Цель работы: Получить навыки описания метода решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии.
Задание: 1) Согласно заданному варианту описать методы решения задачи.
2) На основе описанных методов разработать математическую модель.
Задача: Задано множество точек, найти параметры окружности минимального радиуса, проходящие через три точки множества.
Ход работы
І)Математическая постановка задачи:
/>1) Найтинаименьший радиус окружностипо формуле: i: = 1…n
D=/>, где ;
j: = 1… 2)D1,D2,D3- радиусы окружности;/>
3) X/>Y/>, X/>Y/>, X/>Y/>, X/>Y/> — координаты точек множества;
/>4) D=/>-формула нахождения расстояния между двумя точками;
5)
-система уравнения или неравенства;
/>/>6)
-совокупность уравнения или неравенства;
/>
7) />-знак больше
/>-знак меньше
=-знак равно;
8) A, B, C, E — некоторые точки с определенными координатами
ІІ) Описание методов решения:
Метод 1. Метод заключается в том, что бы найти наименьший радиус окружности с помощью последовательного соединения точек с одной, а затем проделывания этого с каждой из точек множества. Затем, с помощью формулы нахождения расстояния между двумя точками
(D=/>), необходимо вычислить длины получившихся отрезков. После вычисления отрезки необходимо сравнить между собой. В результате если два отрезка, выходящие из одной точки, равны — это и есть радиусы окружности. Но из условия, поставленные задачей, необходимо найти минимальный радиус окружности проходящей через три точки множества. Если при сравнении несколько пар одинаковых отрезков — необходимо найти наименьшую пару – это и будет минимальный радиус окружности. (Рис.№1)
/>
Рис.№1
Метод 2.Второй метод заключается в том, что бы искать минимальный радиус окружности при помощи соединения множество точек между собой, и в результате получение множество геометрических фигур ( в данном случае геометрические фигуры – треугольники). Затем необходимо найти расстояние сторон треугольника. Для этого возьмем формулу нахождения расстояния между двумя точками (D=/>). В случаи, если стороны выходящие из одной точки равны – это и есть радиусы окружности, так как через равные отрезки, выходящие из одной точки можно провести окружность с центром точки соединения этих отрезков. В случае, если в конечном результате вычисления несколько равных сторон, выходящих из одной точки, необходимо найти минимальный радиус окружности. Минимальным радиусом будут стороны с наименьшей длиной (рис.№ 2).
ІІІ) Анализ метода решения:
Первый метод более эффективен, чем второй, так как требует меньшее количество арифметических расчетов, и в памяти будет занимать меньшее количество ресурсов.
ІY) Формализация выбранного метода:
D1=/>
D2=/>
D3=/>;
Если D1=D3, то выполняется пункт 3, иначе пункт 4;
D1, D3 — радиусы окружности;
Если D2=D3, то выполняется пункт 5, иначе пункт 6;
D2, D3 – радиусы окружности;
Если D1=D2, то выполняется пункт 7, иначе пункт 8;
D1, D2 – радиусы окружности;
Если D1=D2, и/или D2=D3, и/или D1=D3, то выполняется пункт 9;
В случаи пункта 8 необходимо сравнить на меньший радиус:
/>/>/>
D1=D2 D1=D3 D2=D3
/>/>/>/>/>/>/>D1/>D3 D1/>D2 D2/>D1
/>/>D1/>D3 D1/>D2 D2/>D1
/>/>/>/>/>/>/>--PAGE_BREAK--
/>/>/>D2/>D3 D3/>D2 D3/>D1
/>/>/>/>D2/>D3 D3/>D2D1 D3/>D1
10) Затем необходимо повторить это с оставшимися точками пока не перегенирируются все точки.
YІ. Геометрическое решение задачи
/>
A= (-5;0);
B= (-3;2);
E= (0;1);
C= (-3;-2), так как D=/>, отсюда
1) AB=/>
AE=/>
AC=/>
Так как AB=AC, AB/>AE, AC/>AE, значит АВ и АС- радиусы окружности с центром в точке А.
2) АВ=/>
ЕВ=/>
СВ=/>
Так как АВ/>ЕВ, ЕВ/>СВ, АВ/>СВ, значит АВ, ЕВ, СВ- не являются радиусами окружности и точка В- не является центром окружности.
3) АЕ=/>
СЕ=/>
ВЕ=/>
Так как АЕ/>СЕ, СЕ/>ВЕ, АЕ/>ВЕ, значит АЕ, СЕ, ВЕ- не являются радиусами окружности и точка Е- не является центром окружности.
4) АС=/>
ЕС=/>/>
СВ=/>
Так как АС/>ЕС, ЕС/>СВ, АС/>СВ, значит АС, ЕС, СВ- не являются радиусами окружности и точка С- не является центром окружности.
Из данного множества точек можно провести только одну окружность с минимальным радиусом, проходящей через три точки множества. Отсюда следует, что минимальным радиусом являются отрезки АВ и АС.
Алгоритм реализации:
/>/>выполнять
ввод
/>/>/>n
/>
/>/>/>пока ((n>3) и (n
/>/>/>/>/>для i:=1..m
Вывод
/>/>/>/>
‘Введите координаты’,I,’-ой точки.’
/>
Ввод
/>/>/>
D[i].x, D[i].y
/>
Вывод
/>/>/>
‘D[‘,i,’].x =’,D[i].x;
‘D[‘,i,’].y =’,D[i].y;
/>
/>
дляi:=1..(n-3)
/>/>/>
дляk:=i+1..(n-2)
/>/>/>
для l:=j+1..(n-1)
/>/>/>
для j:=l+1...n продолжение
--PAGE_BREAK--
/>/>/>/>/>
/>/>dk:= (D [i].x-D [k].x)²+(D [i].y-D [k].y)²;
/>/>
/>/>dl:= (D [i].x-D [l].x)²+( D[i].y-D [l].y)² ;
/>/>
/>/>dj= (D [j].x-D [j].x)²+(D [j].y-D [j].y)² ;
/>
/>/>
/>/>
Если (dk=dl) или (dk=dj) тогда
/>/>
Вывод
/>/>/>
‘Точка ',i,'- является центром окружности!'
/>
/>/>Иначе
/>/>
Вывод
/>/>/>
'Точка ',i,' не является центром окружности!'
/>/>
/>Если (dk=dl) или (dj=dl) тогда
/>/>
Вывод
/>/>/>/>
' dl- возможный радиус окружности!'
/>/>/>
Иначе
/>/>
Вывод
/>/>/>/>
'dl-не образует радиус..'
/>/>
Если (dk=dj) или (dk=dl) тогда
/>/>
Вывод
/>/>/>/>
' dk- возможный радиус окружности!'
/>/>/>
Иначе
/>/>
/>/>/>Вывод
/>'dk-не образует радиус… '
/>
Если (dj=dl) или (dj=dk) тогда
/>/>/>
/>/>/>Вывод
' dj- возможный радиус окружности!’
/>
/>/>Иначе
/>/>
Вывод
/>/>/>/>/>/>
/>' dj-не образует радиус’
если (dk
/>/>
Вывод
/>/>/>/>/>
' dk- Наименьший радиус окружности!'
/>/>/>
Если (dk
/>/>/>/>
Вывод
/>/>/>
' dl — Наименьший радиус окружности!'
/>/>
Если (dk=dj) и (dl=dk) тогда
/>/>
Вывод
/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>' dk и dj и dl — Наименьший радиус окружности!'
/>/>
Листингпрограммы:
Program alex;
uses crt;
Type Point = Record
x,y: real;
End; продолжение
--PAGE_BREAK--
pnt = Array [1..20] Of Point;
var
q, nstr,cstr:string;
c:char;
D:pnt;
l,n,i,k,j,code:integer;
di,dj,dk,dl,Dmin:real;
begin
clrscr;
writeln(' Донецкий государственный институт искусственного интеллекта');
writeln;
writeln;
gotoxy(40,6);
write('Кафедра програмного обеспечения');
gotoxy(40,7);
writeln(' интеллектуальных систем');
gotoxy(19,10);
writeln(' Лабораторная работа #2');
writeln(' по курсу:«Алгоритмизация вычислительных процессов»');
writeln(' тема:«Разработка алгоритмов и программы»');
gotoxy(60,20);
write('Выполнил:');
gotoxy(60,21);
write(‘');
gotoxy(60,22);
write();
writeln;
writeln;
writeln;
write('Нажмителюбуюклавишу');
readkey;
clrscr;
writeln(' Задание: Задано множество точек. Найти параметры окружности');
writeln('минимального радиуса проходящей через три точки множества.');
gotoxy(1,25);
write('Нажмите любую клавишу...');
readkey;
clrscr;
repeat
Writeln('Введите количество точек');
readln(nstr);
writeln;
val(nstr,n,code);
if (code0) then
begin
clrscr;
writeln('Это не число! Попробуйте еще раз.');
n:=5;
end;
if not( n in[3..20]) then
begin
clrscr;
code:=1;
writeln('Число не находится в заданном диапазоне! Попробуйте еще раз')
end;
until (code=0);
clrscr;
for i:=1 to n do
begin
repeat
write('Введите координату Х ',i,'-ой точки: ');
readln(cstr);
val(cstr,D[i].x,code);
if (code0) then
begin
writeln('Этонечисло! Попробуйте еще раз.');
continue
end;
clrscr;
if ((D[i].x>100) or (D[i].x
begin
clrscr;
writeln('Диапазон координат точек от -100 до 100!');
code:=1;
continue
end;
until (code=0);
repeat
write('ВведитекоординатуY ',i,'-ойточки: ');
readln readln val(cstr,D[i].y,code);
if (code0) then
begin
clrscr;
writeln('Это не число! Попробуйте еще раз.');
code:=1;
continue
end;
clrscr;
if ((D[i].y>100) or (D[i].y
begin
clrscr;
writeln('Диапазон координат точек от -100 до 100!');
code:=1;
continue
end;
until (code=0);
end;
for i:=1 to n do
begin
writeln('D[',i,'].x=',D[i].x);
writeln('D[',i,'].y=',D[i].y);
end;
for i:= 1 to (n-3) do
for k:= i+1 to (n-2) do
for l:= k+1 to (n-1) do
for j:= l+1 to n do
begin
begin
begin
begin
dk:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[k].x)+Sqr(D[i].y-D[k].y));
dl:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[l].x)+Sqr(D[i].y-D[l].y)); продолжение
--PAGE_BREAK--
dj:=Sqrt(Sqr(D[i].x-D[j].x)+Sqr(D[i].y-D[j].y));
Dmin:=dk;
begin
if (dk=dl) or (dj=dl) then
writeln ('',dl:7:2,' dl-возможный радиус окружноости')
else
writeln ('dl-не образует радиус');
if (dk=dj) or (dk=dl) then
writeln ('',dk:7:2,' dk-возможный радиус окружности')
else
writeln ('dk-не образует радиус');
if (dj=dl) or (dj=dk) then
writeln ('',dj:7:2,' dj-возможный радиус окружности')
else
writeln ('dj-не образует радиус');
if (dk=dl) or (dk=dj) then
writeln ('Точка ',i,' является центром окружности')
else
writeln ('Точка ',i,' не является центром окружности!');
end;
begin
if (dk
writeln ('dk i dl-наименьший радиус окружности') ;
if (dk
writeln ('dk i dj-наименьший радиус окружности');
if (dk=dj) and (dk=dl) then
writeln ('dk i dj i dl-наименьший радиус окружности');
end;
end;
end;
end;
end;
readLn;
end.
Экранные формы:
/>
Вывод:
В ходе лабораторной работы я изучил навыки описания метода решения математической модели на примере решения задач аналитической геометрии.