МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КУРСОВАЯ РАБОТА
“Программа приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ф – лы Симпсона на компьютере” Выполнил: студент ф – та ЭОУС – 1 – 12 Валюгин А. С. Принял: Зоткин С. П. Москва 2001 Введение
Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или инойприближеннойформулы. Для решения этой задачи на компьютере, среди прочих, можно воспользоватьсяформулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается именно последняя. Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a, b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 1). рис. 1
Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = (a + b) / 2 пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на 3 равные части и проведем через них прямыеx = p и x = q. Пусть P и Q –точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле
I » (aA + pP) / 2 * h + (pP + qQ) / 2 * h + (qQ + bB) / 2 * h, где h = (b – a) / 3. Откуда получаем I » (b – a) / 6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)
заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2 * f(c), в итоге получаем малую фор – лу Симпсона
Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подинтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (1). После указанных выше действий получится“большая” формула Симпсона, которая имеет вид,
где Yкр = y1 + yn, Yнеч = y3 + y5 + … + yn – 1, Yчет = y2 + y4 + … + yn – 2, а h = (b – a) / n.
Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = xі(x - 5)І на отрезке [0, 6] (рис. 2). На этом отрезке функция непрерывна и принимает только неотрицательные значения, т. е. знакопостоянна. рис. 2
Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью формулы Симпсона. Программа состоит из трех функций main, f и integral. Функция main вызывает функцию integral для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Integral–основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Integral принимает четыре параметра: пределы интегрирования типа float, допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле | (In/2 – In) / In | ,
где In интеграл при числе разбиений n, не будет меньше требуемой. Например, допустимая относительная ошибка e = 0. 02 это значит, что максимальная погрешность в вычислениях будет не больше, чем In * e = 0. 02 * In. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что Yкр постоянная, а Yнеч = Yнеч + Yчет, поэтому эти значения вычисляются единожды. Высокая точность и скорость вычисления делают использование программы на основе формулы Симпсона более желательным при приближенном вычислении интегралов, чем использование программ на основе формулы трапеции или метода прямоугольников. Ниже предлагается блок – схема, спецификации, листинг и ручной счет программы на примере поставленной выше задачи. Блок – схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификациидают представление о назначении каждой переменной в основной функции integral, листинг - исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы. Блок – схема программы ДА НЕТ Спецификации Имя переменной Тип Назначение n int Число разбиений отрезка [a, b] i int Счетчик циклов a float Нижний предел интегрирования b float Верхний предел интегрирования h float Шаг разбиения отрезка e float Допустимая относительная ошибка f float (*) Указатель на интегрируемую фун - цию s_ab float Сумма значений фун – ции в точках a и b s_even float Сумма значений фун – ции в нечетных точках s_odd float Сумма значений фун – ции в четных точках s_res float Текущий результат интегрирования s_pres float Предыдущий результат интегрирования Листинг программы #include #include /* Прототип фун – ции, вычисляющей интеграл */ float integral(float, float, float, float (*)(float)); /* Прототип фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */ float f(float); main() { float result; result = integral(0, 6, . 1, f); printf("%f", result); return 0; }
/* Реализация фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */ float f(float x) { /* Функция f(x) = xі(x - 5)І */ return pow(x, 3) * pow(x - 5, 2); } /* Реализация фун – ции, вычисляющей интеграл */
float integral(float a, float b, float e, float (*f)(float)) { int n = 4, i; /* Начальное число разбиений 4 */
float s_ab = f(a) + f(b); /* Сумма значений фун – ции в a и b */ float h = (b – a) / n; /* Вычисляем шаг */ float s_even = 0, s_odd; float s_res = 0, s_pres; /* Сумма значений фун – ции в нечетных точках */ for (i = 2; i s_even += f(a + i * h); } do { s_odd = 0; s_pres = s_res; /* Сумма значений фун – ции в четных точках */ for (i = 1; i s_odd += f(a + i * h); } /* Подсчет результата */ s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd); /* Избегаем деления на ноль */ if (s_res == 0) s_res = e; s_even += s_odd; n *= 2; h /= 2;
} while (fabs((s_pres - s_res) / s_res) > e); /* Выполнять до тех пор, пока результат не будет удовлетворять допустимой ошибке */ return fabs(s_res); /* Возвращаем результат */ } Ручной счет Таблица константных значений для n = 8 Имя переменной Значение a 0 b 6 e . 1 s_ab 216 h . 75 Подсчет s_even i a + i * h f(a + i * h) s_even 2 1. 5 41. 34375 41. 34375 4 3 108 149. 34375 6 4. 5 22. 78125 172. 125 Подсчет s_odd i a + i * h f(a + i * h) s_odd 1 . 75 7. 62012 7. 62012 3 2. 25 86. 14158 93. 7617 5 3. 75 82. 3973 176. 159 7 5. 25 9. 044 185. 203 Подсчет s_res т f(x) dx s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd) Абсолютная ошибка 324 325. 266 1. 266