МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова КУРСОВАЯ РАБОТА по вычислительной математике. Вычисление двойных интегралов методом ячеек. Выполнил студент факультета ИиВТ, группа ИВТ-11-00 Борзов Леонид Чебоксары-2002 Содержание. Теоретическая часть…………………………………………3 Задание………………………………………………………...4 Текст программы. ……………………………………………5 Блок-схема программы……………………. ……………….... 6 Выполнение программы в математическом пакете………...7 Список использованной литературы…………………….........8 Теоретическая часть.
Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида I= (1)
Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , . По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x, y): S=(b-a)(d-c). (2)
Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е... Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла: (3)
Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейкиDij (рис. 1): xi-1 i (i=1, 2, …, M), yi-1 i (j=1, 2, …, N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим ттDGijf(x, y)dxdy»¦()DxiDyi.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла: I, j) (4)
В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функцииf(x, y).
Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением Rij»DxiDyj.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде O(Dx2+Dy2).
Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношениеM/N остаётся постоянным. Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями . Текст программы. #include #include float f(float, float); void main() { const float h1=. 0005, h2=. 001; float s1, x, y, i, I; clrscr(); s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for(i=0; i while (y I+=s1*f(x, y); x-=h1; } y+=h2; x=1-h1/2; } cout getch(); } float f(float x, float y){ return x*x+y*y; } Блок-схема программы. Выполнение программы в математическом пакете. h1=. 0005; h2=. 001; s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for i=1: 1/h2 while y x=x-h1; end y=y+h2; x=1-h1/2; end disp('Площадь интеграла равна: '); disp(I);
В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла Площадь интеграла равна: 0. 2190 Список использованной литературы.
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. т. 1 – М. : Наука. 1975.
2. Демидович Б. П. , Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М. : Наука, 1966. 3. Калиткин Н. Н Численные методы. – М. : Наука, 1978.
4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М. : Наука, 1987.