Вступ
Тема контрольної роботи "Інженерні розрахункив MathCad" з дисципліни "Інформатика".
Мета роботи — придбання навичок роботи з системоюMathCad.
Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійнихрівнянь у програмі MathCAD.
Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівнянняза допомогою програми MathCAD.
Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системинелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.
Завдання
Завдання 1.
Задана система трьох лінійних рівнянь.
/>
Знайти розв’язок системи матричнимметодом в середовищі MathCAD.
Розв’язання:
Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводитьсяза формулою
X=A-1×B,
деA — матриця, що складається з коефіцієнтів приневідомих,
А-1 — обернена матриця до матриці А,
B — вектор вільних членів,
X — вектор розв'язків системи.
Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідноскористатися панеллю інструментів Математика (Math):
/>
яка визивається командою View®Toolbars®Math:
mathcad інженерний розрахунок рівняння
/>
Кнопками панелі Математика необхідно визватипанелі:
Калькулятор (кнопкою/>):
/>
Матриця (кнопкою />):
/>
А потім виконати наступні дії:
1. Створимо матрицю А:
/>
Пояснення до виконуваних дій:
Використавши кнопку />панелі Matrix:
/>
Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи:
/>
2. Створюємо вектор В:
/>
Задаємо 4 рядки 1 стовпець:
Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи:
/>
/>
3. Обраховуємо вектор Х:
/>
Знак присвоєння:= вибираємо на панелі Calculator, обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки /> на панелі Matrix.
4. Виводимо результат розрахунків:
/>
Результати рішення системи:
x = 0.091
y = — 0.243
z = — 0,601
t = 0.210
5. Робимо перевірку:
/> Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В.
Завдання 2
Знайти корінь нелінійного рівняння x3+ sin (x — 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001
Розв’язання:
Всяке рівняння з одним невідомим може бути записанеу вигляді f (x) = 0.
Знаходження наближеногозначення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:
1 етап — відділеннякоренів — виділення відрізка, що належить області існування функції f (x),на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будуютьграфік функції f(x). Абсциситочок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХі будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказативідрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.
2 етап — уточненнянаближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e.
1 етап. Графічне відділеннякоренів рівняння.
Побудуємо графік функції f (x) = x3+ sin (x — 3) +1.
Опишемо функцію в видіфункції користувача:
/>
Вставимо в документ графічну область командою Insert®Graph®XY-Plot:
/>
Маркери (n) отриманого шаблону заповнимовідповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x):
/>
Відформатуємо графік командою Format®Graph®XY-Plot:
/>
Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):
/>
Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; — 1]. Для подальших розрахунків приймемонаближене значення кореня x = — 1
2 етап — уточненнякореня до точністі e =0.0001.
Уточнення кореня, тобто доведення його до заданогоступеню точності проведемо за допомогою функції root(f (x),x).
Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочаткунеобхідно задати:
точність обчислень за допомогою системноїзмінної TOL;
початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).
Порядок дій:
TOL: =0.0001
Пояснення:
TOL — системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. x: = — 1 Початкова умова, знайдена із графіка.
x: = root (f (x), x)
x= — 1.2361
Застосування функції rootдля уточнення кореня.
Вивід значенння уточненого кореня х.
В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність e потребує 4 знаки, необхідно командою Format®Result… в вікні Result Format задати необхідне число знаків:
/>
Отже корінь рівняння х= — 1,2361.
Завдання 3
Розв’язати систему нелінійних рівнянь:
sin (x) + sin (y) — 1.3 = 0
y2 — x2 +x = 0
с точністю e=0.00001.
Розв’язання:
Відомо, що розв’язком системи є такі значення хі у, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.
Для знаходження розв’язку системи необхідно спочаткуграфічно знайти грубе наближення цих значень для х і у.
Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуютьсярівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) іявлятимуть розв’язком системи.
Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системипривести до виду:
y = f1 (x)
y = f2 (x),
тобто в нашому випадку:
/>.
Після цього побудувати графіки функцій:
/>.Порядок дій: Пояснення:
Описуємо дві функції користувача
/>
Функції asin, sin і Ö вибрати з панелі Calculator. Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x)
/>
Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h.
Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину.
/>
Із графіка приблизно знайти значення:
х=1,2 і у = 0,4
координати точки перетинання графіків
Задаємо початкові значення розвязку:
x: =1.2 y: = 0.4
Задаємо початкові значення для х і у.
/> Задаємо точність обчислень
Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.
/>
/>
/>
/>
/>
Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою Given, а закривається функцією Find. В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі
/>.
Вектору R присвоюється рішення системи.
Отже х = 1,1413 і у = 0,4015.
Проводимо перевірку розв’язку:
/>
Перевірка розв’язку:
Замість х і у підставляємо в рівняння Rі R1, які являються елементами вектора R(нумерація елементів починається з нуля).
Оскільки справа отримали нулі — розв’язок задовольняє обидва рівняння.
Література
1. Симонович С. Информатика: базовый курс. — СПб.: Питер, 1999, 640 с.
2. Дьяконов В. MATHCAD 8/2000:специальный справочник — СПБ: Питер, 2001. — 592 с.