Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №3
по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема: ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.
Вариант №8
Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка
2.1. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения:
при y(t) = 0 и заданных начальных условиях ;
при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;
при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;
при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;
2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом:
при y(t) = 0 и заданных начальных условиях;
при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;
при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;
при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;
1. Данные варианта задания
ПРИЛОЖЕНИЕ №1
( к практическому занятию №3)
Дифференциальное уравнения 4-го порядка
/>/>
Т а б л и ц а № 1
№
вар
Коэффициенты дифференциального
уравнения 4–го порядка
Правая часть уравнения и начальные условия
а
а1
а2
а3
а4
b
y(t) = 1(t)
x0(0) = 1
x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0
y(t) = cos(aּπּt)
x0(0) = -1
x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0
8
10
20
1.7
0.16
0.08
10
a = 0.35
2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка
2.1 Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения
2.1.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях
Дифференциальное уравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехнической системы имеет вид:
Водим уравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.
/>
При заданных по условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Данное линейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем--PAGE_BREAK--
в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:
/>/>
/>
/>
/> />
Зададим вектор начальных значений:
/>
СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.
rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,
Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;
у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;
t0 — начальная точка расчета,
t1 — конечная точка расчета,
M — число шагов, на которых численный метод находит решение;
D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.
Таким образом, воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядит так:
Зададим интервал интегрирования t0 — t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий icи правую часть дифференциального уравнения y(t):
/>
/>
/>
/>
/>
Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.
/>
Применим функцию:
/>
/>
-Интервал времени.
/>
-Значение искомой координаты.
/>
Рисунок1. Матрица решений системы уравнений.
По этой таблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.
Результаты численного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы с прокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному М получили 1500 строк.
/>/>
/>/>
Рисунок2. Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные в виде таблицы.
Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. График изображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150, Х=4,563*10^130
/>/>
Рисунок 3. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.
2.1.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях
В этом случае необходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциального уравнения.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.
2.1.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях продолжение
--PAGE_BREAK--
Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.
/>
Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х0(0) = 1
Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).
/>/>
/>/>
Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х0(0) =- 1.
2.1.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях.
a = 0.35
/>
/>
/> />
/>
/>
/>/>
Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.
При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._
При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.
a = 0.35
/>/>
Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).
2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом.
2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )
К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:
К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.
/>
/> />
Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:
/>
/>
На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).
/>
Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.
2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях
/>-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.
2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.
2.2.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях
/>
/>
/>
/>
Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;
3. Выводы по работе №3
В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.
Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на s в квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.
Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.