Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.

2)Материал работает в упругой стадии.

3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции

4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.

Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.

Основная система выбирается в момент потери устойчивости .

Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.

Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.

1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова

Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.

В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.

Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m?1):

Y₁

Y₂

Y₃

= ...

(m?1) ...

Y_{n ,}

где m-число ненулевых координат вектора отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.

Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной форме имеет вид

(1.1)

При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.

Обозначим : м-число расчетных сечений

Для составления M_y необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y₁,Y₂,Y₃...Y_n.

Матрица М_у имеет размер(м?m)

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

G-размером (м?м)-матрица податливости всей системы.

Она формируется из матриц податливости отдельных участков.

М_р- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в критическом состоянии.

Для статически-неопределимых систем при определении М_р используется матричный алгоритм метода сил:

(1.2),

где (1.3)-матрица ,раскрывающая статическую неопределимость системы.

Если заданная система статически определимая ,то матрица превращается в единичную матрицу (м?м):

=Е (1.4)

Структура матрицы

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов ,построенной от действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного состояния.

Ординаты эп. зависят от вектора перемещений y

Получим матрицу в виде:

(1.5),

где: H-числовая матрица размером (м?m),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния

Тогда (1.6)

Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений

(1.7)

Обозначим : =k•c (1.8),

Где k-общий множитель ,полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G

Тогда: или ,обозначим (1.9),

где :л-собственное число матрицы ;-собственный вектор матрицы

Преобразуем (1.9)

(1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,

где ;.

Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений относительно ,где матрица составлена из коэффициентов при неизвестных Y₁,Y₂,Y₃...Y_N.

Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения

1) Вектор перемещений равен 0

Y₁ 0

Y₂ 0

Y₃ 0

= ... = ... (1.11)-начальная форма равновесия

... ...

Y_n 0

2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных равен 0.

=0 (1.12)-характеристическое уравнение

Если раскрыть определитель,то получим уравнение m¹⁰ порядка,где неизвестным будет л.

Решение этого уравнения дает значения л,л₁,л₂,л₃…л_m.

Минимальное значение Р_кр составляет л_max ()

minP_кр= (1.13),

где -наибольшее собственное число характеристической матрицы .

Собственный вектор характеристической матрицы дает форму потери устойчивости.

2.ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА

1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.

Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.

2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения и правило знаков для эпюр изгибающих моментов .

3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.

4.Формируются необходимые матрицы .

5.Вычисляется характеристическая матрица

,

где -для статически неопределимых систем;

=Е-для статически определимых систем

6.Решается характеристическое уравнение =0 >

7.Определяется значение критической нагрузки:

minP_кр=

3.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков и имеет следующую структуру

0

G= G_k

(м?м) G_k-матрица податливости участка k

Вид матрицы G_k зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).

1)Участок ,испытывающий только изгиб

G,

где : l₀-длина любого участка ,принятого за основной

B₀-жесткость любого участка ,принятого за основную

_;

2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка вид матрицы G_k зависит от того ,на сколько панелей разбита его длина

а)Длина участка разбита на две панели:

-длина участка

-длина панели

_;

б)Длина участка разбита на три панели:

_;;

в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:

В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.

G_Й

G_k = G_{Й Й}

4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H

Матрица H-числовая матрица размером (м?m), преобразующая вектор перемещений в эпюру моментов грузового состояния.

;

Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М₀

Эпюра М₀ строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.

М₀=

В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.

5.РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все методы делятся на две группы:

1)Первая -позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина и др.)

2)Вторая -позволяет вычислить наибольшее собственное число(и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)

К этой группе относится метод последовательных приближений

Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы .Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:

,

где -характеристическая матрица

-для статически неопределимых систем

=Е- для статически определимых

- собственное число характеристической матрицы

-собственный вектор матрицы

Порядок решения:

1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;

2)Вычисляется: ,

где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.

Вектор следует сделать нормированным ,т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .

3)Далее вновь подсчитывается :

и т.д.

4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.

Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое

6.ПРИМЕР.

Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова

;=Е- т.к. система статически определима

=;;

;

;

;

=0

=0

=108,62

у=

minP_кр=;