1. ВВЕДЕНИЕ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2. 1. ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены-в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид: = (1)
При такой записи коэффициенты k, k1, ...., kn называют коэффициентами передачи, а T1, ...., Tn - постоянными времени данного звена. Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т. е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена. Размерности коэффициентов передачи определяются как размерность k = размерность y(t) : размерность g(t) размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (? ) Постоянными времени T1, ...., Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1): = = (2) 2. 2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t): y(t)== == =W1(s)+W2(s)+.... +Wn(s) Здесь W1(s), W2(s), ...., Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну. 2. 3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функцияh(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции: w(t)= 2. 4. ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование W(j)=.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: W(jw)=U(w)+jV(w) где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части. W(jw)=A(w),
где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной, j(w)- аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции: A(w)=ЅW(jw)Ѕ
АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции: j(w)=argW(jw) 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ 4. 1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t). Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены. 4. 1. 1. ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: aoy(t)=bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: ao=2 bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)=g(t) y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s) W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1. Тогда h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)==kd(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2Ч1(t) w(t)=2Чd(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=k W(jw)=k (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=k V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A(w)=2 j(w)=0 L(w)=20lg2 U(w)=2 V(w)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т. д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов. 4. 1. 2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Данное звено описывается следующим уравнением: aoy(t)=bog(t-t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: ao=2 bo=4 t=0, 1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)= g(t-t) y(t)=kg(t-t) (2), где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kg(t-t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t-t)=G(s)e-ts
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s) e-ts W(s)= ke-ts (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1. Тогда h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)==kd(t-t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2Ч1(t-t) w(t)=2Чd(t-t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием наt=0, 1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=k e-ts W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=k costw V(w)=-ksintw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)= tw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A(w)=2 j(w)=0, 1w L(w)=20lg2 U(w)=2cos0, 1w V(w)=-2sin0, 1w Вывод: 4. 1. 3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 + aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1, 24 ao=2 bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: +y(t)=g(t) T1 +y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) =sY(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T1 sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)== Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)== Переходя к оригиналу, получим w(t)= e Ч1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T1 =0. 62 h(t)=2 Ч1(t) w(t)=3. 2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает , что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) W(jw)=U(w)+jV(w)==-j U(w)= V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgk - arctg j(w)=-arctgT1 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T1 =0. 62 A(w)= j(w)=arctg0. 62w L(w)=20lg U(w)= V(w)= 4. 1. 4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 - aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1, 24 ao=2 bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: -y(t)=g(t) T -y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) =sY(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T sY(s)-Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)== Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)== Переходя к оригиналу, получим w(t)= e Ч1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T =0. 62 h(t)=2 Ч1(t) w(t)=3. 2eЧ1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает , что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) W(jw)==j=U(w)+jV(w) U(w)= V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgk - arctg j(w)=-arctg(-Tw) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T =0. 62 A(w)= j(w)=-arctg(-0. 62w) L(w)=20lg U(w)= V(w)= 4. 1. 5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0, 588 a1=50, 4 ao=120 bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: ++y(t)=g(t) +T1 +y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T1=, T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения: T1=0, 42 2T2=0, 14
0, 42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) =sY(s) =s2Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)== , где T3, 4=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) = =k Ч1(t)(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1==
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= = = (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(jw) == U(w)= V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)==.....................(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=........................ j(w)=...................... (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=............................
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 1. 6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0, 588 a1=0, 504 ao=12 bo=31, 20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: ++y(t)=g(t) +T1 +y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T1=, T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 2T2=0, 14
0, 042 пусть T2=T, . Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2+2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) =sY(s) =s2Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s2Y(s)+2xT sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)== = Заменим в этом выражении , .Тогда H(s)== = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k = =k Ч1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=== = Переходя к оригиналу, получим w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(jw)= U(w)= V(w)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(2xTjw - T2w2+1)= - arctg j(w)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 1. 6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2- a1 + aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0, 588 a1=0, 504 ao=12 bo=31, 20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: - +y(t)=g(t) -T1 +y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T1=, T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 2T2=0, 14
0, 042 пусть T2=T, . Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2 - 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) =sY(s) =s2Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: s2Y(s) - 2xT sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)== = Заменим в этом выражении , .Тогда H(s)== = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k = =k Ч1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=== = Переходя к оригиналу, получим w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) Выделим вещественную и мнимую части : W(jw)= U(w)= V(w)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T2w2)= - arctg j(w)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 1. 5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2+ aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0, 0588 ao=12 bo=31, 20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: +y(t)=g(t) + y(t)=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T2=-постоянная времени.
Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0. Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) =s2Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Заменим . Тогда H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=== Переходя к оригиналу, получим w(t)= kw0sinw0tЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) U(w)= V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)==(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(1-T2w2)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg (10)
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ 4. 2. 1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1, 24 bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: =g(t) =kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: py(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) =sY(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)=ktЧ1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= w(t)==kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) W(jw)= U(w)=0 V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - argjw j(w)= - arctgw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 2. 2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: + a1 =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0, 0588 a1=0, 504 bo=31, 20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: + =g(t) T+=kg(t) (2), где k=-коэффициент передачи, T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) =sY(s) =s2Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)= - kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kTЧ1(t)= = (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)=kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) W(jw) U(w)= V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - argjw - arg j(w)= - arctgw - arctgTw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 2. 3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 =b1+bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1, 24 bo=4 b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: =+g(t) =k1+kg(t) (2), где k1=, k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: py(t)=(k1p+k)g(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) =sY(s) g(t)=G(s) =sG(t)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=k1sG(s)+kG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) = Переходя к оригиналу, получим h(t)= Ч 1(t) (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= k1Чd(t)+kЧ1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) U(w)=k1 V(w)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=..................(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=.................. j(w)=.................. (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg............
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4. 3. 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: aoy(t)=b1 (1) Коэффициенты имеют следующие значения: ao=2 b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)= y(t)=k (2), где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) =sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=ksG(s) W(s)=ks (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа, т. е. h(t)=H(s) H(s)=W(s)=k Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧd(t) (5)
Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции: w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=ks Переходя к оригиналу, получим w(t)=k (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=ks W(jw)=jkw (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=0 V(w)=kw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=kЅwЅ (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgkw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgkЅwЅ
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения. 4. 3. 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 + aoy(t) =b1 (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1, 24 ao=2 b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: +y(t)= T+y(t)=k (2), где k=-коэффициент передачи, T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) =sY(s) g(t)=G(s) =sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: TsY(s)+Y(s)=ksG(s) W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s)== Переходя к оригиналу, получим h(t)=Ч1(t) (5) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= = Переходя к оригиналу, получим w(t)=Чd(t) e Ч1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw)== 6. Найдем АЧХ: A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)== Найдем ФЧХ: j(w)=argW(jw) j(w)=arctgkw-arctgTw L(w)=20lgA(w) L(w)=20lg 4. 3. 3. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА Данное звено описывается следующим уравнением: a0y(t)=b1+b0g(t) y(t)=+g(t) k1= k= p= y(t)=k1pg(t)+kg(t) y(t)=Y(s) g(t)=G(s) Y(s)=k1sG(s)+kG(s) W(s)=k1s+k H(s)==k1+ h(t)=k1d(t)+k1(t) W(jw)=k1jw+k U(w)=k V(w)=k1w A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= j(w)=argW(jw) j(w)=arctg L(w)=20lgA(w) L(w)=20lg 4. 3. 4. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА a0y(t)=b2+b1+b0g(t) y(t)=++g(t) y(t)=k2+k1+kg(t) y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t) Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s) W(s)=k2s2+k1s+k H(s)=k2s+k1+ h(t)=k2+k1d(t)+k11(t) w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k w(t)=k2+k1+kd(t) W(jw)=k1jw+k - k2w2 U(w)=k - k2w2 V(w)=k1jw A(w)= j(w)=arctg L(w)=20lg