Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова Государственный университет Молдовы Физический факультет Кафедра теоретической физики Курсовая Работа Тема: Электрон в слое. Руководитель работы: Климин С. Н. Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей Кишинёв 1997 г. Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений. Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом : м -? 2/(2m)Ч¶2/¶x2 + U0 , x Щ п H = н -? 2/(2m0)Ч¶2/¶x2 , -a п о -? 2/(2m)Ч¶2/¶x2 + U0 , x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ; m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : м ¶2YI/¶x2 + 2m/? 2Ч(E - U0)YI = 0 , x Ј -a п н ¶2YII/¶x2 + 2m0/? 2ЧEЧYI = 0 , -a Ј x Ј a п о ¶2YIII/¶x2 + 2m/? 2Ч(E - U0)ЧYI = 0 , x і a Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу : YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, YI(x) = AЧexp(nЧx).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется : YII(x) = CЧexp(iЧkЧx) + DЧexp(-iЧkЧx). Функция состояния для третьей области выглядит так : YIII(x) = FЧexp(-nЧx). Где k = (2m0ЧE/? 2)1/2 n = (2mЧ(U0-E)/? 2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A, C, D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т. е. запишем условия сшивания волновых функций : YI(x=-a) = YII(x=-a) YII(x=a) = YIII(x=a) YIў(x=-a)/m = YIIў(x=-a)/m0 YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m А в наших определениях этих функций это выглядит так : AЧexp(-nЧa) = CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)
m-1ЧAЧ nЧexp(-nЧa) = iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(-iЧkЧa) - DЧexp(iЧkЧa)) CЧexp(iЧkЧa) + DЧexp(-iЧkЧa) = FЧexp(-nЧa) iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(iЧkЧa) - DЧexp(-iЧkЧa)) = - n/mЧFЧexp(-nЧa). Теперь составим определитель : |exp(-nЧa) -exp(-iЧkЧa) -exp(iЧkЧa) 0 |
|m-1ЧnЧexp(-nЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) 0 | |0 exp(iЧkЧa) exp(-iЧkЧa) -exp(-nЧa) |
|0 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/mЧnЧexp(-nЧa)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 - (k/m0)2)ЧSin(2ЧkЧa) + 2ЧkЧn/(mЧm0)ЧCos(2ЧkЧa) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона. Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = FЧexp(-nЧa)Ч{exp(iЧkЧa) + exp(-3ЧiЧkЧa) Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0)} D = CЧexp(-2ЧiЧkЧa)Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0) A = exp(nЧa)Ч(CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения : A = RAЧF C = RCЧF D = RDЧF. RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно : YI(x) = FЧRAЧexp(nЧx) YII(x) = FЧ( RCЧexp(iЧkЧx) + RDЧexp(-iЧkЧx)). YIII(x) = FЧexp(-nЧx). I1 + I2 + I3 = 1 Где
I1 = |F|2Ч|RA|2ЧтQexp(2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(2ЧnЧx) = = |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa)
I2 = |F|2Ч{ тL|RC|2Чdx + тL|RD|2Чdx + RCЧRD*ЧтLexp(2ЧiЧkЧx)Чdx + + RC*ЧRDЧтLexp(-2ЧiЧkЧx)Чdx } = |F|2Ч{ 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) + ((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) + + iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) } I3 = |F|2ЧтWexp(-2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) |F|2 = { |RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) + 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) + ((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) +
+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) + (2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) }-1. Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона. Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто: U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера: ¶2Y/¶x2 + 2m/? 2Ч(E - U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом: r = exp(i 2ak) Тогда Y(x+2ma) = Y(x)Чrm , где m=0, ±1, ±2, .... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E Рассмотрим область I: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2YI/¶x2 + 2m2/? 2Ч(E - U0)YI = 0 , 0 > x > -a его решение выглядит просто: YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx). Где n = (2m2 (U0-E) /? 2)1/2 Рассмотрим область II: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2YII/¶x2 + 2m1/? 2ЧE YII = 0 , a і x і 0 его решение выглядит просто: YII(x) = CЧexp(iЧpЧx) + DЧexp(-iЧpЧx). Где p = (2m1E/? 2)1/2 Рассмотрим область III: ¶2YIII/¶x2 + 2m2/? 2Ч(E - U0)YIII = 0 , 2a > x > a его решение выглядит просто: YIII(x) = r (AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx)). Запишем граничные условия: YI(x=0) = YII(x=0) YII(x=a) = YIII(x=a) YIў(x=0)/m = YIIў(x=0)/m0 YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a)) (A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a)) Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель : |1 1 -1 -1 |
|exp(iЧkЧ2a+nЧa) exp(iЧkЧ2a-nЧa) -exp(iЧpЧa) -exp(-iЧpЧa) | |n/m2 -n/m2 -iЧp/m1 iЧp/m1 |
|n/m2exp(iЧkЧ2a+nЧa) -n/m2Чexp(iЧkЧ2a-nЧa) - iЧp/m1Чexp(iЧpЧa) iЧp/m1Чexp(-iЧpЧa) | и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a=10; U=10; m1=4; m2=1 0. 1135703312666857 0. 6186359585387896 0. 2019199605676639 0. 3155348518478819 0. 05047267055441365 1. 263391478912778 0. 4544326758658974 2. 137353840637548 0. 808172718170137 2. 479933076698526 0. 4544326758658974 6. 168062551132728 5. 611693924351967 1. 820461802850339 1. 529165865668653 1. 023077302091622 a=10 U=10 m1=2 m2=1 0. 1032788024178655 0. 2324238959628721 0. 41331603936642 0. 6460490460448886 0. 930750939555283 1. 26759057783714 1. 656787195799296 2. 098624192369327 2. 593469359607937 3. 141805331837109 3. 744277072860902 5. 887485640841992 a=10 U=10 m1=1 m2=1 0. 05408120469105441 0. 2163802958297131 0. 4870681554965061 0. 86644533469418 1. 354969224117534 1. 953300729714778 2. 662383817919513 4. 418966218448088 7. 961581805911094 a=10 U=10 m1=0. 5 m2=1 0. 118992095909544 4. 249561710930034 1. 068004282376146 0. 4754473139332004 5. 78216724725356 2. 955345679469631 1. 895012565781256 a=10 U=10 m1=. 25 m2=1 0. 2898665804439349 4. 30026851446248 2. 479039415645616 1. 132264393019809