Содержание
Введение
Задание на курсовуюработу
1.Расчет наблюдателяЛюенбергера
2.Оценивание векторасостояний с помощью наблюдателя Люенбергера
Заключение
Список используемойлитературы и ПО
Введение
На практике достаточно распространенной является ситуация, когдане все компоненты вектора состояний доступны для измерения. В этом случае, чтобыв системе управления возможно было использовать обратную связь по состоянию, необходимовосстановить вектор состояния системы, недоступный для измерения. Восстановлениевектора состояния называется его оценкой, а устройства, формирующие на выходе вектороценки состояний, а также позволяющие отделить полезный сигнал от помех, наблюдателями(идентификаторами, фильтрами).
Наблюдатель может иметь порядок, равный порядку системы (наблюдательполного порядка, например фильтр Калмана), который оценивает вектор состояния учитываявсе переменные состояния, или меньший, по сравнению с системой (наблюдатель пониженногопорядка, наблюдатели Люенбергера), который имеет размерность на 1 или на количествоизмеряемых компонент меньше, чем система. Последний формирует новый вектор, в которомучитываются только те компоненты вектора состояния, которые не доступны для измерения.
В случае отсутствияшумов в измерениях для получения оценки координат вектора состояния возможно уменьшитьпорядок наблюдателя, непосредственно используя содержащуюся в выходных переменныхинформацию о состоянии объекта. Такие наблюдатели называются наблюдателями пониженногопорядка или наблюдателями Люенбергера. В них размерность вектора состояния уменьшаетсяна число компонент измеряемого вектора.
Задание на курсовую работу
Дана непрерывнаясистема с передаточной функцией
/>
Оценить состояниеобъекта с помощью наблюдателя пониженного порядка (Люинбергера).
1. Расчетнаблюдателя Люенбергера
Доступной наблюдениюсчитается лишь вторая компонента вектора состояния системы. Требуется построитьнаблюдатель пониженного порядка для восстановления первой компоненты при подачена вход единичного входного воздействия.
Рассмотрим решениеданной задачи с использованием MatLab.
Представим передаточнуюфункцию следующим образом:
/>
Зададим системув пространстве состояний и сформируем матрицы системы:
/>/>/>sys=ss(tf([0 7,5], [9 1 0]));
[A,B,C,D]=ssdata(sys)
В результате этогополучим:
/>
/>
/>
/>
Определениепорядка объекта и индекса наблюдаемости.
Порядок объектаn равен размерности матрицыА, а индекс наблюдаемости
p– рангу матрицы С. Тогдаполучаем:
/>
Уравнения наблюдателяпониженного порядка имеет вид:
/>
Где Hи G— матрицы размерности /> и />соответственно.
Уравнения описанияискомого наблюдателя для заданных значений /> и/> примут вид:
/>
Найдем параметры/>. Из условия наблюдателя пониженногопорядка:
/>
В нашем случаеэто будет выглядеть следующим образом:
/>.
С учетом численныхзначений будут иметь вид:
/>
Из условия физическойреализуемости полагают />таким, чтобы обеспечитьжелаемое время переходного процесса в наблюдателе. Выберем />, значение параметра /> положим произвольным: />. С учетом этих значений найдемс помощью пакета MATLAB коэффициенты
матрицы Т.
/>/>/>/>a1=-10;
a2=1;
T=a2*C/(A-a1*eye(2))
Получим:
/>
Далее определимпараметр /> из условия[1] /> следует:
/>.
Используя пакетMATLAB, получаем:
/>/>/>/>b1=T*B
b1 =
0.0730
Затем найдем матрицыH и G:
/>
/>
/>
Решим методомКрамера:/>/>/>/>
/>
После решениямы получим:
/>/>
В соответствиис проведенными вычислениями уравнения наблюдателя принимают вид:
/>
2. Оцениваниевектора состояний с помощью наблюдателя Люенбергера
Зададим полученныекоэффициенты в MatLab.
/>a1=-10;
a2=1;
b1=-0.0730;
/>;
/>
/>
В среде Simulink системы Matlab построим структурную схемуобъекта и наблюдателя.
/>
Рис 1 – Simulink-модель объекта и наблюдателя.
На данной моделиприняты обозначения:
X,Y – вектор состояния и векторизменения объекта;
XL – вектор состояния наблюдателя(т.е. оценка вектора состояния объекта).
Запись A*uvec, B*uvec, C*uvec, G*uvec, H*uvec, a1*uvec, a2*uvec и b1*uvec обозначает векторное умножениеA, B, C, G или H и скалярных величин a1, a2, b1 на соответствующий входнойсигнал.
Построим графикивектора состояния
/>/>/>/>t=0:0.1:10;
figure(1);
plot(t, X(:,1),'b',t,XL(:,1),'or');
grid;
figure(2);
plot(t, X(:,2),'b',t,XL(:,2),'or');
grid;
/>
/>Рис. 2 – истинные и восстановленные значениякоординат первой компоненты вектора состояния системы
/>
Рис. 3 – истинныеи восстановленные значения координат второй компоненты вектора состояния системы
На рисунках 2и 3 линией показаны истинные />кривыезначения вектора координат объекта, а символами ‘o’ – восстановленные. Из графиковможно сделать вывод, что при отсутствии помех, в «идеальных условиях», с помощьюнаблюдателя пониженного порядка можно очень точно оценить координаты вектора состояния.Но в зашумленных условиях, наблюдатель Люинбергера ведет себя неадекватно, т.к.,в отличие от наблюдателя полного порядка (фильтр Калмана), оцениваются и учитываютсялишь неизвестные компоненты вектора состояния. Если же на выход системы подать помеху,то в системепри измерении, наблюдатель неверно оценивает координаты вектора состояния.
Заключение
Наблюдатель пониженногопорядка проще реализуем и достаточно точен при использовании его в системах, гдепомехи незначительны или отсутствуют. К сожалению, на практике зачастую приходитсяиметь дело с сильно зашумленными сигналами и соответственно пользоваться наблюдателямипониженного порядка нежелательно. В данной ситуации целесообразно использовать наблюдательполного порядка, например фильтр Калмана.
Список используемой литературы и программного обеспечения
/>1. ДилигенскаяА. Н. Идентификацияобъектов управления. – Самара.: Самарский государственный технический университет2009.
2. АндреевЮ.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.
Программное обеспечение:
1. Microsoft Office 2007
2. MATLAB 2010