Часть 1.
Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Дано: Для схемы: U0(t)= U0=const U0=5 В i0(t)=I0d1(t) I0=2 A Составить уравнения состояния для цепи при tі0.
Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа: (1)
Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния: (2) Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad: Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид: 1. 2 Найти точные решения уравнений состояния.
Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния: Общий вид точных решений уравнений состояния:
Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом: Начальные условия (находятся из схемы):
Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации. При t=0:
Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:
Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния: При t=0:
Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их: Точные решения уравнений состояния:
Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов. Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера: Подставляя выражения производных из уравнений состояния:
h – шаг расчета =2*10-6с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.
1. 2. 2 Найти точные решения уравнений состояния. (второй способ) e(A)t = a0 + a1(A) e(A)t= (X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V]
1. 4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния. Часть 2.
Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Анализу подлежит следующая цепь: Параметры импульса: Um=10 В tu=6*10-5 c Форма импульса: 2. 1 Определить функцию передачи:
воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s.
Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые: Решаем эту систему: Таким образом: Функция передачи:
2. 2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты. Полюсы: Нули: Плоскость комплексной частоты:
2. 3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения. Импульсная характеристика: Выделим постоянную часть в HU(s): Числитель получившейся дроби: Упрощенное выражение HU(s):
Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя: Коэффициенты разложения: Оригинал импульсной характеристики: Переходная характеристика: Этим же методом находим оригинал характеристики: 2. 4 Определить изображение по Лапласу входного импульса. Изабражение по Лапласу фукции f(t): Входной импульс представляет собой функцию Поэтому изображение входного сигнала будет 2. 5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU(s). Изображение выходного сигнала:
Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя: Для части выражения при , используя теорему о разложении:
Для части выражения не имеющей множителя , используя теорему о разложении:
Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:
2. 6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом– входной и выходной сигналы. Переходная h1(t) и импульсная h(t) характеристики. Входной и выходной сигналы. Часть 3.
Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.
3. 1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи HU(s). амплитудно-фазовая характеристика: амплитудно-частотная характеристика: фазо-частотная характеристика: График АЧХ: График ФЧХ: 3. 2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0. 707. Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с-1.
3. 3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0. 1. Амплитудный спектр входного сигнала: Фазовый спектр входного сигнала: График амплитудного и фазового спектра входного сигнала: Ширина спектра с-1 .
3. 4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.
Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*104 с-1, где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.
3. 5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала. Получаются по формулам:
3. 6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина. Вещественная характеристика:
Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции. График вещественной характеристики: Тогда:
График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч. 2. Часть 4.
Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии. Дано: T=18*10-5c. Um=10 В. tu=6*10-5c. форма сигнала u0(t):
4. 1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.
Коэффициенты ряда Фурье для u0(t) найдём из следующего соотношения: где w1 = 2p/Т , k=0, 1, 2, .... w1=3. 491*104с.
Значения Ak и akприведены в табл. , на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u0(t). k Ak ak 0 0 0 1 2. 067 0. 524 2 3. 308 -0. 524 3 2. 774 -1. 571 4 2. 363 -2. 618 5 1. 034 2. 618 6 0 1. 571 7 0. 413 -2. 618 8 0. 301 2. 618 9 0 1. 571 Таким образом, в соответствии с шириной спектра .
4. 2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3. 3. 4. 3 Используя рассчитанные в п. 3. 1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье. Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений kw1, k=0, 1, 2, .... , 8. Тогда k Ak ak 0 0 0 1 0. 208 1. 47 2 0. 487 -0. 026 3 0. 436 -1. 355 4 0. 361 -2. 576 5 0. 15 2. 554 6 0 1. 443 7 0. 054 -2. 785 8 0. 037 2. 429 9 0 1. 371 В итоге получим:
4. 4 Построить напряжение на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.