Содержание
Введение
1. Основные понятия о передаточныхфункциях БИХ-фильтров
2. Структурная схема БИХ-фильтра
3. Методы расчета цифровых БИХ-фильтрови вид целевой функции
4. Описание метода синтеза фильтра
5. Результаты синтеза
Выводы
Список используемой литературы
Введение
Непрерывноразвивающаяся цифровая техника, увеличение скорости вычислений и номенклатурывыполняемых операций приводит к широкому внедрению различных методов цифровойобработки сигналов в радиоэлектронных системах. Применение этих методов позволяетво многих случаях использовать для обработки сигналов точные оптимальныеалгоритмы. Такие алгоритмы были получены уже давно, исходя из статистическихсвойств сигналов и шумов, но их реализация в аналоговом виде была невозможна.Область применения цифровых методов неуклонно расширяется и одной из основныхявляется цифровая фильтрация.
Фильтрацией называется процессизменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этотпроцесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих внекотором диапазоне частот. К подавлению или выделению какой-либо частотнойсоставляющей и т.п. Фильтрация нашла многочисленные применения, например, дляподавления шума, маскирующего сигнал, для устранения искажения сигнала, дляразделения двух или более различных сигналов, для разложения сигналов начастотные составляющие, для демодуляции сигналов, для преобразования дискретныхсигналов в аналоговые, для ограничения полосы частот, занимаемой сигналами.
Любой аналоговый сигнал,ограниченный по частоте, можно преобразовать в дискретный, используя теоремуКотельникова, проквантовать его и, получив цифровой сигнал, подвергнуть егоцифровой фильтрации. Использование цифровых фильтров обусловлено следующими ихпреимуществами по сравнению с аналоговыми:
1. Возможность реализации фильтров слюбыми импульсными и частотными характеристиками в пределах полосы частот,обеспечиваемой преобразователями АЦП и арифметических устройств. При этом можнопостроить устройства, реализация которых в аналоговом виде невозможна.
2. Отсутствие негативных факторов(инерционность энергоемких элементов, влияние паразитных связей междуотдельными узлами, несогласование узлов по входному сопротивлению).
3. Повторяемость характеристик.
4. Высокая точность воспроизведенияоператоров преобразования и стабильность характеристик.
5. Нечувствительность к изменениямвнешних условий.
6. Высокая надежность в работе.
7. Возможность диагностики исамодиагностики.
8. Модернизация в процессеэксплуатации.
9. Простота осуществления устройствпамяти.
10. Малые габариты и вес.
1.Основныепонятия о передаточных функциях БИХ-фильтров
Дискретным фильтромназывается устройство, точно реализующее следующий алгоритм:
/>
где />) и />) – n-еотсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно, а ajиbl – коэффициенты. Выражение(1) представляет собой разностное уравнение.
Если коэффициенты ajиblзависяттолько от текущего индекса n(то есть являются функция времени) и не зависят от значений {xn}и {yn}, то фильтр называетсялинейным импульсным фильтром, а уравнение (1) – линейным разностным уравнением.Если же ajиbl-просто постоянные коэффициенты, то фильтр называется линейным инвариантным вовремени дискретным фильтром, а (1) – линейным разностным уравнением спостоянными коэффициентами.
Для вычисления ynпри n=0,1,2,3, необходимозадать начальные условия – значения y(-Дt),y(-2Дt),...,y(-MДt)и значений x(-Дt),x(-2Дt),,x(-MДt).В дальнейшем предполагается, что заданы нулевые начальные условия.
Из выражения (1) видно,что для вычисления выходных отсчетов фильтра необходимо выполнять лишь триоперации:
· задержку(запоминание) N и Mотсчетов соответственно входного и выходного сигналов;
· умножение;
· алгебраическоесложение.
Реализация выражения(1) с малыми погрешностями, не зависящими от температуры, влажности и т.д.,возможна только с помощью цифрового устройства.
Цифровое устройство,реализующее алгоритм (1), называется цифровым фильтром. В таких фильтрахвходной и выходной сигналы являются цифровыми, представленными двоичнымикодами. Поскольку при цифровом представлении сигналов xn,yn и коэффициентов ajиblиспользуетсяконечное число двоичных разрядов, вычисления по алгоритму (1) происходит спогрешностью. Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелинейныеустройства, к которым не применимы методы анализа и синтеза линейных систем.Однако количество разрядов в кодах, как правило, настолько велико, чтопогрешностью представления указанных величин в цифровой форме можно пренебречьи при анализе считать их точными, то есть представленными бесконечным числомдвоичных разрядов. Конечность числа разрядов обычно учитывается при определенииточности цифровых фильтров.
Существуют цифровыефильтры двух классов:
· рекурсивные;
· нерекурсивные.
Если в выражении (1)хотя бы один из коэффициентов ajнеравен нулю, то реализуемый цифровой фильтр называется рекурсивным. Если же ввыражении (1) все коэффициенты ajравнынулю, то есть то фильтр, реализующий этоталгоритм, называется нерекурсивным.
/>(2)
Нерекурсивный фильтрявляется устройством без обратной связи, а рекурсивный фильтр – устройством собратной связью. Нерекурсивный фильтр принято называть фильтром с конечнойимпульсной характеристикой (КИХ-фильтр), а рекурсивный фильтр — фильтром сбесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).
Так как в курсовойработе рассматривается синтез БИХ-фильтра, то в дальнейшем будем рассматриватьтолько фильтры данного типа.
Анализ свойств цифровыхфильтров производится в рамках теории z-преобразования,которое имеет такое же значение, как теория преобразования Лапласа при изучениианалоговых фильтров.
Передаточной функцией H(z)фильтра называется отношение z-образавыходного сигнала {yn}к z-образу входного сигнала {xn}при нулевых начальных условиях:
/> (3)
Применив к выражению(1) z-преобразование и учтянулевые начальные условия у-М=у-М+1=…=у-1=х-N=х-N+1=…=x-1=0,получим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра:
/> (4)
Выражение (3) можнопреобразовать к следующему виду:
/> (5)
Где
/>
/>
Y(z)– z-образ вспомогательного дискретногосигнала {yn}.Из этих соотношений видно, что алгоритм работы фильтра можно задать в видесистемы разностных уравнений вместо одного уравнения:
/> (6)
/>
Первое уравнениесоответствует передаточной функции H1(z),а второе – передаточной функции H2(z).
Формы реализациирекурсивного цифрового фильтра, построенные на основании формул (1) и (5),называются прямой и канонической соответственно.
Обычно рекурсивныефильтры большого порядка (при большом М) в прямой и рекурсивной формах нереализуют, так как при этом наблюдается значительный уровень шумов на выходе,обусловленных конечной разрядностью кодов, циркулирующих в фильтре. Поэтомуфильтры большого порядка реализуют в виде совокупности отдельных звеньев,каждое из которых соответствует простому разностному уравнению. Универсальным,пригодным для построения любых фильтров, является биквадратный блок с передаточнойфункцией
фильтрсинтез передаточная функция
/>/> , (7)
где /> и /> - постоянные коэффициенты.
Возможны два вариантасоздания фильтров из отдельных биквадратных блоков:каскадная;параллельная.
Каскадной схемесоответствует разложение передаточной функции (4) на множители типа
/> (8)
Реализация рекурсивногофильтра в параллельной форме соответствует представлению передаточной функции(4) в виде суммы простых дробей:
/> (9)
Это выражениесоответствует случаю отсутствия кратных корней в правой части (4). Каждоеслагаемое реализуется в виде биквадратных блоков. Все эти блоки соединяютсяпараллельно. Если же есть кратные корни, то может понабиться последовательноесоединение биквадратных звеньев для кратных корней.
2.Структурная схема БИХ-фильтра
Исходя из техническогозадания необходимо привести структурную схему фильтра в каноническом виде и ввиде последовательного соединения звеньев первого и второго порядка.
Каноническая формареализации рекурсивного фильтра выглядит следующим образом:
/>
Форма реализациирекурсивного фильтра в виде последовательного соединения звеньев первого ивторого порядка представлена на следующем рисунке:
/>/> /> /> /> /> /> /> />
3.Методырасчета БИХ-фильтров и вид целевой функции
Расчет БИХ-фильтровможно вести в частотной и временной областях. При расчете в частотной областииспользуется синтез по аналоговому и цифровому прототипам. Численные методырасчета разработаны для применения в частотной и временной областях.
Синтез по аналоговомупрототипу основан на преобразовании p-плоскостив z-плоскость, ахарактеристик и параметров аналоговых фильтров — в соответствующиехарактеристики и параметры цифровых фильтров. Передаточная функция аналоговогофильтра на p-плоскости в общем видеможет быть записана так:
/>. (1)
Для перехода к функции /> и разностному уравнению ЦФсуществуют следующие четыре метода.
Метод 1.Отображение дифференциалов. Это наиболее простой метод, сущностькоторого заключается в замене дифференциалов на конечные разности. Воператорном уравнении (1), если дифференциалы заменяются прямыми разностями, то
/> или />,
а если обратными, то
/> или/>.
Недостатком методаявляется неполное соответствие частотно-избирательных свойств ЦФ свойстваманалогового прототипа. Кроме того, при использовании прямых разностейустойчивый аналоговый фильтр — прототип отображается в неустойчивый ЦФ.Поэтому, несмотря на простоту, применять этот метод не рекомендуется.
Метод 2. Инвариантноепреобразование импульсной характеристики (стандартное Z-преобразование).Сущность метода заключается в расчете импульсной характеристики (ИХ) ЦФ поаналоговому прототипу и вычислении системной (передаточной) функции ЦФ.
Достоинством данногометода является подобие импульсных характеристик ЦФ и аналогового прототипа;простота. Недостатком же является наличие эффекта наложения частотныххарактеристик ЦФ, если полоса пропускания аналогового прототипа превышает />. Поэтому точность расчетовЦФ по данному методу тем выше, чем меньше отношение />,где /> - верхняя частота полосыпропускания ЦФ; /> - частотадискретизации.
Метод 3. Согласованное Z-преобразование.Полюсы и нули аналогового прототипа на p-плоскостиотображаются в полюсы и нули ЦФ на z-плоскостипо правилу:
/>.
Для реализации этогометода передаточную функцию аналогового прототипа представляют в видепроизведения сомножителей
/>,
где />, /> - действительные иликомплексно-сопряженные коэффициенты. Метод согласованного Z-преобразованияне применим, если передаточная функция аналогового прототипа имеет толькополюсы (нули расположены в бесконечности). Для устранения этого недостатка прирасчетах фильтров с нулями в бесконечности рекомендуется вводить полюс того жепорядка, что и нуль, в точке />.
Метод 4. Билинейное(дробно-линейное) Z-преобразование.При отображении p-плоскости в z-плоскостьвся мнимая ось />, /> отображается в единичнуюокружность. Для этого необходимо выбирать нелинейную монотонную функцию частоты.Эта функция должна изменяться в пределах от /> до/> на оси частотдискретизации при изменении /> от /> до />. В качестве такой функциикомплексных частот можно выбрать гиперболический тангенс
/> или/>, (2)
которому при /> соответствует обычныйтангенс
/>.
Гиперболический тангенсв выражении (2) можно представить следующим образом:
/>. (3)
Таким образом,комплексная плоскость pпреобразуется в комплексную z-плоскостьзаменой переменных (3).
С помощью билинейных Z-преобразованийможно от аналогового ФНЧ — прототипа перейти к ЦФ нижних частот (НЧ), верхнихчастот (ВЧ), полосовому, режекторному, гребенчатому и др.
Билинейное Z-преобразованиеобладает следующими достоинствами: во-первых, физически реализуемый иустойчивый аналоговый фильтр отображается в физически реализуемый и устойчивыйЦФ: во-вторых, отсутствуют проблемы, связанные с наложениями: в-третьих,нелинейность шкалы частот ЦФ, преобразованного из прототипа, можно учесть дляширокого класса фильтров.
Недостатком этогометода является не совпадение импульсной и фазовой характеристик рассчитанногопрототипа, поэтому необходимо вводить корректоры и усложнять конструкцию ЦФ.Тем не менее метод билинейного Z-преобразованияявляется самым распространенным аналитическим методом расчета ЦФ.
Для синтеза БИХ ЦФ поцифровому прототипу используются преобразования ЦФ НЧ с безразмерной частотойсреза /> в ЦФ НЧ с другой частотойсреза, ЦФ ВЧ, полосовой, режекторный или гребенчатый фильтры. Методика расчетапо цифровому прототипу проще, чем методика расчета по аналоговому прототипу,так как в ней отсутствует этап перехода от аналогового фильтра — прототипа кЦФ.Применениеметодов оптимизации для расчета БИХ-фильтров.
В последние годыширокое распространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров,называемых методами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то,что система уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, неможет быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентовприходится использовать численные методы оптимизации, минимизирующие, согласновыбранному критерию, некоторую ошибку.
В качестве такогокритерия используется критерий минимума среднеквадратической ошибки. При этомцелевая функция задачи имеет вид
/>,
где /> — (/>)-мерный вектор искомыхкоэффициентов, /> - получаемаяамплитудная характеристика фильтра, /> -заданная амплитудная характеристика фильтра, />,/> - дискретный ряд частот,на которых вычисляются отклонения получаемой и заданной характеристик фильтра.
Минимизация функции /> сводится к нахождениюоптимального значения параметрического вектора весовых коэффициентов фильтра />. Так как функция /> является нелинейной, дляее минимизации необходимо использовать эффективные методы оптимизации.
При использованииметодов оптимизации учитывается поведение только амплитудной характеристики,поэтому некоторые полюсы или нули после завершения итераций могут оказаться запределами единичного круга. В этом случае можно прежде всего заменить полюс сполярными координатами />, оказавшийся внеединичного круга, на полюс с координатами />,находящийся внутри единичного круга. Амплитудная характеристика фильтра притакой замене остается неизменной, так как полюс заменяется своим зеркальнымотображением. После того, как все полюсы оказываются внутри единичного круга,появляется возможность с помощью дополнительного анализа еще большеоптимизировать квадрат ошибки. Такая ситуация возникает достаточно часто, и вэтих случаях оптимизация должна производиться двумя этапами:
1. Использованиепрограммы оптимизации для минимизации функции /> безкаких-либо ограничений на расположение нулей и полюсов.
2. Послезавершения итераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся внеединичного круга. После этого продолжение оптимизации для нахождения новогоминимума />.
4.Описание метода синтеза фильтра
Приразработке современных систем (в том числе и цифровых фильтров) возникаетзадача оптимального проектирования. Под этим термином понимается процессразработки наилучшего, оптимального устройства (в каком-то смысле), как правилос помощью ЭВМ. Большинство методов оптимизации являются итерационными по своейприроде.
Как было уже сказано,большинство методов оптимизации, в том числе и методов безусловной оптимизации,носит итерационный характер. Это значит, что начиная с какой-либо точки х0,называемой начальным приближением, алгоритм оптимизации генерируетпоследовательность точек х1, х2,…хn,которая в принципе должна сходиться к точке />.На практике процесс генерирования точек прекращается после конечного Sчисла шагов. И точка /> выдается вкачестве приближения к точке />. Приэтом вычисление очередной точки /> называетсяк-той итерацией, а точку /> - к-ымприближением.
Вектор /> называется к-тым шагом.Отсюда />, к=0,1,2…
В основу всех методовоптимизации положено следующее правило: значение целевой функции от итерации китерации должно убывать. То есть должно выполняться следующее условие:
/>
Данное условиеназывается условием спуска.
Методы оптимизации,которые удовлетворяют этому условию, называются допустимыми или методамиспуска. Основу всех методов спуска составляет следующая модельная схема:
1. к=0,выбирается начальное приближение />;
2. Проверяютсякритерий останова. Если критерий выполняется, то расчеты прекращаются и точка /> выдается как приближение />. В противном случаеосуществляется переход к следующему пункту.
3. Рассчитываетсяненулевой n-мерный вектор />, называемый направлениемпоиска или направлением шага.
4. Вычисляетсямалое положительное число /> (длина шага)такое, что должно выполняться условие спуска:
/>
5. Выполнениек-той итерации />, к=к+1 ипроисходит переход к пункту 2.
Шаг 4 в модельной схемепредполагает решение задачи одномерной минимизации – нахождение длины шага hk.Чтобы решить эту задачу, необходимо, чтобы вектор /> былдопустимым направлением поиска или направлением спуска, условием чего является следующее выражение: /> , то есть угол междувектором-градиентом и направлением поиска должен быть тупым.
В модельной схемезначение целевой функции F(x)убывает от итерации к итерации. Тем не менее монотонно убывающаяпоследовательность {F(x)}может не сойтись к минимуму по следующим причинам:
1. Как бы хорошо невыбиралось направление />, все можетиспортить неудачный выбор длины шага hk,при котором величина убывания целевой функции F(x)по итерациям будет слишком быстро стремиться к нулю.
2. Решение не удастсяполучить, если алгоритм расчета направления поиска /> выдаетвекторы почти касательные к линиям уровня целевой функции, где ее значениепостоянно. В результате угол между вектором-градиентом и направлением поискабудет стремиться к 90 градусам, то есть их скалярное произведение будет близкимк нулю.
Следовательно, длятого, чтобы получить гарантированно сходящуюся последовательность всоответствии с модельной схемой необходимо, чтобы длина шага hkобеспечивала бы существенное убывание целевой функции от итерации к итерации и,чтобы угол между вектором-градиентом и направлением поиска на каждой итерациибыл больше 90 градусов.
Помимо этих двухтребований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одноусловие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Дляфункции F(x)и числа /> множеством уровнейназывается совокупность всех точек, для которых справедливо выражение F(/>) />/>.Дополнительное условие заключается в том, чтобы данное множество L(F(/>)) было быограничено и замкнуто.
Таким образом, если
· функцияF(x)непрерывна и дважды дифференцируема;
· еемножество уровней ограничено и замкнуто;
· функцияF(x)существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол междувектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам нафиксированную положительную величину,
то алгоритм модельнойсхемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо />/>.
Сходимость такого роданазывается глобальной, так как она не предполагает близости начальногоприближения точки /> к стационарнойточке />.
Четвертый шаг модельнойсхемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины />, которая должнаудовлетворять условию спуска:
/>
Для того, чтобы выбрать/>, удовлетворяющий этомуусловию, необходимо минимизировать значение целевой функции вдоль направления /> как функцию однойпеременной (скалярной) h.То есть минимизировать функцию:
/>
Чем точнее будетнаходиться минимум функции />, тембыстрее будет сходиться алгоритм модельной схемы. С другой стороны очень точноенахождение минимума /> потребуетбольших вычислений функции, а следовательно вычисления целевой функции.
Для нахождения минимума/> используются две группыметодов одномерной оптимизации:
1. Эффективныеметоды одномерного поиска (метод Золотого сечения и метод Фибоначчи);
2. Методыполиномиальной интерполяции (Пауэлл, Ньютон, сплайн-интерполяция).
Для конкретизациимодельной схемы помимо процедуры вычисления длины шага hkнеобходимо также задавать алгоритм расчета требуемого направления поиска />.
В отличие отодномерного случая, где возможно всего лишь два направления движения ( вперед иназад), уже в двумерной задаче множество направлений поиска являетсябесконечным.
В этом случае возникаетпроблема выбора направления поиска />. Именноспособ вычисления /> и определяет«лицо» алгоритма безусловной минимизации. Поэтому названия алгоритмамоптимизации даются по реализованным в них процедурам вычисления />.
В данной курсовойработе в качестве метода синтеза применяется метод сопряженных градиентов. Вгруппе данных методов процедура вычисления направления поиска не предполагаетрешения каких либо СЛАУ. Эти методы принципиально отличаются от методов Ньютнаи квазиньютоновских методов.
Рассмотрим задачупоиска минимума квадратичной функции вида:
/>
с,G- вектор и полноопределенная матрица, независящие от вектора /> .
Предполагается, что намизвестно к-тое приближение в точке минимума/> и(к+1) линейно независимых векторов />.
Будем искать точкуминимума целевой функции Ф(/>) налинейном множестве векторов />+/>Рк, где Рк –(к+1)-мерное множество, образованное линейно независимыми векторами.
Множества, образованныевида />+/>Рк называютсялинейными многообразиями.
Задача сводится кнахождению точки минимума Ф(/>) наэтом линейном многообразии.
Для решения этой задачисначала вводится матрица Рк=[/>].Введение такой матрицы позволяет сформулировать задачу поиска минимума функцииФ(/>) на многообразии />+/>Рк следующимобразом: найти />
То есть надо найтивектор />, таким образом, чтобыточка />/> былабы точкой минимума функции />.
Для решения этой задачинеобходимо сначала в функцию Ф(х) вместо /> />, затем продифференцироватьполучившуюся функцию по вектору />,приравнять результат к нулю и оттуда выразить вектор/>,который является решением задачи.
/>
/>
Если есть функция
/>, то />
/>
/>
Тогда точка минимума
/> (1)
Формулу (1) можнорассматривать как формулу рекуррентного расчета точки />в классических методахспуска. Другими словами, формула (1) описывает процедуру пошаговой минимизацииквадратичной функции Ф(х).
Формула (1) обладаетрядом свойств:
/>
/> ,
то есть каждаякомпонента должна быть равна нулю
Так как предполагается,что все точки xjпри j=1, к рассчитывается поформуле (1), то справедливо следующее свойство:
/> i>j
Тогда формулу (1) можнопреобразовать
/>
ек – (к+1)столбец единичной матрицы
С учетом всего этогоформула (1) примет вид
/>
/>
Последнее выражениеможно упростить, если матрица /> будетортогональной. Ето возможно сделать, если вектора /> выбиратьспециальным образом. Вектора /> должныбыть сопряженными относительно матрицы G,то есть должны выполняться следующие соотношения
/>
Тогда получаемупрощенное выражение
/>
Таким образом мыустановили, что среди методов минимизации квадратичных функций, укладывающихсяв общую модельную схему, существует метод, к-тая итерация которого приводит вточку минимума функции Ф(/>) намногообразии />+/>Рк-1.
Теоретически такойметод конечен, то есть он обеспечивает нахождение минимума функции Ф(/>) не более чем за Nшагов (N-размерность задачи),так как многообразие />+/>Рк-1 напоследнем N-том шаге совпадает смножеством значений аргумента /> иследовательно, если минимум функции Ф(/>)не был найден ранее, то он обязательно будет найден на этом шаге.
Для того, чтобыполностью определить метод сопряженных градиентов необходимо определить правиловыбора вектора />. Это правиловыглядит следующим образом:
/> (2)
/> -скаляр, который выбирается по двум теоретически эквивалентным формулам:
1. /> - формула Флетчера-Ривса
2. /> - формула Полака-Рибьера
Метод сопряженныхградиентов для квадратических функций легко обобщается на случай целевойфункции общего вида. Для этого необходимо ввести процедуру одномерного поискадлины шага hkи определиться, всегда ли направление поиска будет выдаваться по формуле (2)или допустимы отступления от нее. Такие отступления называются восстановлениямиили рестартами. В начале рестарта вектор />.Метод сопряженных градиентов, использующий такие рестарты, называетсятрадиционным. Традиционный метод сопряженных градиентов сходится в тех жепредположениях, что и метод наискорейшего спуска. Он обладает теоретической N-шаговойсверхлинейной сходимостью, но из-за наличия ошибок округления реальная скоростьсходимости метода сопряженных градиентов практически всегда линейна.
Таким образом, хотясхема метода сопряженных градиентов далека от идеала, тем не менее этот методостается единственным разумным средством для решения задачи оптимизации оченьбольшой размерности (число переменных более 1000000).
5. Результаты синтеза
Синтез фильтра в даннойкурсовой работе был проведен на ЭВМ. В результате были получены следующиехарактеристики фильтра верхних частот третьего порядка:
/>
/>
Устойчивость фильтраможно оценить по карте нулей и полюсов, полученных в результате синтезафильтра:Нули Полюсы Модуль Фаза Модуль Фаза 0,4271382 -0,5972885 0,8485097 82,4483 0,8551201 122,995 0,8485097 -82,4483 0,8551201 -122,995
/>
Коэффициенты фильтра:
ai
bi -0.4271382 0.5972885 -0.2230246 0.9313478 0.7199687 0.7312304
Заключение
В данной курсовой работе былрассчитан цифровой фильтр высоких частот 3-го порядка. Результаты расчетапоказали, что фильтр является устойчивым, поскольку нули и полюса фильтра лежатвнутри единичной окружности, что иллюстрируется картой нулей и полюсов, а этоявляется достаточным условием устойчивости цифрового фильтра. Также в работепредставлены частотные характеристики, которые полностью удовлетворяюттребованиям технического задания.
Списокиспользованной литературы
1. Смирнов А.А. Лекции по курсу “Теорияпроектирования радиоэлектронных систем управления и передачи информации”,2004г.
2. Езерский В.В. Лекции по курсу “Цифроваяобработка сигналов и микропроцессоры в радиоуправлении”, 2003г.
3. Езерский В.В., Паршин В.С. Теоретическиеосновы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие. РГРТА, Рязань, 1996г.