19
на тему:
Постановка задачі
За допомогою квадратурних формул обчислити визначений інтеграл зі мінною границею
(1)
Побудувати сітку, і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці fn=f(x)
За квадратурною формулою високої точності. Тоді
xnxxn+1
В С Т У П
В практичних розрахунках, у т.ч. в задачах механіки, нерідко виникає необхідність обчислення визначених інтегралів
де під інтегральна функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція (x) неперервна на інтервалі (a,b).
До чисельного знаходження інтеграла звертаються тоді, коли його або неможливо виразити через елементарні функції, або підінтегральна функція задана таблично, а також коли внаслідок інтегрування приходять до незручного для використання виразу. Формули чисельного знаходження визначених інтегралів називаються квадратурними формулами. Побудова квадратурних формул ґрунтується на заміні складної підінтегральної функції деякою більш простою, інтеграл від якої легше обчислити. Виникаюча при цьому похибка називається похибкою квадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можуть бути отримані із простих геометричних міркувань.
1. Постановка задачі чисельного інтегрування
Нехай потрібно знайти визначений інтеграл
(1.1)
де функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція (x) неперервна на інтервалі (a,b). Тоді f(x) наближають такою функцією (x;C) від якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдяки лінійності такої апроксимації відносно параметрів ci функцію можна записати так:
(1.2)
де r(x) - залишковий член апроксимації. Підставляємо (1.2) в (1.1), отримаємо загальну формулу чисельного інтегрування - квадратурну формулу:
;
де хi - вузли, сi - ваги, R - залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f(x).
2. Квадратурні формули.
2.1. Формула прямокутників.
Припустимо, що fC2[-h/2,h/2], h>0 .
(2.1.1)
де f0=f(0), тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).
мал. 2.1.1. Формула прямокутників
Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай
(2.1.2)
Тому що F(0)=0, F/(0)=f0, F//(0)=f/0, F///(x)=f//0,
то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо
(2.1.3)
де - , + - деякі точки , -h/-<+<h/2.
Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення
Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:
(2.1.4)
2.2. Формула трапецій.
Нехай fC2[0,h], h>0
(2.2.1)
де f0=f(0), f1=f(h) тобто інтеграл приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).
мал. 2.2.1. Формула трапецій.
Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f1 та F1=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*):
(*)
(2.2.2)
(2.2.3)
Згідно (2.2.1) маємо
(2.2.4)
Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf0/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що
знаходимо
Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t0, t[0,t] то за теоремою
де [a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :
(2.2.5)
2.3. Формула Сімпсона .
Припустимо, що fC4[-h,h]. Тоді інтеграл
наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f-1), (0,f0), (h,f1), де fi=f(ih) (мал. 2.3.1)
мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)
Зазначена парабола задається рівнянням
у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h, x=0, x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь
Таким чином, формула Сімпсона , називають також формулою парабол, має вид
(2.3.1)
Покладемо F1=F(h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F(k)(x)=
f(k-1 ) (x), 1k5 то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо
Звідси одержуємо
(2.3.2)
тому що інші члени взаємно знищуються.
Оскільки , t[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему про середнє, знаходимо
(2.3.3)
де [0,h], [-h,h] - деякі точки. Приймаючи до уваги, що
з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули
(2.3.4)
тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.
3. Чисельні методи знаходження визначеного
Інтеграла зі змінною верхньою межею
У деяких випадках необхідно обчислити такі інтеграли
Можна, звичайно, розглядати його для кожного значення верхньої границі х як інтеграл зі сталими границями і обчислювати за однією з квадратурних формул, що невигідно у випадку великої кількості значень x. Краще вибрати деяку сітку і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці Fn=F(x) за квадратурної формули високої точності. Тоді
(3.1)
причому останній інтеграл можна одчислювати за простими квадратурними формулами.
Окрім того, маючи таблицю F(xn), можна знаходити F(x) інтерполяцією за цією таблицею. Природно, маючи і похідну інтеграла F (x)=(x)f(x). Краще скористатись інтерполяційним поліномом Ерміта.
4. Опис обчислювального алгоритму
При реалізаціі алгоритму обчислення визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування використовуються процедури та функцiї, для того щоб скоротити витрати машинного часу при обчислюваннi, та для компактностi программи. Программа для знаходження написана на мовi Delphi5, стан пограмми - вiдлажена.
5. Обговорювання результатів
Таблиця 1
Формула (3.1) |
Формула Сімпсона |
Формула трапецій |
Дійсне значення інтеграла |
||
a=0; b=1; |
-0.7974398040 Різниця 0.0000012883 |
-0.7974386790 Різниця 0.0000001633 |
-0.7993252434 Різниця 0.00188672780 |
-0.7974385156 |
|
a=0; b=2; |
3.9190337956 Різниця 0.0000062805 |
3.9190353338 Різниця 0.0000047422 |
3.90875628130 Різниця 0.01028379486 |
3.9190400761 |
|
a=0; b=3; |
10.5498688094 Різниця 0.00002744251 |
10.5498688094 Різниця 0.00002744251 |
10.5247085565 Різниця 0.02518769537 |
10.5498962519 |
|
a=0; b=4; |
17.8842287345 Різниця 0.0000804723 |
17.8842201707 Різниця 0.00008903613 |
17.8382724576 Різниця 0.0460367491 |
17.8843092068 |
|
a=0; b=5; |
25.5043003647 Різниця 0.0001835185 |
25.5042688642 Різниця 0.00021501907 |
25.4318420115 Різниця 0.0726418717 |
25.5044838833 |
|
a=0; b=6; |
33.2576007639 Різниця 0.00035637138 |
33.2575244054 Різниця 0.00043272988 |
33.1529684530 Різниця 0.1049886822 |
33.2579571352 |
Таблиця 1 була отримана при наступних вхідних даних:
Кількість вузлів при побудові таблиці значень інтегралу (1) =20
Кількість вузлів при застосуванні формули трапецій =20
Кількість вузлів при застосуванні формули Сімпсона =20
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |