МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ”ХПИ”
Кафедра вычислительной техники и программирования
Курсовая работа
по теме «Решение краевых задач в среде виртуальной
гибридной машины»
Харьков – 2008
ВВЕДЕНИЕ
В своем развитии вычислительные средства, рожденные удивительными идеями подобия физических процессов различной природы, прошли множество оригинальных технических реализаций. Опыт развития показывает, что жизнь технических решений в своем материальном воплощении недолговечна. Появляются новые материалы, технологии, физические среды и процессы. На их основе реализуются технические устройства для успешного применения зарекомендовавших себя методик исследований и вычислений.
Так, благодаря интенсивному развитию цифровой вычислительной техники и сверхмикроминиатюризации электронных элементов, узлов и блоков, “Аналоговые вычислительные машины” расширили свои вычислительные и функциональные возможности, превратившись в гибридные вычислительные системы моделирования, тренажерные комплексы и специализированную периферию. Время проведения исследований динамических объектов уменьшилось на порядки, стало возможным выполнять одновременно оперативную обработку и соответствующее документирование результатов.
В настоящее время в аппаратной среде цифровых машин можно реализовать программную модель универсальной гибридной (аналого-цифровой) вычислительной машины, в которой операционные блоки будут функционировать в квазипараллельном режиме (в режиме разделения времени). Такую модель удобно создавать с помощью профессиональных пакетов моделирования электронных аналоговых и цифровых схем, снабженных развитым графическим интерфейсом пользователя.
Используя макроопределения для схем операционных блоков и снабжая их соответствующими графическими обозначениями, можно сформировать весь набор операционных блоков, необходимый для представления математических моделей реальных объектов.
Положительные достоинства работы с псевдооборудованием гибридного вычислительного комплекса состоит в том, что в его среде можно моделировать объекты любой физической природы, лишь бы их можно было описать адекватными математическими моделями. При этом используется отработанная десятилетиями процедура программирования аналоговых устройств и естественное умение разработчика взаимодействовать с объектом, который им же описан математически.
В прошлом программирование аналоговых ЭВМ происходило методом переключения перемычек на коммутационной панели ЭВМ. Это было неудобно и связано с риском поражения электрическим током (напряжением до 100 В). Чтобы просмотреть результаты моделирования или выполнить замеры, необходимо было подключать осциллограф — для анализа переходных процессов, или стрелочные приборы — для анализа установившихся состояний.
Работа в среде виртуальной гибридной вычислительной машины упростила составление схем устройств, повысила наглядность экспериментов, уменьшила риск поражения электрическим током. Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере.
В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических объектов, описанных уравнениями математической физики в обыкновенных и частных производных.
1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
1.1 Анализ задания и постановка задачи исследования
В задании на выполнение расчетно-графического задания приведено краткое описание исходных данных следующего содержания:
Провести исследование конечно-разностных методов решения краевых задач путем моделирования в среде пакета Micro-Cap V. Оценить эффективность и сравнительную точность получения решений методом математического моделирования, аналогового моделирования и численными расчетами. Здесь, во-первых, четко указан класс задач, для которого необходимо разработать методику решения и исследования. Это класс краевых задач, к которым относятся дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных с условиями, заданными на границе области решения. Во-вторых, названа моделирующая среда, в которой должна функционировать виртуальная аналоговая вычислительная машина. Это профессиональный пакет схемотехнического моделирования электронных схем Micro-Cap V. И, в-третьих, с целью сопоставления результатов решения, рекомендуется применить различные методы, из которых названы три: метод математического моделирования, метод вычислений по аналогии и метод традиционных численных расчетов.
В связи со сказанным, мне необходимо проанализировать наиболее распространенные методы решения краевых задач в обыкновенных производных, выбрать из них удобный для применения в виртуальной гибридной среде и подобрать для демонстрации контрольные задачи. Аналогичную работу необходимо провести с краевыми задачами в частных производных. Описать методику конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений и привести алгоритмы или последовательность ее выполнения.
В результате рассмотрения существующих методов решения составить математические модели краевых задач, подобрав в качестве исходных уравнений такие, для которых, с целью контроля, несложно получить и аналитические решения.
1.2 Методы решения задач в частных производных
Среди дифференциальных уравнений в частных производных можно выделить уравнения, описывающие стационарные распределения в заданной области некоторой физической величины, и уравнения, описывающие изменение во времени распределенной в заданной области физической величины. Признаком, разделяющим уравнения на эти два подмножества, является присутствие в уравнении частной производной по времени. Принципиальное различие пространственной и временной независимых переменных состоит в том, что в отличие от однонаправленного изменения реального времени ортогональные пространственные переменные могут изменяться независимо друг от друга в обоих направлениях.
Ядром наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных служит уравнение Лапласа
/>,
где />(набла в квадрате) — оператор Лапласа, который в двумерной декартовой системе координат имеет вид
/>.
Это уравнение описывает стационарное поле некоторой физической величины и относится к уравнениям эллиптического, гиперболического или параболического типа в зависимости от значения определителя дифференциальной формы второй степени
/>, для которой соответственно />,
где /> — в общем случае функции координат и потенциала u.
К нестационарным уравнениям параболического и гиперболического типов относятся соответственно уравнение теплопроводности с параметрами-функциями s и S
/>
и уравнения волновое и бигармоническое с параметром С
/>и />
Названные уравнения представлены в канонической форме, которая включает безразмерные относительные переменные, обычно приводимые к диапазонам изменения [0,1] и [-1,1]. Размерности слагаемых согласуются посредством параметров уравнения.
Основным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является аппроксимация уравнения системой алгебраических уравнений или системой дифференциальных уравнений. Эти два вида аппроксимаций в литературе получили название метод сеток и метод прямых.
Метод сеток реализуется в том случае, когда частные производные, входящие в уравнение, заменяются в каждой точке заданной области конечно-разностными выражениями, полученными из значений искомого решения в окружающих точках. Количество уравнений в системе связано с шагом дискретизации временной и пространственных переменных и формой границы области решения. Число точек, попавших внутрь области решения, определяет число неизвестных и уравнений.
Метод прямых относится к случаю, когда одна из независимых переменных является временем (случай нестационарных задач) или когда одну из пространственных переменных (случай стационарных задач) пропорционально связывают со временем. Частные производные от независимых переменных, не связанных с временем, аппроксимируют конечными разностями. В результате, оставшиеся дискретными независимые переменные сочетанием своих значений определяют общее число дифференциальных уравнений, которые в общем случае являются краевыми.
Аппроксимирующие дифференциальные уравнения с краевыми условиями невозможно интегрировать как систему уравнений Коши. Линейная система краевых задач многократно решается с частными начальными условиями и по результатам решений краевые условия пересчитываются в начальные. Нелинейной системе для приближенного вычисления начальных условий потребуются итерационные процедуры, рассмотренные выше.
Математические модели, сформированные по методам сеток и прямых, могут быть решены методом математического моделирования с применением аналоговых или псевдо аналоговых операционных блоков, а также методом аналогий.
Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.
Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.
1.3 Конечные разности и аппроксимация производных
1.3.1 Определение конечных разностей
Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: />, где функция />задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.--PAGE_BREAK--
Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:
/>f(x) = f(x+h) — f(x)
Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i: />.
Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением
/>
Линейность конечно-разностного оператора />позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+/>) и многочлены от оператора />с целыми коэффициентами, такие, как
/>и т.п.,
где />должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .
Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :
g(i+1) = Eg(i) = (1+/>)g(i)= g(i) + />g(i).
Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:
/>
где /> — число сочетаний из n элементов по k ;
/>—
многочлен степени k от целой переменной n (/>), имеющий k сомножителей. При k=n />.
Относительно начала координат (i=0 — начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.
/>
С другой стороны, так как />, то
/>
Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.
1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования
Значение функции на удалении h от некоторой точки />можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:
/>
где /> — оператор дифференцирования,
/>— оператор сдвига, выраженный через оператор p .
h- шаг по оси действительной переменной
Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и />, можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:
/>,
Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:
/>
Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:
/>.
Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:
/>.
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и />:
/>.
Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:
/>
После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся />заменяются выражением />. Раскрыв скобки, подставив />и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:
/>.
Коэффициенты />минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны — для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.
Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.
1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.
Таблица 1 — Аппроксимация первой производной по трем точкам
/>
y(0)
y(1)
y(2)
/> y’(0)
-3
4
-1
2
y’(1)
-1
1
-1
y’(2)
1
-4
3
2
Таблица 2 — Аппроксимация второй производной по трем точкам
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
/>
1
-2
1
-12, 2
/>
1
-2
1
0, -1
/>
1
-2
1
12, -2
Таблица 3 — Аппроксимация первой производной по пяти точкам
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
-25
48
-36
16
-3
12
/>
-3
-10
18
-6
1
-3
/>
1
-8
8
-1
2
/>
-1
6
-18
10
3
-3
/>
3
-16
36
-48
25
12
Таблица 4 — Аппроксимация второй производной по пяти точкам
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
35
-104
114
-56
11
-150, 12
/>
11
-20
6
4
-1
15, -3
/>
-1
16
-30
16
-1
0, 2
/>
-1
4
6
-20
11
15, 3
/>
11
-56
114
-104
35
150, -12
Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений — при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы — из нижних строчек. продолжение
--PAGE_BREAK--
2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.
2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем
Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:
/>,
которое описывает изменение температуры />вдоль металлического стержня длиной в 1 метр (/>), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами
/>и />.
Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как
/>.
Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей
(/>)
и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через />.
2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями
Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:
Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. l=200 вт/(м×К).
Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 2´0.1252=0.03125 м2.
Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100°:
/>.
Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид:
/>
/>
В полученной системе j0=1, а j8=0.
В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями «вперед», что в цифровой моделирующей среде может случиться и при непрерывном времени, соотношение между шагом по временной переменной />и по пространственной />должно подчиняться следующему неравенству: />. При несоблюдении этого условия решение может оказаться численно неустойчивым.
2.3 Программирование для математического моделирования
Полученная в пункте 2.2 система дифференциальных уравнений, благодаря представлению искомых переменных в относительном виде, при максимальных напряжениях на выходах операционных блоков в 1 вольт и масштабных множителях, равных единице, специального расчета коэффициентов передач не требует. Коэффициенты по входам сумматоров будут такими же, как в уравнениях.
/>
Схема соединения операционных блоков для этой задачи показана на рисунке 1.
Рисунок 1
2.4 Программирование задачи для метода аналогий
Если в окончательной системе дифференциальных уравнений, полученных в п. 4.2, каждое уравнение преобразовать по Лапласу и разрешить относительно переменной с индексом переменной в правой части, то получится система следующего вида:
/>,
где />— ранее вычисленный коэффициент;
p — комплексный параметр, вызванный применением преобразования Лапласа к производной.
/>
Рисунок 2
Аналогичное выражение получается для напряжений в пассивной электрической цепи, показанной на рисунке 2, если для входных и выходных напряжений использовать одинаковую индексацию.
Зависимость напряжения на внутреннем узле по отношению к общему проводу будет:
/>.
Если положить равными />и />, то достаточно при емкости С=1 мкФ выбрать сопротивление R=160 кОм. В этом случае a=6.25 1/с.
Соединив такие ячейки (аналоги дифференциальных уравнений системы) в последовательную электрическую цепь, мы получаем аналоговую модель дифференциального уравнения теплопроводности, которая изображена на рисунке 3.
/>
Рисунок 3
2.5 Моделирование и численное решение задачи
2.5.1 Решение задачи методом моделирования
/>
Рисунок 4
Таблица 5.-Численное представление результатов моделирования
/>
2.5.1 Решение задачи методом аналогий
/>
Рисунок 5
Выводы
Рисунки 4 и 5, представляющие решение задачи теплопроводности двумя методами, оказались практически идентичными. Затраты на подготовку к моделированию в среде виртуальной гибридной вычислительной машины свелись к построению схем соединения операционных блоков и заданию их параметров. Самой громоздкой частью процесса решения задачи в частных производных, независимо от применяемых вычислительных средств, является построение аппроксимирующей математической модели.
Таким образом, использованию пакета схемотехнического моделирования и созданной в его среде виртуальной гибридной машине альтернативы, на наш взгляд, нет. По крайней мере, это справедливо для задач с числом уравнений до ста. Наибольшим достоинством такого решения состоит в наглядности, оперативности и точности получаемых результатов.