Міністерство освіти та наукиУкраїни
Вінницький національнийтехнічний університет
Інститут АЕКСУ
Кафедра АІВТКурсова робота
з дисципліни
/>Обчислювальні методи та застосування ЕОМ
Вінниця-2006
Анотація
В цій курсовійроботі розглянуто />наближені методи розв’язкунелінійних рівнянь, для вказаних методів складено блок-схеми та написанопрограму, за якою розв’язується задане рівняння. Проведено аналіз як самогорівняння і методів його розв’язання так і результатів обрахунку.
вступ
В наш час, колинадзвичайно швидкими темпами розвивається наука і техніка, людина освоює всенові і нові галузі, все більше проникає як в надра землі так і за її межі,з’являється багато нових і досить складних задач, рішення яких потребує новихметодів і нових підходів. Зокрема надзвичайно велика кількість задачелектроніки, електротехніки, механіки, кібернетики та ряду інших галузей наукивимагають від вчених інженерів вирішення досить складних математичних задач яківимагають певного аналізу та нестандартного підходу до вирішення.
З’являються задачі які не можнарозв’язати за допомогою класичної математики і отримати точний розв’язок, і в загалі досить часто проотримання точного розв’язку не доводиться говорити,оскільки отримати його при існуючих умовах просто неможливо. Тож ставлятьсязадачі отримати приблизні розв’язки, алеякомога близькі до точних. Тому в таких задачах використовуються різнінаближені методи рішення тієї чи іншої задачі.
КОРОТКІТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
В залежності відконкретного виду та типу задачі використовуються різні методи та специфічніпідходи до вирішення цієї задачі. Зокрема якщо мова йде про вирішення нелінійнихрівнянь, то існує ряд методів для рішення такої задачі. Найбільшого поширенняотримали метод половинного ділення, метод хорд, метод Ньютона та метод простоїітерації.
Розглянемо сутьцих методів.
Метод половинногоділення: в цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках щорозташовані через рівні інтервали на осі х. Коли f(xn) i f(xn+1) мають протилежні знаки, знаходять />, f(xcp). Якщо знак f(xcp) збігається зі знаком f(xn), то надалі замість хn використовується хср. Якщо ж f(xcp) має знак, протилежний f(xn), тобто збігається зі знаком f(xn+1), то на хср замінюється xn+1. За умову припиненняітераційного процесу доцільно брати умову | xn+1–xn| e, де e — задана похибка. Похибкарозв’язку через n ітерацій знаходиться в межах Δ/>
Метод хибногоположення (хорд) полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, щорозташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів xn+1, хnне будуть мати різні знаки.Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці />. Після цього визначають f(xn+1) і порівнюють його з f(xn). Надалі користуються xn+1 замість того значення, з яким вонозбіглося за знаком. Якщо | xn+1 – xn| e, то вся процедура повторюється спочатку.
В цій курсовійроботі розглядаються два методи розв’язку нелінійних рівнянь – це метод Ньютоната простої ітерації тому розглянемо їх більш детально.
Суть цих методівдосить схожа але все ж є деякі відмінності.
Метод Ньютонаполягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступненаближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ. В основі цьогометоду лежить розкладання функції в ряд Тейлора: />. Члени що містять h у другому і більших степеняхвідкидаються і врезультаті отримується наближена формула для оцінки хn+1: Хn+1=Xn– /> ,але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певнупохибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступноїумови: />
Початкове наближенняслід вибирати з умови: />.
/>
Наступний методце метод простої ітерації. Цей метод дуже схожий до попереднього, але йогоможна використовувати лише якщо доведена збіжність ітераційного алгоритму. Вцьому методі процес розв’язання потрібно починати з пошуку інтервалу збіжності.Умовою збіжності є те що максимальне значення І-ї похідної правої частинирівняння Х=g(x) (1) (до такого вигляду потрібнопривести вихідне рівняння f(x)=0 ) повинна бути менша за 1. Якщо умоване виконується, то алгоритм не збіжний. Коли в інтервалі збіжності немаєкоренів, треба застосовувати інші методи або приходити до рівняння (1) черезінші способи. Грубо оцінити похибку для обох методів можна так: Δ /> де М2 – найбільше замодулем значення другої похідної на інтервалі [xn, xn+1]. Похибка ж методу на n – ій ітерації обчислюється так: Δ/>.Аналіз заданого рівняння
Вцій роботі необхідно розв’язати нелінійне рівняння 5-го порядку яке відповідноматиме п’ять коренів. Для того щоб розв’язати це рівняння заданими методами, асаме ньютона і простої ітерації, необхідно визначити початкове приблизненаближення, це можна зробити за допомогою графіка цього рівняння( рисунок 2.1), побудувавши його за допомогою математичного пакета Mathcad.
/>
рисунок 2.1
Для того щобточніше визначити значення початкового наближення необхідно збільшити цейграфік (рисунок 2.2)
/>
Рисунок 2.2
і тепер з цьогографіка видно, що значення початкового наближення потрібно брати приблизно0.08-0.1 і дійсно ці значення задовольняють необхідну умову /> оскільки при значенні х0=0.1(f’’(x0))2=16,7, a добуток f’(x0) f(x0)=-3,8, що є меншим за значеннядругої похідної піднесеної до квадрату.
Для знаходженнякомплексних коренів нелінійного рівняння окрім звичайних методів, якіаналогічні тим, що використовуються для знаходження дійсних коренів, існуєнизка спеціальних методів, що дозволяють оцінювати комплексні корені проводячиобчислення з дійсними числами. Більшість цих методів базується на перетвореніпочаткового нелінійного рівняння до добутку квадратичних співмножників типу: />, де p i q – коефіцієнти, проміжною формою дляздійснення такого перетворення є рівняння у вигляді:
/>.
Тому використавшицей метод і записавши наступну систему рівнянь:
/>
/>
знайдемо з неїприблизні значення комплексних коренів яких має бути чотири. Отже одержано двіпари таких значень: -0,88+ 1,8і; 1,35+ 1,34і;
Алгоритми методів
Алгоритм розв’язкунелінійного рівняння методом Ньютона за допомогою ЕОМ є досить простим іполягає в тому, що спочатку задається дане вихідне рівняння, його похідна, атакож допустима похибка. Потім використовуючи вищеописану ітераційну формулузнаходять ряд значень х
(Хn+1=Xn-/>,
де хn+1 – значення х нанаступній ітерації, а хn – значення х на попередній ітерації) іповторюємо цю операцію до тих пір, поки не виконається умова />
Алгоритм розв’язку цього жрівняння за методом простої ітерації полягає в тому, що спочатку вихіднерівняння потрібно привести до вигляду x=g(x), тобто виразити х з рівняння, а потім використовуючи формулу x1=g(x0), де відповідно х1 – значення х на наступній ітерації, а х0– значення х на попередній ітерації. Знаходимо також ряд х до тих пір, поки невиконається умова />
Блок схеми методів наведені вдодатку А.Вибір інструментальних засобів
Для вирішення цієї задачі булообрано середовище програмування С, так як воно має ряд вагомих переваг передіншими середовищами і мовами програмування. Зокрема такими перевагами є те, що:
- не вимагає великих затратяк апаратної частини комп’ютера так і програмної.
- Дозволяє досить простореалізовувати поставлені задачі
- Є дуже візуальним інаглядним що робить його зручним інструментом в користуванні.
- Ця мова є досить гнучка ідозволяє використовувати технології об’єктно-орієнтованого програмування.
Вхідні та вихідні дані
Вхідними даними дляпрограми є :
1)Для методу Ньютона: початковерівняння; похідна від нього; початкове
наближення (х0) і допустима,задана за умовою
задачі похибка.
2)для методу простої ітерації:початкове рівняння, приведене до вигляду
x=g(x); початкове наближення і допустима
похибка.
Вихідними даними для обох методівє значення х, яке задовольняє умову/>
Структура програми
Програма розділена на чотири частини такі як:
1) блок опису вхідних тавихідних даних;
2) введення початкових даних;
3) виклик підпрограм для розв’язокзадачі різними методами (в даному випадку методом Ньютона та методомпростої ітерації);
4) виведення результатів; інструкція користувачеві
Для запуску програминеобхідно запустити файл з назвою “метод Ньютона та простої ітерації ” післячого на вашому екрані відкриється вікно програми (рисунок 7.1).
/>
Рисунок 7.1
Необхіднослідувати вказівкам які з’явились у робочому вікні програми, а саме спочатку ввестидопустиму похибку – d потім – початкове наближення– х0 після чого потрібно обрати метод (Ньютона чи простої ітерації)яким ви бажаєте розв’язати дане рівняння, тобто згідно інструкції натисніть 1для того щоб розв’язати рівняння методом Ньютона або 2 – для методу простоїітерації, потім натисніть кнопку Enter і ви побачите результат. Наприклад: х=0,0681529 (рисунок 1.). після тогояк ви отримали результат якимось одним методом ви також відразу можете отриматийого і іншим відповідно вибравши 1 чи 2 для методу який вас цікавить. Аналіз результатів розрахунку
Отже післяпроведення розрахунку по знаходженню коренів нелінійного рівняння за методамиНьютона та простої ітерації отримано наступні результати: рівняння має 5коренів, а саме один дійсний і чотири комплексні: хдійсне.Нютона=0,0681529,хкомпл.1,2= -0,9+ 1,8і; хкомпл.3,4 = -1,4+1,34і; хдійс.пр.ітерації=0,0681396. Порівнявши отриманірезультати з наступними результатами
/>,
що отримані задопомогою автоматизованого математичного пакету Mathcad, можна зробити висновок що коренірівняння розраховані за допомогою чисельних методів є досить таки точними іпохибка складає не більше 0.01. за отриманими результатами також можна зробитивисновок щодо швидкодії кожного з методів, а саме при однакових початковихумовах метод простої ітерації працює дещо швидше, ніж метод Ньютона, алеточніший результат дає метод Ньютона.
висновки
Ця курсова роботабула присвячена розв’язанню нелінійних рівнянь методами Ньютона та простоїітерації. В результаті роботи було досліджено існуючі методи для розв’язаннятаких рівнянь, а більш детально розглянуті вищезгадані два методи, а саме Ньютоната простої ітерації. Для цих методів було складено блок-схему, а також написанопрограму. В результаті роботи за допомогою складеної програми було отриманопевні корені заданого рівняння і порівняно їх з значеннями коренів цього жрівняння, але розв’язаного за допомогою спеціалізованого математичногопрограмного пакету Mathcad.
Література
1. Квєтний Р. Н. Методикомп’ютерних обчислень. – Навчальний посібник. – Вінниця: ВДТУ, 2001.
2. Вержбицький В. М. Основы численных методов, – М.: Высшая школа, 2002.
Додаток А
(Лістингпрограми)
#include #include#include
#include
int main()
{int x,i,j;
floata1,a2,a3,d,x0,x1;
cout
cout
cin>>d;
cout
cout
cin>>x0;
cout
cout
cout
while (x!=0)
{cin>>x;
switch (x)
{case 1:
x1=x0-((pow(x0,5)-pow(x0,4)+3*pow(x0,3)-5*pow(x0,2)+15*x0-1)//(5*pow(x0,4)-4*pow(x0,3)+9*pow(x0,2)-10*x0+15));
while(fabs(x1-x0)>d)
{
x0=x1;
x1=x0-((pow(x0,5)-pow(x0,4)+3*pow(x0,3)-5*pow(x0,2)+15*x0-1)/(5*pow(x0,4)-4*pow(x0,3)+9*pow(x0,2)-10*x0+15));
}
cout
break;
cout
case 2:
x1=(1-pow(x0,5)+pow(x0,4)-3*pow(x0,3)+5*pow(x0,2))/15;
while(fabs(x1-x0)>d)
{
x0=x1;
x1=(1-pow(x0,5)+pow(x0,4)-3*pow(x0,3)+5*pow(x0,2))/15;
}
cout
break; }
}
}