Пензенский приборостроительный колледж на тему: Метод касательных решения нелинейных уравнений Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р. Н. Проверила: ______________ Ковылкино – 1999 г. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ студент Ляпин Р. Н. группа 22п Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений". Изучить теоретический материал по заданной теме. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных. Определить корни уравнения х3 + 0, 1 * х2 + 0, 4 * х –1, 2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0, 000001 методом касательных Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
Исходные данные для исследования: научная и техническая литература. Руководитель курсовой работы: Кривозубова С. А. Задание принял к исполнению: Ляпин Р. Н. РЕФЕРАТ
Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников. Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение. Объект исследования: Корни нелинейного уравнения. Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.
Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме. Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7. 0 Область применения: в работе инженера. СОДЕРЖАНИЕ стр.
ВВЕДЕНИЕ............................................................ 5 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона).............................. 7 2. Решение нелинейного уравнения аналитически ... 9
3. Блок схема программы .................................... 11 4. Программа на языке PASCAL 7. 0 ...................... 12 5. Результаты выполнения программы ................... 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ...................... 14 ВВЕДЕНИЕ
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания). Математическая формулировка задачи. Разработка алгоритма решения задачи. Написание программы на языке программирования. Подготовка исходных данных . Ввод программы и исходных данных в ЭВМ. Отладка программы. Тестирование программы. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19. 002-80 и ГОСТ 19. 003-80.
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия. 1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f’ и f ”.
Так как f ’(x) ? 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде : x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1) Решая его методом итераций можем записать : xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n)) (2)
Если на отрезке [a; b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул –евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид : y = f (b) + f ’(b) * (x – b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ? 0, решаем его относительно x. Получим : x = b – (f (b) /f ‘(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox : x1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)). Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox : x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1)) Вообще : xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a; b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a; b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a; b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула : |c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a; b] . На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a; b] выполняется условие 0 |c-x k-1| ? ? ?? ? 2. Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х3 + 0, 1х2 + 0, 4х – 1, 2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х3 + 0, 1х2 + 0, 4х – 1, 2 f ‘ (x) = 3х2 + 0, 1х + 0, 4 f (–1) = –2, 5 0 x - ? -1 0 +1 + ? sign f (x) + +
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].
Приведем уравнение к виду x = ? (x) , так , чтобы | ? ‘ (x) | Вычисления расположим в таблице. n хn х2n х3n ? (хn). f (x) 1 1 1 1 0, 85 -0, 17363 2 0, 85 0, 7225 0, 614125 0, 9368125 0, 08465 3 0, 9368125 0, 87761766 0, 822163194 0, 89448752 -0, 04651 4 0, 89448752 0, 800107923 0, 715686552 0, 917741344 0, 024288 5 0, 917741344 0, 842249174 0, 772966889 0, 905597172 -0, 01306 6 0, 905597172 0, 820106238 0, 74268589 0, 912129481 0, 006923 7 0, 912129481 0, 83198019 0, 758873659 0, 908667746 -0, 0037 8 0, 908667746 0, 825677072 0, 750266124 0, 910517281 0, 001968 9 0, 910517281 0, 829041719 0, 754856812 0, 909533333 -0, 00105 10 0, 909533333 0, 827250884 0, 752412253 0, 910057995 0, 000559 11 0, 910057995 0, 828205555 0, 753715087 0, 909778575 -0, 0003 12 0, 909778575 0, 827697055 0, 753021048 0, 909927483 0, 000159 13 0, 909927483 0, 827968025 0, 753390861 0, 909848155 -8, 5E-05 14 0, 909848155 0, 827823665 0, 753193834 0, 909890424 4, 5E-05 15 0, 909890424 0, 827900583 0, 753298812 0, 909867904 -2, 4E-05 16 0, 909867904 0, 827859602 0, 753242881 0, 909879902 1, 28E-05 17 0, 909879902 0, 827881437 0, 753272681 0, 90987351 -6, 8E-06 18 0, 90987351 0, 827869803 0, 753256804 0, 909876916 3, 63E-06 19 0, 909876916 0, 827876002 0, 753265263 0, 909875101 -1, 9E-06 20 0, 909875101 0, 827872699 0, 753260756 0, 909876068 1, 03E-06 График функции y = х3 + 0, 1х2 + 0, 4х – 1, 2 3. Блок схема программы 4. Программа на языке PASCAL 7. 0 program metod_kasatel; {Название программы} uses Crt; {Модуль дисплейных функций} var {Блок описаний переменных} xn, xn1, a, b, c, mx, y0, x0 : real; function f1(x1: Real): Real; {Основная функция} begin f1 : = x1*x1*x1*(-0. 5)-0. 05*x1*x1+0. 8*x1+0. 6; end;
function f2(x4: Real): Real; {Производная от основной функции} begin f2 : = x4*x4*x4+0. 5*x4*x4+0. 1*x4*x4+0. 4*x4–1. 2; end; begin {Начало основного тела программы} Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы} a: =0; b: =1; c: =0. 00000001; Writeln(' От A=', a, ' до B=', b); {Вывод на экран} Writeln(' Погрешность с=', c); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} xn: =b; xn1: = f1(xn); y0: =f2(b); while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня} begin {Тело цикла} xn: =xn1; xn1: =f1(xn); y0: = f2(xn1); {Печать промежуточного результата} Writeln('xn=', xn, ' xn+1=', xn1, ' f(xn+1)=', y0); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} end; {Конец тела цикла}
Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата} Writeln(' xn+1=', xn1, ' f(xn+1)=', y0); Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter} end. {Конец основного тела программы} 5. Результаты выполнения программы От A= 0. 0000000000E+00 до B= 1. 0000000000E+00 Погрешность с= 1. 0000000000E-08 От A= 0. 0000000000E+00 до B= 1. 0000000000E+00 Погрешность с= 1. 0000000000E-08
xn= 8. 5000000000E-01 xn+1= 9. 3681250000E-01 f(xn+1)= 8. 4649960270E-02 xn= 9. 3681250000E-01 xn+1= 8. 9448751986E-01 f(xn+1)=-4. 6507647892E-02 xn= 8. 9448751986E-01 xn+1= 9. 1774134381E-01 f(xn+1)= 2. 4288343840E-02 xn= 9. 1774134381E-01 xn+1= 9. 0559717189E-01 f(xn+1)=-1. 3064617920E-02 xn= 9. 0559717189E-01 xn+1= 9. 1212948085E-01 f(xn+1)= 6. 9234699658E-03 xn= 9. 1212948085E-01 xn+1= 9. 0866774587E-01 f(xn+1)=-3. 6990702320E-03 xn= 9. 0866774587E-01 xn+1= 9. 1051728099E-01 f(xn+1)= 1. 9678960780E-03 xn= 9. 1051728099E-01 xn+1= 9. 0953333295E-01 f(xn+1)=-1. 0493249720E-03 xn= 9. 0953333295E-01 xn+1= 9. 1005799543E-01 f(xn+1)= 5. 5884091853E-04 xn= 9. 1005799543E-01 xn+1= 9. 0977857497E-01 f(xn+1)=-2. 9781681224E-04 xn= 9. 0977857497E-01 xn+1= 9. 0992748338E-01 f(xn+1)= 1. 5865717614E-04 xn= 9. 0992748338E-01 xn+1= 9. 0984815480E-01 f(xn+1)=-8. 4537703515E-05 xn= 9. 0984815480E-01 xn+1= 9. 0989042365E-01 f(xn+1)= 4. 5040009354E-05 xn= 9. 0989042365E-01 xn+1= 9. 0986790364E-01 f(xn+1)=-2. 3997676180E-05 xn= 9. 0986790364E-01 xn+1= 9. 0987990248E-01 f(xn+1)= 1. 2785800209E-05 xn= 9. 0987990248E-01 xn+1= 9. 0987350958E-01 f(xn+1)=-6. 8122881203E-06 xn= 9. 0987350958E-01 xn+1= 9. 0987691573E-01 f(xn+1)= 3. 6295678001E-06 xn= 9. 0987691573E-01 xn+1= 9. 0987510095E-01 f(xn+1)=-1. 9338276616E-06 xn= 9. 0987510095E-01 xn+1= 9. 0987606786E-01 f(xn+1)= 1. 0303429008E-06 xn= 9. 0987606786E-01 xn+1= 9. 0987555269E-01 f(xn+1)=-5. 4896190704E-07 xn= 9. 0987555269E-01 xn+1= 9. 0987582717E-01 f(xn+1)= 2. 9248803912E-07 xn= 9. 0987582717E-01 xn+1= 9. 0987568093E-01 f(xn+1)=-1. 5583464119E-07 xn= 9. 0987568093E-01 xn+1= 9. 0987575885E-01 f(xn+1)= 8. 3031409304E-08 xn= 9. 0987575885E-01 xn+1= 9. 0987571733E-01 f(xn+1)=-4. 4236003305E-08 xn= 9. 0987571733E-01 xn+1= 9. 0987573945E-01 f(xn+1)= 2. 3572283681E-08 xn= 9. 0987573945E-01 xn+1= 9. 0987572766E-01 f(xn+1)=-1. 2558302842E-08 xn= 9. 0987572766E-01 xn+1= 9. 0987573394E-01 f(xn+1)= 6. 6920620156E-09 Конечные значения xn+1= 9. 0987573394E-01 f(xn+1)= 6. 6920620156E-09 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Алексеев В. Е. , Ваулин А. С. , Петрова Г. Б. –Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию : Практ . пособие/–М. : Высш. шк. , 1991. – 400 с.
Абрамов С. А. , Зима Е. В. – Начала программирования на языке Паскаль. – М. : Наука, 1987. –112 с. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А. В. Петров, В. Е. Алексеев, А. С. Ваулин и др. – М. : Высш. шк. , 1990 – 479 с. Гусев В. А. , Мордкович А. Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1990. – 416 с. Марченко А. И. , Марченко Л. А. – Программирование в среде Turbo Pascal 7. 0 – К. : ВЕК+, М. : Бином Универсал, 1998. – 496 с.