(p) = /> – ПФ неизменяемой части i-госепаратного канала;
Wk(p) – ПМ компенсатора (в работе рассматриваютсядва его варианта):
a)Wk(p) = [E+Wx(p)] – ПМ компенсатора с прямыми перекрестнымисвязями;
b) Wk(p) = [E – Wx(p)]–1 – ПМ компенсатора с обратными перекрестными связями.
Здесь />,а Wx1(p) и Wx2(p) – подлежащиеопределению передаточные функции прямых (или обратных) перекрестных связейв составе последовательного компенсатора, обеспечивающегосвойство автономности каналов регулирования.
/>, где />–ПФ перекрестных связей в объекте управления ОУ, а Ky1=15; Ky2=10; Ty1=0.4Ta1; Ty2=1.5Tb2.
Таблица 1 – Исходные данные
№вар.
i
Кi, с-1
Tai, с
Tbi, с
wсрi
Mi Схема
ЦСАР 6 1 125 0.07 0.01 41 1.23 a) 2 135 0.11 0.009 33 1.35
1. Синтез и исследование непрерывнойМСАР
1.1Определение ПФ сепаратных регуляторов
Изобразим структурную схему МСАРпри отсутствии перекрестных связей в многомерном управляющем устройстве и вмногомерном объекте управления (Рисунок 1.1)
/>
Рисунок 1.1 – Структурная схемаМСАР при отсутствии перекрестных связей в МУУ и МОУ
Запишем передаточные матрицы сзаданными числовыми значениями параметров:
/>;
/>;
/>;
Применяя формулы В.А. Бесекерскогодля типовой «симметричной» ЛАХ, выберем вид и параметры ПФ Wр1(p) и Wр2(p),обеспечивающие заданные свойства сепаратным каналам по точности (коэффициентдобротности K=Ki), по быстродействию (wср) и по колебательности (M).
1) Первый сепаратный канал
Изобразим структурную схемупервого сепаратного канала (Рисунок 1.2)
/>
Рисунок 1.2 – Структурная схемапервого сепаратного канала
Запишем передаточную функциюпервого разомкнутого сепаратного канала:
/>; (1.1)
Определим, обеспечиваются лизаданные в ТЗ свойства сепаратного канала.
Построим ЛАЧХ первого сепаратногоканала. Построение проведем на масштабно-координатной бумаге.
Первая асимптота ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек пересекает ось L(w) в точке 20logK1, что соответствуеттребованию ТЗ по точности.
Определим частоту среза.
log wср=1.6, wcp=40 рад/с. Она близкак требуемому значению.
Построим АЧХ замкнутогосепаратного канала (Рисунок 1.3), как зависимость модуля частотной передаточнойфункции замкнутого канала от частоты.
Передаточная функция замкнутогоканала определяется формулой
/> (1.2)
Определим показательколебательности М, используя формулу
/>; (1.3)
где N(w) – модуль частотной передаточной функции замкнутого канала.
/>
Свойства первого сепаратногоканала по колебательности не соответствуют заданным в ТЗ.
/>
Рисунок 1.3 – АЧХ замкнутогосепаратного канала 1
Определим передаточную функциюсепаратного регулятора.
Типовая «симметричная» ЛАХ насреднечастотном участке имеет наклоны (-40 дБ/дек; -20 дБ/дек; -40 дБ/дек).Сравнивая с заданной передаточной функцией первого сепаратного канала,определим, что желаемая передаточная функция будет иметь вид:
/>. (1.4)
Для оценки параметров желаемойпередаточной функции воспользуемся формулами Бесекерского:
/> (1.5)
Проведем построение желаемой ЛАЧХна масштабно-координатной бумаге (Приложение 1а), из построения определимпостоянную времени Т1 и ЛАЧХ сепаратного регулятора.
Таким образом, передаточнаяфункция первого сепаратного регулятора, обеспечивающая заданные в ТЗ свойствапервому сепаратному каналу, имеет вид:
/>.
Передаточная функция разомкнутогосепаратного канала:
/>. (1.6)
Определим показательколебательности скорректированного сепаратного канала по формуле (1.3), дляэтого построим АЧХ замкнутого сепаратного канала. (Рисунок 1.4)
/>
Рисунок 1.4 – АЧХ замкнутогосепаратного канала 1 с регулятором
/>.
Свойства сепаратного канала поточности, быстродействию и колебательности соответствуют заданным в ТЗ.
2) Второй сепаратный канал
Изобразим структурную схемувторого сепаратного канала (Рисунок 1.5)
/>
Рисунок 1.5 – Структурная схемавторого сепаратного канала
Запишем передаточную функциювторого разомкнутого сепаратного канала:
/>; (1.7)
Определим, обеспечиваются лизаданные в ТЗ свойства сепаратного канала.
Построим ЛАЧХ вотрого сепаратногоканала. Построение проведем на масштабно-координатной бумаге (Приложение 1б).
Первая асимптота ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек пересекает ось L(w) в точке 20logK2, что соответствуеттребованию ТЗ по точности.
Определим частоту среза.
log wср=1.53, wcp=34 рад/с. Она близкак требуемому значению.
Построим АЧХ замкнутогосепаратного канала (Рисунок 1.6), определим показатель колебательности М,используя формулу (1.3)
/>
Рисунок 1.6 – АЧХ замкнутогосепаратного канала 2
/>
Свойства второго сепаратногоканала по колебательности не соответствуют заданным в ТЗ.
Определим передаточную функцию второгосепаратного регулятора.
Аналогично первому сепаратномуканалу, желаемая передаточная функция будет иметь вид:
/>. (1.8)
Для оценки параметров желаемойпередаточной функции воспользуемся формулами Бесекерского (1.4).
Проведем построение желаемой ЛАЧХна масштабно-координатной бумаге (Приложение 1б), из построения определимпостоянную времени Т1 и ЛАЧХ сепаратного регулятора.
Таким образом, передаточнаяфункция второго сепаратного регулятора, обеспечивающая заданные в ТЗ свойства второмусепаратному каналу, имеет вид:
/>.
Передаточная функция разомкнутогосепаратного канала:
/> (1.9)
Определим показательколебательности скорректированного сепаратного канала по формуле (1.2), дляэтого построим АЧХ замкнутого сепаратного канала. (Рисунок 1.7)
/>.
Свойства сепаратного канала поточности, быстродействию и колебательности соответствуют заданным в ТЗ.
/>
Рисунок 1.7 – АЧХ замкнутогосепаратного канала 2 с регулятором
1.2Исследование свойств сепаратных каналов МСАР Прямые и частотные показатели качествапереходного процесса
Для определения прямых показателейкачества переходного процесса получим переходные характеристики первого ивторого сепаратных каналов с помощью программного пакета MATLAB(Приложение 2)
1) Первый сепаратный канал
Переходная характеристика для первогосепаратного канала изображена на рисунке 1.8.
/>
Рисунок 1.8 – Переходнаяхарактеристика первого сепаратного канала
Используя график переходнойхарактеристики определим время переходного процесса как время, по истечениикоторого отклонение управляемой величины от установившегося значения станетменее 5%.
/>
Определим перерегулирование какотношение максимального отклонения управляемой величины от своегоустановившегося значения к установившемуся значению.
/> (1.10)
/>
Частотный показатель качествапереходного процесса – показатель колебательности – был определен в п. 1.1в рамках проверки свойств сепаратного канала.
2) Второй сепаратный канал
Переходная характеристика длявторого сепаратного канала изображена на рисунке 1.9.
/>
Рисунок 1.9 – Переходнаяхарактеристика второго сепаратного канала
Аналогично первому сепаратномуканалу:
/>
Определим перерегулирование поформуле (1.10)
/>
Частотный показатель качествапереходного процесса – показатель колебательности – был определен в п. 1.1в рамках проверки свойств сепаратного канала.Показателиточности
Определим показатели точности ввиде амплитудных (δА) и фазовых (δφ) искаженийна частоте w1=0,3wср2
Частота среза второго сепаратногоканала определена техническим заданием.
wср2=33 рад/с,
w1=0,3∙33=9,9рад/с.
Найдем амплитудно-фазовыеискажения для каждого сепаратного канала по формулам:
/> (1.11)
/> (1.12)
где
/> – частотная передаточная функция замкнутого сепаратногоканала.
1) Первый сепаратный канал
Запишем частотную передаточнуюфункцию замкнутого канала, используя формулу (1.2):
/> (1.13)
Определим амплитудные искажения:
/>
/>
Определим фазовые искажения:
/>,
где Q(w) и P(w) – мнимая идействительная часть частотной передаточной функции замкнутого канала.
/>
2) Второй сепаратный канал
Запишем частотную передаточнуюфункцию замкнутого канала:
/>. (1.14)
Определим амплитудные искажения:
/>
/>
Определим фазовые искажения:
/>Запасыустойчивости
Определим запасы устойчивостисепаратных каналов, используя критерий Найквиста на плоскости ЛЧХ.
Построим ЛЧХ разомкнутыхсепаратных каналов. (Рисунок 1.10)
По графикам определим запасыустойчивости
/> />
/> />
/>
1.3 Исследование свойств исходной МСАР (при Wk(p)=E)
Изобразим структурную схему МСАР сучетом перекрестных связей в многомерном объекте управления (Рисунок 1.11)
/>
Рисунок 1.11 – Структурная схемаМСАР с учетом перекрестных связей в МОУ
Передаточная матрица /> имеет следующий вид:
/>,
где />,/> – передаточные функцииперекрестных связей в объекте управления
/>,
/>.
Устойчивостьисходной МСАР
1) Обобщенный критерий Найквиста
Запишем передаточную матрицуразомкнутой системы, изображенной на рисунке 1.10
/> (1.15)
Выражение для полученияхарактеристического уравнения:
det [E+W(p)] = 0. (1.16)
Здесь [E+W(p)] – матрицавозвратных разностей. Ее определитель представляет собой дробно-рациональнуюфункцию H(p), в числителе которой – характеристический полином jз(p) для замкнутой МСАР, а в знаменателе – характеристическийполином jр(p) для разомкнутойМСАР:
H(p) = jз(p)/jр(p). (1.17)
Эта особенность функции H(p)используется для получения обобщенногокритерия Найквиста приисследовании устойчивости замкнутой МСАР.
С помощью программного пакетаMathCAD найдем характеристический полином разомкнутой МСАР (Приложение 3а).Приравняем полученный полином к нулю и получим корни характеристическогоуравнения разомкнутой МСАР:
/>, />
/>, />
/>, />
/>, />
/>, />
Разомкнутая МСАР находится наапериодической границе устойчивости.
Построим обобщенный годографНайквиста. Произведем замену /> ипредставим определитель матрицы возвратных разностей в виде суммы действительнойи мнимой части:
/>
Построим обобщенный годографНайквиста (рисунок 1.12) с помощью программного пакета MathCAD (Приложение 3б).
/>
Рисунок 1.12 – Обобщенный годографНайквиста
а) годограф на высокочастотномучастке
б) годограф на среднечастотномучастке
в) общий вид годографа
Если разомкнутая система находитсяна апериодической границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой МСАРнеобходимо и достаточно, чтобы обобщенный годограф Найквиста, дополненный научастке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал точку с координатами(0; j0).
Так как обобщенный годографНайквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса,охватывает точку с координатами (0; j0) (рисунок 1.12 в),то замкнутая МСАР является неустойчивой.
2) Метод эквивалентированияотносительно первого канала
Рассмотрим детализирванную доуровня одномерных звеньев структурную схему МСАР (Рисунок 1.13)
/>
Рисунок 1.13 – Детализирванная доуровня одномерных звеньев структурная схема МСАР
Изобразим структурною схему сучетом только внешнего воздействия первого канала регулирования, тогда второйканал регулирования представим эквивалентным звеном (Рисунок 1.14).
Определим передаточную функциюэквивалентного звена:
/> (1.18)
/>
/>
Рисунок 1.14 – Структурная схема сэквивалентным второму каналу регулирования звеном
Запишем передаточную функциюразомкнутой системы
/> (1.19)
Для устойчивости системынеобходимо и достаточно, чтобы все корнии ее характеристического уравнения былилевыми.
Запишем характеристическоеуравнение замкнутой системы:
/>
С помощью программного пакета MathCad найдемего корни (Приложение 4)
/>, />
/>, />
/>, />
/>, />
/>, />
Не все корни характеристического уравнениязамкнутой системы левые, следовательно, система неустойчива.Колебательнаяграница устойчивости
С помощью обобщенного годографа Найквистаподберем такую пару значений параметров К1 и К2,при которых МСАР находится на колебательной границе устойчивости.
Значения параметров /> и />, при которых МСАРнаходится на колебательной границе устойчивости, следующие:
/>,
/>.
Изобразим годограф Найквистасистемы с найденными коэффициентами в области высоких частот (Рисунок 1.15).
/>
Рисунок 1.15 – Обобщенный годографНайквиста при />, />
Проверим правильность найденныхзначений моделированием МСАР (Приложение 5). Графики переходных процессов,полученные в результате моделирования, представим на рисунке 1.16.
/>
Рисунок 1.16 – Переходныехарактеристики
Графики переходных характеристикпредставляют собой незатухающие колебания, следовательно, при заданныхпараметрах система находится на границе устойчивости.Влияниеперекрестных связей на точность МСАР в установившемся режиме
Запишем передаточную матрицузамкнутой системы, изображенной на рисунке 1.10.
/>,
где W(p) – передаточная матрица разомкнутой системы (1.15),определенная в пункте 1.3.1.
Рассматриваемая система имеет двавхода и два выхода, следовательно, передаточная матрица замкнутой системы имеетвид:
/>. (1.20)
Передаточная матрица замкнутойсистемы, соответствующая паре «вх.1 – вых.1», – />, паре «вх.1– вых.2», – />.
Построим АЧХ замкнутой МСАРотносительно пар «вх.1 – вых.1» и «вх.1– вых.2» с помощью программного пакета MathCAD (Приложение 6а).
/>,
/>.
/>
Рисунок 1.17 – АЧХ замкнутой МСАРотносительно пар «вх.1 – вых.1» и «вх.1– вых.2»
Определим ординаты построенныххарактеристик на частоте />/>:
/>,
/>.
За точность МСАР в установившемсярежиме отвечает низкочастотный участок АЧХ, по которому можно определитьамплитудно-фазовые искажения.
Проведем сравнение АЧХ первогосепаратного канала и АЧХ исходной системы относительно пары «вх1-вых1».Представим их на одном графике.
/>
Рисунок 1.18 – АЧХ замкнутой МСАРотносительно пары «вх.1 – вых.1» и первогосепаратного канала
Если предположить, чтоустановившийся режим существует, то, судя по низкочастотному диапазону АЧХ,следствием влияния перекрестных связей является уменьшение амплитудныхискажений на рассматриваемой частоте w1=9.9 рад.Влияниеперекрестных связей на динамические свойства МСАР
Построим графики переходныхфункций относительно пар «вх.1 – вых.1», «вх.1 – вых.2» в программном пакете MathCAD (Приложение 6б) сиспользованием ранее записанной передаточной матрицей замкнутой системы (1.20).
/>
Рисунок 1.19 – Переходных функцийотносительно пар «вх.1 – вых.1», «вх.1– вых.2»
По графикам переходных функцийвидно, что исходная двумерная САР (при />)является неустойчивой. Таким образом, введенные перекрестные связи в объектуправления ухудшают динамические свойства МСАР.
1.4 Расчетпоследовательного компенсатора (частичный синтез автономной САР)
Изобразим структурную схему МСАР споследовательным компенсатором (Рисунок 1.20)
/>
Рисунок 1.20 – Структурная схемаМСАР с учетом перекрестных связей в МОУ
Передаточная матрица компенсатора /> имеет вид
a) /> –для компенсатора с прямыми перекрестными связями;
b) /> –для компенсатора с обратными перекрестными связями,
Здесь
/>.
/>, /> – подлежащиеопределению передаточные функции перекрестных связей последовательногокомпенсатора.Передаточныефункции прямых и обратных перекрестных связей
Необходимым и достаточным условиемполной автономности каналов регулирования является диагональный видпередаточной матрицы Ф(p) замкнутой МСАР относительно задающих воздействий:
Фij(p)=0 при i¹jили Ф(p) =diag{Фii(p)}.
Для структуры с единичнойотрицательной обратной связью (ЕООС) математические условия автономности можнополучить для передаточной матрицы разомкнутой системы.
В рассматриваемом случае САРявляется двумерной, когда число перекрестных связей невелико, их передаточныефункции легко получить на основе принципа двухканальности Б.Н. Петрова.
1) МСАР с прямыми перекрестнымисвязями в компенсаторе
Рассмотрим детализирванную доуровня одномерных звеньев структурную схему разомкнутой МСАР (Рисунок 1.21)
/>
Рисунок 1.21 – Детализирванная доуровня одномерных звеньев структурная схема разомкнутой МСАР
Передаточную функцию прямойперекрестной связи Wx1(p) определим из условия равенства нулю суммы передаточныхфункций двух каналов распространения сигнала ε1(p) до второго выхода МОУ.
/>
/>
/>.
Аналогично определим ипередаточную функцию Wx2(p):
/>
/>
/>
/>.
Динамические свойства автономныхканалов регулирования в общем случае могут отличаться от свойствсоответствующих сепаратных каналов регулирования, получаемых формальнымотбрасыванием всех перекрестных связей и МОУ, и в регуляторе. В случае точногосовпадения этих свойств в МСАР достигается абсолютная автономность, а иначе обычная, простая автономность.
Определим вид автономностисистемы. Для этого сравним передаточные функции разомкнутых автономных и сепаратныхканалов регулирования.
Передаточная функция разомкнутойсистемы с учетом перекрестных связей имеет вид:
/> (1.21)
/>
Передаточнаяматрица разомкнутой системы без учета перекрестных связей:
/>
/>
Соответствующие передаточныефункции разомкнутых автономных и сепаратных каналов регулирования не совпадают,а, следовательно, не совпадают и свойства этих каналов. Значит, наблюдаетсяпростая автономность каналов.
2) МСАР с обратными перекрестнымисвязями в компенсаторе
Рассмотрим детализирванную доуровня одномерных звеньев структурную схему разомкнутой МСАР (Рисунок 1.20)
/>
Рисунок 1.20 – Детализирванная доуровня одномерных звеньев структурная схема разомкнутой МСАР
Передаточную функцию обратнойперекрестной связи Wx1(p) определим из условия равенства нулю суммы передаточныхфункций двух каналов распространения сигнала ε1(p) до второго выхода МОУ.
/>
/>
/>.
Аналогично определим ипередаточную функцию Wx2(p):
/>
/>
/>.
Определим вид автономностисистемы. Для этого сравним передаточные функции разомкнутых автономных исепаратных каналов регулирования.
Передаточная функция разомкнутойсистемы с учетом перекрестных связей имеет вид:
/> (1.22)
/>
Передаточнаяматрица разомкнутой системы без учета перекрестных связей:
/>
/>
Соответствующие передаточныефункции разомкнутых автономных и сепаратных каналов регулирования совпадают, а,следовательно, совпадают и свойства этих каналов. Значит, наблюдаетсяабсолютная автономность каналов.Исследованиечастотных и временных характеристик автономных каналов МСАР
1) МСАР с прямыми перекрестнымисвязями в компенсаторе
Запишем передаточную матрицузамкнутой системы.
/>,
где W(p) – передаточная матрица разомкнутой системы (1.21),определенная в пункте 1.4.1 (1)
Рассматриваемая передаточнаяматрица имеет вид:
/>.
где />,/> – передаточные функциизамкнутых автономных каналов регулирования.
Построим АЧХ для каждого изавтономных каналов (Приложение 7а)
/>
Рисунок 1.21 – АЧХ замкнутыхавтономных каналов регулирования
Определим показательколебательности по формуле (1.2):
/>
/>
Построим переходные характеристики(рисунок 1.22) для каждого из автономных каналов регулирования (Приложение 7б).
По графикам переходных функцийвидно, что переходный процесс расходится.
/>
Рисунок 1.22 – Переходныехарактеристики автономных каналов регулирования
2) МСАР с обратными перекрестнымисвязями в компенсаторе
Поскольку в п. 1.4.1доказано, что при включении последовательного компенсатора с обратнымиперекрестными связями наблюдается абсолютная автономность каналоврегулирования, то характеристики автономных каналов регулирования совпадают саналогичными характеристиками сепаратных каналов.
Проверим это моделированием МСАР впрограммном пакете MATLAB. Получим переходные характеристики автономных каналов МСАРс обратными перекрестными связями.
/>
Рисунок 1.23 – Переходныехарактеристики автономных каналов регулирования МСАР с обратными ПС
Определим время переходногопроцесса и перерегулирования по графикам.
/> />
/> />
Отметим, что значения прямыхпоказателей качества переходного процесса автономных каналов МСАР с обратнымиперекрестными связями совпадают с аналогичными показателями сепаратных каналов.
Поскольку исходная МСАРнеустойчива, говорить о прямых показателях качества системы некорректно.Устойчивостьавтономной МСАР
Передаточная матрица разомкнутойсистемы определена в п. 1.4.1.
Используя передаточные функцииразомкнутых автономных каналов регулирования построим ЛЧХ для каждого изслучаев перекрестных связей и определим запасы устойчивости автономных каналоврегулирования.
1) МСАР с прямыми перекрестнымисвязями в компенсаторе
С помощью программного пакета MathCadпостроим графики ЛЧХ для каждого из разомкнутых каналов регулирования (Приложение9а).
По графикам ЛЧХ (рисунок 1.24)видно, что критическая частота меньше частоты среза, следовательно, автономныеканалы регулирования с прямыми перекрестными связями в компенсаторенеустойчивы, а, следовательно, неустойчива и рассматриваемая МСАР.
Добьемся устойчивости автономныхканалов регулирования.
Рассматриваемые выше сепаратныеканалы устойчивы и удовлетворяют требованиям ТЗ по точности, быстродействию иколебательности.
Передаточные функции каждого изсепаратных каналов в общем виде записываются:
/>,
/>;
/>
Рисунок 1.24 – ЛЧХ автономныхканалов регулирования МСАР с прямыми ПС в компенсаторе
Сравним их с передаточнымифункциями автономных каналов регулирования, которые имеют вид:
/>
/>
Отметим, что если ввести в цепькаждого автономного канала такое корректирующее устройство, котороекомпенсировало бы множитель />, топередаточные функции автономных каналов регулирования совпадут с передаточнымифункциями сепаратных каналов, будет наблюдаться абсолютная автономность каналовМСАР и следующее из этого удовлетворение рассматриваемыми каналами требованийТЗ.
Таким корректирующим устройствомбудет включенный последовательно в цепь контур следующего вида:
/>
Представим структурную схемускорректированной МСАР с прямыми перекрестными связями в компенсаторе.
/>
Рисунок 1.25 – Детализированная доуровня одномерных звеньев структурная схема скорректированной МСАР с прямыми ПС
Построим ЛЧХ автономных каналоврегулирования. (Рисунок 1.26).
Определим запасы устойчивости.
/> />
/> />
Поскольку введениемкорректирующего контура удалось добиться абсолютной автономности системы,запасы устойчивости автономных каналов регулирования МСАР с прямымиперекрестными связями совпадают с запасами устойчивости сепаратных каналоврегулирования.
Из устойчивости автономных каналоврегулирования следует устойчивость и рассматриваемой МСАР.
/>
Рисунок 1.26 – – ЛЧХ автономныхканалов регулирования с МСАР с прямыми ПС в компенсаторе
2) МСАР с обратными перекрестнымисвязями в компенсаторе
С помощью программного пакета MathCadпостроим графики ЛЧХ для каждого из разомкнутых каналов регулирования (Приложение9б).
По графикам ЛЧХ видно, что критическаячастота больше частоты среза, следовательно, автономные каналы регулирования собратными перекрестными связями в компенсаторе устойчивы.
Определим запасы устойчивости.
/> />
/> />
/>
Рисунок 1.24 – ЛЧХ автономныхканалов регулирования
Поскольку в п. 1.4.1доказано, что при включении последовательного компенсатора с обратнымиперекрестными связями наблюдается абсолютная автономность каналов регулирования,то запасы устойчивости автономных каналов регулирования совпадают с запасамиустойчивости сепаратных каналов.
Из устойчивости автономных каналоврегулирования следует устойчивость и всей рассматриваемой МСАР.
Показатели точности в видеамплитудных искажений на частоте w1=9.9c-1 для сепаратныхканалов регулирования были определены в п. 1.2.2. Эти величины совпадают самплитудными искажениями автономных каналов регулирования МСАР с обратнымиперекрестными связями в компенсаторе и прямыми перекрестными связями вкомпенсаторе с учетом корректировки, так как в данных случаях наблюдаетсяабсолютная автономность каналов регулирования.
Амплитудные искажения автономныхканалов регулирования МСАР с прямыми перекрестными связями в компенсаторе безучета корректировки определим по графику АЧХ для этих каналов, изображенному нарисунке 1.21.
/>
Составим сравнительную таблицуамплитудных искажений для автономных каналов регулирования и сепаратных каналоврегулирования.
Таблица 1 – Амплитудные искажения
Сепаратные каналы
Автономные каналы
1 канал
2 канал
Прямые ПС
Прямые ПС
До корректировки
После корректир.
1 канал
2 канал
1 канал
2 канал
1 канал
2 канал
Амплитудные искажения /> 8,2 15 0,11 0,14 8,2 15 8,2 15
Предполагая, что установившийсярежим существует для каждого из вариантов перекрестных связей в компенсаторе,можно отметить, что прямые перекрестные связи обеспечивают большую точность повеличине амплитудных искажений.
2. Синтез и исследование микропроцессорной МСАР
2.1Функциональная схема цифровой МСАР. Расчетная структурная схема
Перейдем от непрерывной МСАР кцифровой. Для этого произведем замену непрерывного корректирующего устройствана цифровое корректирующее устройство.
Изобразим функциональную схемуцифровой МСАР.
/>
Рисунок 2.1 – Функциональная схемацифровой МСАР
ЦВУ, АЦП и ЦАП – цифровоекорректирующее устройство (ЦКУ), работающее с периодом />.
Структурный метод основан назамене «нестандартных» элементов, какими являются устройства дискретногодействия, их эквивалентными схемами замещения с последующими структурнымипреобразованиями.
Основными этапами структурногометода при получении расчетных структурных схем являются следующие:
1. Замещение. Все устройства дискретногодействия в составе исходной структурной схемы заменяются своими эквивалентнымисхемами замещения. Формирователи импульсов ФИ, а так же фиксаторы объединяютсяс расположенными следом за ними непрерывными частями НЧ с образованием приведенныхнепрерывных частей ПНЧ.
2. Дискретизация выхода. Выходной сигналсистемы рассматривается только в дискретные моменты времени tk=kT0. Формально это соответствует размещению фиктивного ключа вцепи наблюдения на выходе непрерывной части и не влияет на вид процессов всистеме.
3. Структурные преобразования. Выполняютсядопустимые преобразования полученной выше промежуточной структурной схемы.
4. Определение дискретных звеньев.Выявляются участки структурной схемы, для которых как входы, так и выходыявляются дискретными сигналами. Эти участки структурной схемы объявляютсядискретными звеньями.
Применим данный метод для исходнойструктуры.
1) Замещение
Представим эквивалентные схемызамещения для устройств дискретного действия.
а) АЦП
/>
б) ЦВУ
/>
в) ЦАП
/>
2) Дискретизация выхода
Разместим фиктивный ключ в цепинаблюдения на выходе непрерывной части.
/>
3) Структурные преобразования.
Выполним допустимые структурныепреобразования.
Ключ с выхода сумматора перенесемна его входы.
Коэффициенты К1 и К2удовлетворяют условию К2=1/К1.
Последовательность фиксатора инепрерывной части представляют собой приведенную непрерывную часть.
Последовательно расположенныефиксатор и ключ не изменяют дискретного сигнала.
4) Определение дискретных звеньев.
Последовательно соединенные ПНЧ иключ образуют дискретное звено приведенной непрерывной части ДЗПНЧ.
Таким образом, изобразим расчетнуюструктурную схему:
/>
Рисунок 2.2 – Расчетнаяструктурная схема
2.2 Период дискретизации To. Дискретныепередаточные матрицы диагонального регулятора и компенсатора
Согласно методу аналоговогопрототипа, шаг дискретизации То можно определить, зная частоту среза ср и запас устойчивости по фазе зап автономных каналов регулированиянепрерывной МСАР с обратными перекрестными связями в компенсаторе.
/>;
Здесь δ –допустимое уменьшение запаса устойчивости по фазе. Зададимся значением 6%.
Используя данныепункта 1.4.3 определим шаг дискретизации для каждого из автономных каналов.
/>, /> с,
/>, /> с.
Выберем из полученных значенийшага дискретизации меньшее. Расчетное значение периода дискретности цифровойМСАР
/>.
Согласно методу аналоговогопрототипа и аппроксимации интеграторов по методу трапеций определим дискретныепередаточные матрицы «диагонального» регулятора и компенсатора.
Осуществим следующую замену:
/>
/>,
/>,
/>
/>.
/>,
/>
2.3Переходные характеристики МСАР относительно пар «вх1-вых1» и «вх1-вых2»
Далее проведем сравнениепереходных характеристик автономной МСАР с обратными перекрестными связями вкомпенсаторе и цифровой МСАР с обратными перекрестными связями в компенсаторе.Переходные характеристики автономной МСАР с прямыми перекрестными связями вкомпенсаторе после корректировки совпадают с переходными характеристикамиавтономной МСАР с обратными перекрестными связями в компенсаторе, так как и втом, и в другом случаях наблюдается абсолютная автономность.
Методом компьютерного моделированияв программном пакете VisSim получим переходные характеристики относительно пар «вх1-вых1»и «вх1-вых2» непрерывной МСАР с обратными ПС в компенсаторе. (Приложение 10)
Для получения переходныххарактеристик цифровой МСАР проведем некоторое структурное преобразование.Рассчитаем передаточную матрицу компенсатора и включим в системунепосредственно его.
/>,
/>
Сравним графики переходныххарактеристик относительно пар «вх1-вых1» для непрерывной и дискретной МСАР
/>
Рисунок 2.3 – Переходныехарактеристики относительно пар «вх1-вых1» для дискретной и непрерывной МСАР
Определим время переходногопроцесса и перерегулирование для каждого из вариантов:
/>
/>
Можно отметить, что прямыепоказатели качества переходного процесса непрерывной МСАР лучше, несмотря нато, что время переходного процесса в данном случае у дискретной МСАР меньше,так как его определение проводилось на уровне 5%. Если увеличить требования кточности, то время переходного процесса для дискретной МСАР увеличитсязначительнее, нежели для непрерывной МСАР.
Сравним графики переходныххарактеристик относительно пар «вх1-вых2» для непрерывной и дискретной МСАР
/>
Рисунок 2.3 – Переходныехарактеристики относительно пар «вх1-вых2» для дискретной и непрерывной МСАР
График переходнойфункции дискретной МСАР относительно пары «вх.1 – вых. 2» не совпадает саналогичным графиком переходной функции непрерывной МСАР. Это свидетельствует огрубой автономности каналов регулирования цифровой МСАР.
Определимподбором на модели новое расчетное значение шага дискретизации />, при котором свойствоавтономности для цифровой САР можно считать практически выполненным.
Увеличим шагдискретизации. Получим переходные характеристики для /> /> /> />
/>
Рисунок 2.4 – Переходныехарактеристики относительно пар «вх1-вых2» для дискретной МСАР с различными То
Попытка увеличитьшаг дискретизации приводит к увеличению максимального отклонения управляемойвеличины от установившегося значения и времени установления.
Уменьшим шагдискретизации. Получим переходные характеристики для /> /> /> />/> (Рисунок 2.5)
Из графиковвидно, что уменьшая шаг дискретизации можно добиться уменьшения максимальногоотклонения управляемой величины от установившегося значения. Оптимальноезначение /> так как в этом случае наблюдается минимальное значение hmax(t), в то же время достаточно быстро достигается установившеесязначение.
/>
Рисунок 2.5 – Переходныехарактеристики относительно пар «вх1-вых2» для дискретной МСАР с различными То
Таким образом, при />автономность является менеегрубой, при таком значении шага дискретизации свойство автономности можносчитать практически выполненным
2.4Устойчивость цифровой МСАР
Запишемпередаточную матрицу приведенной непрерывной части:
/>,
/>. (2.1)
Запишем частотную передаточнуюматрицу ДЗ ПНЧ:
/>, (2.2)
где />,здесь />частота дискретизации.
Определим значение частотыдискретизации:
/>
Получим передаточную матрицуцифрового корректирующего устройства по методу трапеций подстановкой />:
/> (2.3)
Частотно-передаточная матрицаразомкнутой системы запишется в виде
/>
Определитель матрицы возвратныхразностей:
/>
Построим обобщенный годограф Найквистас помощью MathCAD.
/>
а) б)
Рисунок 2.6 – Обобщенный годографНайквиста цифровой МСАР
а) общий вид годографа Найквиста
б) построение годографа в областивысоких частот;
Разомкнутая система не имеетправых корней характеристического уравнения, поэтому для устойчивости замкнутойМСАР необходимо и достаточно, чтобы обобщенный годограф Найквиста, дополненныйна участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал точку скоординатами (0; j0). Так как обобщенный годограф Найквиста, дополненный научастке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает точку скоординатами (0; j0), то цифровая МСАР при /> являетсяустойчивой.
Проверим устойчивость цифровойМСАР с помощью обобщенного критерия Найквиста при увеличенном в три раза расчетномзначении />:
/>
Передаточнуюматрицу приведенной непрерывной части, частотнуюпередаточную матрицу ДЗ ПНЧ, дискретную передаточную матрицу цифрового корректирующегоустройства определим по формулам (2.1) – (2.3).
Построим годограф Найквиста спомощью программного пакета MathCAD.
/>
а) б)
Рисунок 2.7 – Обобщенный годографНайквиста цифровой МСАР
а) общий вид годографа Найквиста
б) построение годографа в областивысоких частот;
Разомкнутая система не имеетправых корней характеристического уравнения, поэтому для устойчивости замкнутойМСАР необходимо и достаточно, чтобы обобщенный годограф Найквиста, дополненныйна участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал точку скоординатами (0; j0). Так как обобщенный годограф Найквиста, дополненный научастке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает точку скоординатами (0; j0) (см. рисунок 2.17 б)), то цифровая МСАР при /> является устойчивой, нозапасы устойчивости системы уменьшаются (обобщенный годограф Найквиста при /> пересекает координатныеоси плоскости ближе к точке (0; j0), чем при />).
2.5 Реакция цифровой МСАР нагармоническое воздействие
Получим реакцию цифровой МСАР попервому каналу на гармоническое воздействие с частотой w1=9.9 и сравним ее с аналогичной реакцией первого сепаратногоканала.
/>
Рисунок – Реакция цифровой МСАР попервому каналу и первого сепаратного канала на гармоническое воздействие счастотой w1=9.9.
Сравним амплитуды колебаний выходногосигнала первого канала цифровой МСАР и первого сепаратного канала:
/>
/>
Таким образом, можно сделать выводо достаточно высокой точности МСАР, так как реакции цифровой МСАР по первомуканалу на гармоническое воздействие практически совпадает с реакцией нааналогичное воздействие первого сепаратного канала, амплитуды колебанийвыходных сигналов различаются незначительно.
Библиографический список
1. СТО ЮУрГУ 04–2008 Стандарт организации.Курсовое и дипломное проектирование. Общие требования к содержанию и оформлению/ составители: Т.И. Парубочная, Н.В. Сырейщикова, В.И. Гузеев, Л.В. Винокурова. –Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008, – 56 с.
2. Автоматизированное проектированиесистем автоматического управления /.А. Алексанкин, А.Е. Бржозовский, В.А. Жданови др.; под ред. В.В. Солодовнива. – М.: Машиностроение, 1990. – 335 с.
3. Автоматизированное управлениетехнологическими процессами: учебное пособие / Н.С. Зотов, О.В. Назаров,Б.В. Петелин, В.Б. Яковлев; под ред. В.Б. Яковлева. – Л.: Изд-воЛГУ, 1988. – 224 с.
4. Александров, А.Г. Синтезрегуляторов многомерных систем/ А.Г. Александров. – М.:Машиностроение, 1986. – 272 с.
5. Баранчук, Е.И. Взаимосвязанные имногоконтурные регулируемые системы Баранчук. – Л.: Энергия, 1968. – 267 с.
6. Барковский, В.В. Методы синтезасистем управления/ В.В. Барковский, Н., Захаров, А.С. Шаталов. – М.:Машиностроение, 1969. – 325 с.
7. Бусленко, Н.П. Лекции по теориисложных систем / Н.П. Бусленко и др. – М.: Сов. радио, 1973.
8. Васильев, В.Н. Многоуровневоеуправление динамическими объектами / Васильев и др. – М.: Наука, 1987.
9. Воронов, А.А. Введение вдинамику сложных систем управления / – М.: Наука, 1985.
10. Зырянов, Г.В. Системы управления многосвязнымиобъектами: учебное пособие / Г.В. Зырянов. – Челябинск: Издательскийцентр ЮУрГУ, 2010.
11. Катковник, В.Я. Многомерные дискретные системыуправления / В.Я. Катковник, Р.А. Полуэктов. – М.: Наука, 1966.– 416 с.
12. Морозовский, В.Т. Многосвязные системыавтоматического регулирования/ В.Т. Морозовский. – М.: Энергия, 1970. –288 с.
13. Острем, К. Введение в стохастическую теориюуправления/ К. Острем. – М.: Мир, 1973. – 320 с.
14. Рэй, У. Методы управления технологическимипроцессами / У. Рэй. – М.: 1983.
15. Соболев, О.С. Методы исследования линейныхмногосвязных систем – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 464 с.
16. Чинаев, П.И. Методы анализа и синтеза многомерныхавтоматических систем / П.И. Чинаев. – Киев: Техника, 1969. – 377 с.
17. Янушевский, Р.Т. Теория линейных оптимальныхмногосвязных систем управления / Р.Т. Янушевский. – М.: Наука, 1973. –464 с.
18. Зырянов, Г.В. Линейные дискретные системыуправления / Г.В. Зырянов. – Минск: Изд-во ЮУрГУ, 2005. – 109 с.