ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Основные сведения
Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т. 2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период . 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство . Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1)
, то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам: , где n=1, 2, ... .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой). Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: = = = 0 , где n=1, 2, ... .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n=1, 2, ... .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где , , ,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0, L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L, 0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a, b], надо : доопределить на [b, a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L, a] и периодически продолжить. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a, b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a, b], если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a, b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a, b] по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством: n=1, 2, ....
Если ортогональная система функций на отрезке [a, b] ортонормированная, то в этом случаи где n=1, 2, ....
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд: ,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a, b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a, b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1). Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством , где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул: (n=1, 2, ... . ) Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x, t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u(x, t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2) и начальных условиях: (3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, чтоu(x, t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведенияu(x, t)=X(x)T(t), (4) , где , . Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и , что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль. б) Пусть . Тогда решив уравнение получим , и, подчинив, найдем, что в) Если то Уравнения имеют корни : получим: где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем: откуда , т. е. (n=1, 2, ....) (n=1, 2, ....). Учитывая это, можно записать: (n=1, 2, ....). и, следовательно , (n=1, 2, ....), но так как A и B разные для различных значений n то имеем , (n=1, 2, ....),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). Итак, подчиним функцию u(x, t) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой где (n=1, 2, ....) Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на (т. е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функцииf(x) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида: , где , . Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем: (3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так: , где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) : (4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: , где b(u) определяется равенством (4). Комплексная форма интеграла Фурье , (5) где .
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x). Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим: , где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул: Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье. где n=1, 2, .... , k=1, 2, ....
Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор при этом, . ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные : (Рис. 1)
Функция периодическая с периодом . ( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине, где -точки разрыва. Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале . 2) F(x) - кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия то рассматриваемая функция произвольна. Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1. Поэтому формулу для можно записать в виде: ( так как ). Отдельно рассмотрим случай когда n=1: . Подставим найденные коэффициенты в получим: и вообще . Найдем первые пять гармоник для найденного ряда: 1-ая гармоника , 2-ая гармоника , 3-ая гармоника , 4-ая гармоника , 5-ая гармоника ,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники. Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию) ,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 : (т. к. см. разложение выше) и случай когда n=-1: (т. к. ) И вообще комплексная форма: или или