Московский Государственный Институт Электроники и Математики (Технический Университет) КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу “Теория случайных функций“ Студент: Ференец Д. А. Преподаватель: Медведев А. И. Вариант: 2. 4. 5. б Москва, 1995 Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5, 1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ? равна ? ??
Время невыхода из строя (т. е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром? .
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром? . Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс ? (t) = (? (t), ? (t)) с координатами, описывающими: - функционирование элементов ? (t) ? {0, 1, 2} - число неисправных элементов; - функционирование КПУ ? (t) ? {0, 1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что? (t) - однородный Марковский процесс. Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса ? (t) (т. е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса? (t) (т. е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ). Таким образом, можно построить граф состояний системы: 1 П 0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов, т. е. состояние ? (t) = (0, ? (t)) 1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент, т. е. состояние ? (t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т. е. композиция состояний ? ?(t) = (1, 1), ? (t) =(2, 0) - поглощающее состояние. Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим: вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5? h) ? ?5? h + o(h) вероятность восстановления элемента: 1-exp(-? h) ? ?? h + o(h) ? ? Пусть ? ?Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова: Пусть , т. е. применим преобразование Лапласа к . Т. к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем: ? ? ? ? ? ?? ?корни ? ??
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций : ? ? ? ?
? ?Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t: ? где , Итак, ? ? где
Определим теперь среднее время жизни такой системы, т. е. MT (T - время жизни системы): ? ?