Кафедра
информатики и вычислительной информатики
Дисциплина «ИНФОРМАТИКА»
ОТЧЕТ
по курсовой работе
Тема: «Решение прикладных задач методом дихотомии »
Москва 2009 г.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Вариант № 11.
Часть 1
Использование численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах.
Для выполнения 1 части необходимо:
Составить программу и рассчитать значение функции в левой части нелинейного уравнения для решения задачи отделения корней;
Составить логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона;
Ввести программу в компьютер, отладить, решить задачу с точностью ε=0.0001 и вывести результат;
Предусмотреть в программе вывод на экран дисплея процесса получения корня.
Уравнение: />, [1,2];
Метод численного решения: метод дихотомии, метод хорд.
Решение.
Метод дихотомии
1. Этот метод позволяет отыскать корень уравнения f(/>)=0 с любой наперед заданной точностью ε.
Предполагается, что искомый корень уравнения уже отделен, т.е. указан отрезок [ a; b ] непрерывности функции f(x) такой, что на концах этого отрезка функция принимает различные значения.
Суть метода в том, что [ a ;b ] делится пополам.Половина, где нет корня отбрасывается, а другая делиться на два.
1-й Шаг. Вычисление середины отрезка
/>
Если f(/>)=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f(/>) · f(x0) находится в интервале [/>] следовательно />; />
Иначе />
2-й Шаг. Вычисление середины отрезка
/>
Если f(/>)=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f(/>· f(x1); />
Иначе />
n-ый Шаг. Вычисление середины отрезка
/>
Если f(/>)=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f(/>·f(xn); />
Иначе />
Условием нахождения корня является:
/>
/>
2. Нелинейное уравнение и условие его решения:
/>, [1,2], ε = 0,0001;
3. График функции:
/>
4. Схема алгоритма:
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>/>/>
/>/>/>/>
/>
/>/>
/>/>
/>
/>/>
/>/>
/>/>/>/>
/>
/>/>
/>/>
/>/>/>/>
/>
/>/>
/>/>
/>/>/>/>
/>/>
--PAGE_BREAK--
5. Таблица идентификаторов:
Обозначение
Идентификатор
Тип
n
n
int
/>
a
double
/>
b
double
/>
eps
double
x
x
double
f(x)
f(x)
double
6. Листингпрограммы:
#include
#include
double f(double x)
{
return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
int n=0;
double x,a=0.,b=2.,eps=0.0001;
while (fabs(a-b)>2*eps)
{
x=(a+b)/2,
n++;
printf(«step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n»,n,x,f(x));
if (f(x)==0)
{
printf(«Tothnii koreni x=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n»,x,n);
return 0;
}
else if (f(a)*f(x)
else a=x;
}
printf(«Reshenie x=%11.8lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n»,x,eps,n);
return 0;
}
7. Листинг решения:
step= 1x= 1.50000000f(x)=-0.21392288
step= 2x= 1.25000000f(x)=-0.00893133
step= 3x= 1.12500000f(x)= 0.08982692
step= 4x= 1.18750000f(x)= 0.04080796
step= 5x= 1.21875000f(x)= 0.01602415
step= 6x= 1.23437500f(x)= 0.00356738
step= 7x= 1.24218750f(x)=-0.00267680
step= 8x= 1.23828125f(x)= 0.00044659
step= 9x= 1.24023438f(x)=-0.00111478
step= 10 x= 1.23925781f(x)=-0.00033401
step= 11 x= 1.23876953f(x)= 0.00005631
step= 12 x= 1.23901367f(x)=-0.00013885
step= 13 x= 1.23889160f(x)=-0.00004127
Reshenie x= 1.23889160 pri Eps=0.0001
kolithestvo iteratsii n=13
Метод хорд:
1. Этот метод заключается в том, что к графику функции проводится хорда. Находим точку пересечения с осью OX и опускаем из этой точки прямую параллельную OY. Из точки пе-ресечения прямой и графика проводим хорду и операция повторяется до тех пор, пока точка пересечения хорды с осью OX не приблизиться к корню функции до заданной погрешности.
Шаг первый:
/>
Нас интересует точка пересечения с осью ОХ.
Сделаем допущение: х=x1
y=0
Введем обозначение
/>x0
f(/>)=f(x0)
Подставим в уравнение
/>
Отсюда
x1=x0-/>
Шаг второй:
x2=x1-/>
Для n-го шага:
xn=xn-1-/>
Условием нахождения корня является: />
2. Нелинейное уравнение и условие его решения:
/>, [1,2], ε = 0,0001;
3. График функции:
/>
Таблица идетификаторов:
Обозначение
Идентификатор продолжение
--PAGE_BREAK--
Тип
n
n
int
/>
a
double
/>
b
double
/>
eps
double
x
x
double
f(x)
f(x)
double
6. Листингпрограммы:
#include
#include
double f(double x)
{
return (0.25*(pow(x,3)))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
int n=0;
double x,a=1.,b=2.,eps=0.0001,xn;
xn=a;
while (fabs(xn-x)>eps)
{
x=xn;
n++;
xn=x-f(x)*(b-x)/(f(b)-f(x));
printf(«step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n»,n,xn,f(xn));
}
printf(«pribligennoe znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n»,xn,eps,n);
return 0;
}
7. Листинг решения:
step= 1 x= 1.22334934 f(x)= 0.01236182
step= 2 x= 1.23796144 f(x)= 0.00070219
step= 3 x= 1.23879055 f(x)= 0.00003951
step= 4 x= 1.23883720 f(x)= 0.00000222
pribligennoe znathenie x=1.238837 pri Eps=0.0001
kolithestvo iterasii n=4
Анализ результатов:
метод дихотомии
метод хорд
значение корня
1.23889160
1.23883720
значение функции
-0.00004127
0.00000222
количество итераций
13
4
Вывод: Метод дихотомии прост в реализации, но обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью.
Часть 2
Решение дифференциального уравнения.
Вариант №11.
Метод Эйлера
1.Математическое описание
/>
Геометрический смысл метода Эйлера состоит в следующем: дифференциальное уравнение определяет в точке (x0,y0) направление касательной к искомой интегральной кривой
k=y'(x)=f(x,y)
Отрезок интегральной кривой, соответствующий x/>(x,x1), x1=x+h заменяется участком касательной с угловым коэффициентом k. Найденная точка (x1,y1) используется в качестве нового начального условия для уравнения y(x1)=y1, в ней вновь вычисляется угловой коэффициент поля направлений и процедура повторяется.
На n-ом шаге имеем точку (xn-1,yn-1), задающую начальное условие для уравнения:
y(xn-1)=yn-1
Уравнение определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке
/>
Соответствующее уравнение касательной:y-yn-1=k(x-xn-1)
Отсюда получаем значение х=хn, соответствующее точке: хn=хn-1+h,
А именно: yn-yn-1=kn-1(xn-1+h-xn-1), или
yn=yn-1+h·kn-1
yn=yn-1+h·f(xn-1,yn-1)
Полученная формула является основной расчетной формулой метода Эйлера.
Процесс вычислений заканчивается, когда аргумент после очередного приращения выйдет за пределы исследуемого отрезка />.
2. Дифференциальное уравнение:
/>x0= 0, y0 = 1, xmax=1, Δx = 0.01; 0.005; 0.001 продолжение
--PAGE_BREAK--
3. Схема алгоритма:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>/>/>
/>
/>
/>/>
/>/>
/>/>/>
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
5. Таблица идентификаторов:
Обозначение
Идентификатор
Тип
s
s
int
i
i
int
x
x
double
xmax
x_max
double
x1
x1
double
Δx/>
h[i]
double
y
y
double
d
d
double
f(x)
f(x)
double
k
k(x,y)
double
6. Листинг программы:
#include
#include
double k(double x,double y )
{
return ((x/exp(x*x))-2.*x*y);
}
double f(double x)
{
return ((1./exp(x*x))*(1+x*x/2.));
}
int main(void)
{
int s,i;
double x,x1,x_max=1,y,d;
double h[3]={0.01,0.005,0.001};
FILE*file;
file=fopen(«result.txt»,«w+»);
for (i=0;i
{ s=0;y=1;
fprintf(file,«h(%i)=%lf\n»,i,h[i]);
for(x=0;x
{
s++;
x1=x+h[i];
y=y+k(x,y)*h[i];
d=y-f(x1);// y- pribl. f(x)- tochnoe
printf(" step =%4.i x=%6.4lf y=%6.4lf yt=%6.4lf d=%10.8lf\n",s,x1,y,f(x1),d);
fprintf(file," step =%4.i x=%10.8lf y=%10.8lf yt=%10.8lf d=%10.8lf\n",s,x1,y,f(x1),d);
}
}
fclose(file);
return 0;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вывод: Интегрированная среда Visual С позволяет обрабатывать программы, записанные на языке С++.Для программирования циклических алгоритмов были использованы операторы организации циклов с параметрами, решение использует форматируемый вывод и оператор присваивания, а также использовались операторы вызова функций. Чем больше шаг, тем точнее вычисления.