Разработка динамических моделей для транспортно-производственной системы

Содержание

Введение

1. Объективная необходимость формирования транспортно-производственных систем

2. Моделирование экономических задач методом линейного программирования.

2.1 Анализ и экономическая постановка задачи

2.2 Формальная постановка и математическая запись

2.3 “Числовая” модель задачи

3. Разработка динамических моделей для транспортно-производственной системы.

3.1 Однопродуктовая многоэтапная транспортно-производственная модель

3.2 Двойственная задача

3.3 Трехэтапная транспортно-производственная модель

3.4 Зависимость параметров модели от параметров времени

Выводы

Список использованной литературы

Введение

Требования и логика развития транспорта как системообразующей отрасли экономики предопределяют необходимость возникновения транспортно-технологических систем, которые, в свою очередь, влекут за собой образование единой транспортной системы страны.

Различные аспекты данной проблемы освещены в ряде научных трудов как отечественных, так и зарубежных ученых: Бандмана М.К., Хачатурова Т.С., Гончарук О.В., Драчева П.Т., Журавеля А.И., Поза-мантира Э.И., Лимонова Э.Л, Персианова В.А., Быкова Г.С., Дунаева О.Н., Жукова Е.А., Мингазова Х.Х., Хонсона Д., Козловского В.Д., Коче-това С.К, Дементьева А.П., Овсянникова А.С., Осипова ВТ. и других.

Данная проблема исследовалась и находила свое практическое применение, прежде всего, в области технологических вопросов развития отраслей транспорта, например таких, как совершенствование погрузо-разгрузочных работ, создание современных комплексов ориентированных на различные грузы; разрешение проблем укрупнения грузов и их соответствующее техническое решение; развитие смешанных перевозок, взаимодействие различных видов транспорта в едином технологическом транспортном комплексе. Экономическая эффективность действия транспортно-технологических систем исследовалась, прежде всего, на макроэкономическом уровне. Но недостаточность имеющихся исследований состоит в том, что они замыкаются, в основном, в пределах транспортной отрасли. Так, упущен из внимания тот аспект транспортного производства, что это, прежде всего, инфраструктурная отрасль и объективность ее возникновения и существования обусловлена необходимостью доставки конкретной продукции от производителя к потребителю, а не развитием транспорта самого по себе и ради себя.

Редкие попытки взаимоувязанного рассмотрения функционирования транспортно-промышленных комплексов, например, Драчевым П.Т., являются скорее исключением, чем правилом.

Целью исследования является моделирование транспортно-производственных систем и разработка направлений ее эффективного функционирования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- раскрыть сущность транспортно-производственной системы;

- изучить современные тенденции проектирования транспортных систем;

- построить производственно-транспортную модель системы.

Объект исследования представляет собой процессы формирования и функционирования транспортно-производственной системы как инструмента и существа рационального управления единым производственным процессом.

Предмет исследования - закономерности, принципы и экономические отношения между основными участниками транспортно-производственной системы и тенденции их развития на стадии формирования и становления подобных систем.

Теоретические и методические основы исследования. Исследование основано на комплексном системном подходе к анализу экономических процессов, выявлении необходимости и роли функционирования транспортно-производственных систем.

Осуществлена обработка и систематизация большого фактического материала и проектных разработок. В процессе исследования использовались монографический, экономико-статистический, экономико-математический, эмпирический и социологический методы исследования, а также методы логического, сравнительного и системного анализа [3].

1. Объективная необходимость формирования транспортно-производственных систем.

Десятилетия директивно-плановой экономики в СССР сформировали особый взгляд на транспорт и его роль в развитии социалистического хозяйства, а отраслевая структура управления народным хозяйством - специфический подход к созданию, развитию транспортной системы и механизму функционирования транспорта в хозяйственном комплексе страны, регионов и административных образований. Сложившийся транспортный комплекс, как любая цельная система, в полной мере раскрыл как свои положительные, так и негативные стороны. С одной стороны, был создан транспортный механизм, способный оказывать огромный объем разнообразных транспортных услуг экономике и населению страны. С другой стороны, ведомственный подход управления породил разобщенность различных видов транспорта, неудовлетворительное, порой однобокое транспортное обслуживание хозяйственного комплекса, большое отставание в развитии транспортных узлов и др. Гипертрофированное наделение приоритетами интересов государственного уровня в ущерб интересам регионов приводило порой к выбору ошибочных направлений его развития, к неэффективным вложениям средств, уводило российский транспорт в сторону от направлений мирового развития. В конечном счете это привело к отставанию от уровня развития транспорта передовых стран. Все это осложняет дальнейшее развитие экономики.

Анализ функционирования транспортно-производственных систем, как одного из направлений развития транспорта, не может быть осуществлен без общего определения транспортного комплекса как такового.

Транспортный комплекс включает транспорт общего пользования с железнодорожным, морским, речным, автомобильным, воздушным видами транспорта, а также всеми видами транспорта, обеспечивающими общественные потребности городов. Определенную часть перевозок выполняет транспорт необщего пользования, в состав которого входит прежде всего транспорт промышленных предприятий и отнесенный к этому виду трубопроводный транспорт, эксплуатация которого ведется отдельными промышленными объединениями. Транспортный комплекс по сложности координации стоящих перед ним задач, по многообразию и многочисленности связей со всеми без исключения отраслями экономики, по численности занятых в производственном процессе, да и по множеству других сторон своего функционирования не имеет аналогов в экономике. Такое положение транспортного комплекса требует как определения перспектив его сбалансированного развития, так и экономического анализа эффективности функционирования транспортного процесса, так как просчеты непременно влекут за собой колоссальные материальные потери, нарушения ритма в работе остальных отраслей [1].

Начало системных исследований в области транспортно-производственных систем относится к концу 70-х годов, когда были заложены основы материально-технической базы различных типов транспортно-производственных систем (ТПС). По мере развития, накопления знаний и практического опыта углубляется и само содержание понятия ТПС.

В экономической литературе встречаются различные определения ТПС:

* «Понятие ТПС комплексное, оно включает в набор технологии перевозок и перевалки груза, типоразмеров транспортных средств, перегрузочной техники, разработку системы организационных, экономических мероприятий, обеспечивающих оптимальное функционирование всего транспортного конвейера в целом»;

* «Понятие ТПС комплексное, оно включает в себя выбор технологии перевозки и перевалки, типоразмеров подвижного состава и перегрузочной техники, а также соответствующее изменение системы управления перевозочным процессом»;

* «Под ТПС понимается комплекс согласованных и взаимоувязанных технических, технологических, экономических, организационных и коммерческо-правовых решений мероприятий, позволяющих с максимальным эффектом и наименьшими затратами обеспечить перевозки грузов на конкретных направлениях от грузоотправителя до грузополучателя. При этом портовые и станционные устройства, подвижной состав различных видов транспорта рассматриваются как отдельные элементы ТПС с едиными требованиями к ее параметрам»;

* «ТПС - это комплекс технических средств с оптимальным соотношением параметров, которые взаимоувязаны согласованной технологией, организацией и управлением перевозочного процесса, включая коммерческо-правовые вопросы, для доставки отдельных или сходных по транспортно-физическим свойствам групп грузов по схеме «дверь-дверь» с минимальными хозяйственными издержками»;

* «ТПС представляет собой организационное, техническое, экономическое, правовое и коммерческое единение разных видов транспорта и погрузочно-разгрузочных систем для доставки отдельных или сходных по транспортно-физическим свойствам групп грузов по схеме «от двери до двери» с минимальными хозяйственными издержками».

Анализ имеющейся к настоящему времени совокупности определений ТПС позволяет выделить то общее, что присуще им:

- материальная основа - комплекс технических средств разных видов транспорта, перегрузочного и складского оборудования с оптимальным соотношением параметров, используемый для доставки отдельных или сходных видов по транспортно-физическим свойствам грузов;

- единая согласованная технология доставки грузов от отправителя к получателю; экономическое и организационное объединение различных звеньев;

- снижение транспортных издержек за счет экономической эффективности функционирования ТПС.

Транспортно-производственная система - это качественно новая форма организации транспортного процесса, когда во всех ее звеньях на основе эффективного использования специализированных транспортных средств, перегрузочного и складского оборудования обеспечивается максимально возможная скоростная сохранная бесперегрузочная доставка груза от грузоотправителя к грузополучателю, снижение удельных транспортных издержек. В комплексе все это приводит к необходимости рациональной организации перевозок, системному подходу к анализу их эффективности, планированию, управлению и контролю на основе создания и обеспечения эффективного функционирования и совершенствования новой формы транспортного обслуживания производства - транспортно-производственных систем. Последние отвечают качественно новой материально-технической базе доставки грузов и обеспечивают повышение эффективности как транспорта, так и общественного производства в целом.

Данное определение транспортно-производственных систем справедливо для таких систем, которые охватывают несколько видов транспорта, значительную территорию, разнообразные грузы и потребителей. Чаще всего в таких ТПС рассматриваются смежные виды транспорта, и прежде всего такие аспекты их взаимодействия, как бесперебойная работа водного (речного и морского) и железнодорожного транспорта. Перегрузка грузов с одного вида транспорта на другой и вытекающие отсюда особенности и организационно-технологические проблемы. Этим определяется роль ТПС в транспортном комплексе.

Понятие, значение и роль ТПС можно рассматривать как в узком смысле, так и в широком.

В рассмотренной организационно-экономической характеристике ТПС предстает как структурная составляющая транспортного комплекса, что и обуславливает ее подчиненное положение по отношению к нему. Это понятие ТПС в узком, отраслевом смысле.

В более широком смысле значение ТПС состоит в следующем. Совокупность путей сообщения различных видов транспорта в их взаимодействии по оказанию обществу транспортных услуг составляет транспортную систему. В зависимости от параметров транспортного пространства можно выделить единую транспортную систему страны, региона, экономического района и т.п.

Транспортная система функционирует как единый организм. Его единство обеспечивается рядом необходимых условий:

* экономико-географических - взаимосвязь отраслей хозяйства и экономических районов требует пропорционального развития территориальных производственных комплексов и сети путей сообщения;

* технологических - единство транспортного процесса требует наиболее выгодного распределения перевозок между различными видами транспорта, согласования их развития и технического оснащения.

Транспортные сети экономических районов слагаются из магистральных путей сообщения и примыкающих к ним внутрирайонных путей для осуществления местных связей, а также для межрегиональных перевозок. Это определяет единство транспортной сети регионов, которая включает в себя различные по специализации и мощности виды транспорта.

Учитывая функциональное технологическое назначение транспорта в общественном производстве (продукт становится товаром только после доставки его потребителю) задача формирования и развития транспортной системы должна рассматриваться как составная часть проблемы развития производительных сил региона, страны, мирового сообщества. С повышением степени хозяйственной самостоятельности регионов ведущее значение начинают приобретать прогнозы и программы их экономического и социального развития. Это обусловлено тем, что транспорт является составной частью социально-экономического комплекса и инфраструктурным элементом, обеспечивающим условие эффективного функционирования экономики.

Необходимо отметить также, что рынок транспортных услуг - сфера деятельности, в которой транспортные предприятия и потребители их услуг вступают между собой в отношения купли-продажи, причем выбор партнеров и условия сделок определяются прежде всего их экономическими интересами.

Свобода выбора партнеров-перевозчиков возникает, если одну и ту же перевозку может выполнить любое из нескольких транспортных
предприятий (одного или различных видов транспорта) с сопоставимым уровнем затрат и качеством требуемой транспортной услуги.

Транспорт, обеспечивая объединение ресурсов производства и экономики отдельного региона и страны в целом, способствует формированию экономического пространства различных уровней и масштабов [3].

2. Моделирование экономических задач методом линейного программирования.

2.1 Анализ и экономическая постановка задачи.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

Критерии оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Для моделирования транспортно-производственных систем используется задачи линейного программирования, а именно транспортные задачи. Общая формулировка задачи имеет следующий вид: пусть осуществляется производство некоторого товара в пунктах A₁, A₂,…,A_m. Объем производства товара в каждом пункте равен соответственно a₁,a₂,…,a_m. Товар необходимо доставить в магазины или потребителям, находящимся в других населенных пунктах: B₁,B₂,…,B_n. Известна потребность каждого потребителя в товаре: b₁,b₂,…,b_n. Задана также стоимость C_ij транспортировки товара из каждого пункта производства A_i каждому потребителю B_j. Требуется составить план завоза товара в магазины, обеспечивающий удовлетворение их спроса при минимальных транспортных издержках.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения. Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям [4].

2.2 Формальная постановка и математическая запись.

Оптимизационная задача - это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Выше описаны условия задачи, которая может быть сведена к решению так называемой однопродуктовой многоэтапной транспортно-производственной модели. Рассматривается один продукт, который от пункта производства до конечного потребителя проходит несколько стадий транспортировки и переработки. Путем несложных преобразований, такую модель можно свести к классической транспортной задаче, методы решения которой описан ниже.

Формальная постановка и математическая запись задачи.

Дано:

A_i - множество наименований поставщиков;

B_j - множество наименований потребителей;

a_i - объем произведенной продукции в i -ом пункте(I ? N);

b_j - платежеспособный спрос на продукцию в j-ом пункте (j ? M);

C_ij - затраты на транспортировку единицы продукции от i-го поставщика j-му потребителю.

Требуется найти такие объемы транспортировки продукции от каждого поставщика к каждому потребителю ( x_i,j > 0, для i = N и j = M) ), при которых достигается минимум транспортных затрат (что при фиксированных ценах реализации продукции равносильно максимизации прибыли), то есть:

(1.1)

При этом должны соблюдаться условия:

- продукции должно быть вывезено не более произведенного количества:

, (1.2)

- платежеспособный спрос должен покрываться:

, (1.3)

Рассмотрим один из методов решения транспортной задачи - метод потенциалов, основанный на идее последовательного улучшения допустимого решения. В методе потенциалов, как и во многих других методах оптимизации, используется следующий прием: строится система оценок (цен-измерителей), позволяющая определить, является ли построенный план оптимальным (другими словами, построить признак оптимальности). Применительно к транспортной задаче признак оптимальности формулируется следующим образом: допустимый план перевозок тогда и только тогда является оптимальным, когда каждому пункту производства и потребления можно поставить в соответствие оценки (потенциалы), удовлетворяющие двум условиям:

Во-первых, разность оценок пунктов потребления ( v_j) и производства ( u_i), между которым запланированы перевозки, равна затратам на транспортировку единицы продукта ( C_i,j) между этими пунктами, т.е.

v_j - u_i= c_i,j. для x_i,j> 0

Во-вторых, аналогичные разности для всех остальных направлений (не вошедших в план) не превосходят затрат на транспортировку.

v_j - u_i< C_i,j. для x_i,j= 0

По сути дела признак оптимальности представляет собой математическое выражение здравого смысла - если какая-то перевозка осуществляется, то цена в пункте потребления равна цене в пункте производства плюс транспортные затраты или (что одно и то же) разница цен на оптимальном направлении равна транспортным затратам. В случае выбора менее эффективного маршрута разница цен не покрывает транспортных затрат и получается убыток. С помощью сформулированного признака оптимальности можно не только проверить на оптимальность любой допустимый план, но, и в случае неоптимальности, указать способ улучшения этого плана. Покажем это на примере решения задачи, изложенной в данной ситуации, предварительно сделав два важных замечания.

Такой метод применим лишь для условий так называемых «закрытых» задач, т.е. когда мощности поставщиков и потребителей сбалансированы. В случае несбалансированности мощностей поставщиков и потребностей потребителей задача приводится к «закрытой» при помощи добавления дополнительного поставщика или потребителя и переноса ему излишков или недостатков продукции [4].

2.3 «Числовая» модель задачи.

В рассматриваемой ситуации A_i(количество поставщиков зерна) равно 3, и B_j (количество потребителей - мелькомбинаты) равно 2. Кроме этого зерно поступает от поставщиков к потребителям через посредников (элеваторы), число которых равно 3. В таблице 1 предоставлены данные по суммарные затраты на транспортировку и обработку зерна (в расчете на 1 ц) на каждом из элеваторов. Суммарно из всех пунктов производства можно поставить 100 тыс.ц. зерна, а элеваторы могут переработать 110 тыс. ц, а суммарные потребности мелькомбинатов равны 100 тыс. ц [2].

Таблица 1.

3. Разработка динамических моделей для транспортно-производственной системы.

3.1 Однопродуктовая многоэтапная транспортно-производственная модель.

Возьмем из задачи, описанной выше, только половину условия:

A_i (количество поставщиков зерна) равно 3, и B_j (количество потребителей - элеваторов) равно 3. В таблице 2 предоставлены данные по суммарные затраты на транспортировку и обработку зерна (в расчете на 1 ц) на каждом из элеваторов. Суммарно из всех пунктов производства можно поставить 100 тыс.ц. зерна [2].

Таблица 2

Задача, записанная выше называется однопродуктовой многоэтапной транспортно-производственной моделью. Для решения данной задачи воспользуемся методом северо-западного угла и занесем полученные данные в таблицу 3.

Таблица 3.

Для первоначального плана (табл. 2) суммарные затраты на транспортировку и обработку зерна составляют 1215 у.е.

Нетрудно убедиться, что в нашем случае при использовании тех же направлений другой допустимый план построить нельзя. Изменение объема перевозок в любой из занятых клеток немедленно приведет к возникновению дисбаланса. Другой допустимый план можно построить, использовав лишь незанятые клетки таблицы. Таких допустимых планов можно построить очень много и каждый из них будет характеризоваться своим значением целей функции. Возникает вопрос о способе целенаправленного построения новых планов с улучшенной целевой функцией. Его решение основано на потенциалах и сформулированном выше признаке оптимальности.

Используя принятые обозначения, запишем следующие соотношения между оценками для клеток, вошедших в план:

Число неизвестных в данной системе уравнений на единицу больше числа уравнений, поэтому решение может быть получено лишь с точностью до постоянного слагаемого. Приравняв значение одной из переменных какому-либо числу, однозначно находим значения других переменных.

Пусть u₁ = 0, тогда

v₁ = 14; v₂ = 14; u₂ = 3; v₃ =12; u₃ = 0; u₄ = 12.

Используя найденные потенциалы, рассчитаем для всех незанятых клеток величины: и поставим их (с соответствующим знаком) в табл. 4

?_i,j = v_j - u_i - t_i,j

?_1,3 = 12- 0 - 15 = -3

?_2,1 = 14 - 3 - 16 = -5

? _3,1 = 14 - 0 - 15 = -1

?_3,2 = 14- 0 - 15 = -1

?_4,1 = 14 - 12 - 0 = +2

?_4,2 = 14 - 12 - 0 = +2

Таблица 4

Потенциалы и направления улучшения опорного плана

Отрицательные величины ?_i,j показывают, что везти по данному направлению невыгодно. Разница цен у потребителей и поставщиков не покрывает транспортных расходов и на каждой единице транспортируемого продукта мы будет терпеть убытки (по сравнению с предыдущим опорным планом) в размере ?_i,j . В клетках, где ?_i,j > 0, наоборот, может быть получен эффект в размере ?_i,j на единицу перераспределяемого продукта. В рассматриваемом примере таких клеток две, причем обе имеют значение +2. Выберем любую из них, пусть это будет клетка на пересечении 4-ой строки и 2-го столбца и пометим ее плюсом. Определяя объем поставок в эту клетку, следует руководствоваться следующими соображениями:

во-первых, поставив в нее какой-то объем перевозок, мы должны вычесть эту же величину из других занятых клеток, чтобы не нарушить балансовых соотношений по ввозу и вывозу.

во-вторых, число клеток, включенных в новый план должно оставаться неизменным на единицу меньше суммарной численности поставщиков и потребителей.

Следовательно, вместо вошедшей клетки, одна, содержащаяся в предыдущем плане, должна быть исключена. Оба условия легко выполнить, если перераспределение поставок осуществлять по контуру (табл.4). Искомую величину перераспределяемой поставки определит минимальное значение, стоящее в клетках со знаком минус. В данном случае - 10 тыс. ц. Меньше этой величины перераспределять невыгодно, так как уменьшается эффект от улучшения плана и кроме того, на единицу превышается допустимое количество загружаемых клеток. Больше перераспределять нельзя, потому что в одной из клеток появится отрицательная перевозка, что абсурдно.

Новый (оптимальный) план и соответствующая ему система оценок приведен в табл.5

Таблица 5

Рассчитав значения потенциалов v_j и u_i и величины ?_i,j запишем их соответствующие клетки (табл.5). Значения ?_i,j во всех незанятых клетках не больше нуля, что свидетельствует об оптимальности построенного плана, для которого значение целевой функции равно 1195. По сравнению с первым опорным планом затраты удалось снизить на 20 единиц.. Заметим, в одной из клеток ?_4,1 = 0, что свидетельствует о неоднозначности оптимального плана, т.е. достигнутое значение целевой функции может быть получено и при других значениях переменных. При решении данной задачи в программе Excel мы получим значения, которые приведены в таблице 5 [5].

3.2 Двойственная задача.

Предположим, что речь идет об установлении таких цен, которые бы стимулировали организацию, ответственную за выполнение перевозок, действовать в соответствии с оптимальным планом и затрачивать минимум средств на перевозку. Разность цен на продукт у потребителей и поставщиков должна быть такой, чтобы исключить возможность "спекуляции", т.е. по каждому направлению транспортировки она не должна превышать транспортных расходов.

, i =1…N, j=1…M (1.4)

Критерием оптимальности в такой задаче можно принять разность взвешенной по оценкам продукции в пунктах потребления и пунктах поставок, которую нужно максимизировать:

(1.5)

Задача, модель которой описывает соотношения (1.4) и (1.5), называется двойственной к задаче (1.1) и (1.3).

Отметим, что решение задачи (1.4) и (1.5) неразрывно связано с оптимальным решением прямой задачи (1.1) - (1.3). Именно для оптимальных значений переменных x_i,j > 0 соотношения (1.5) выполняются как строгие равенства.

Важным для анализа свойством двойственных задач является совпадение оптимальных значений целевых функций (1.1) и (1.5):

(1.6)

В справедливости соотношения (1.6) легко убедиться на нашем примере, подставив в него конкретные значения из табл.1.3.

Поскольку в оптимальном случае целевые функции прямой и двойственной задач совпадают, то наличие в правой части равенства оценок дает возможность ранжирования поставщиков и потребителей по степени эффективности. Так, величина оценки u_i характеризует изменения целевой функции при изменении мощности поставщика на единицу. Легко заметить, что чем выше соответствующая оценка поставщика, тем выгоднее наращивать в нем производство.

Рассуждения о сравнительной эффективности потребителей прямо противоположны. Так как оценка пункта потребления v_j показывает прирост производственно-транспортных затрат в расчете на единицу прироста потребности в этом пункте, то самым эффективным будет пункт потребления, имеющий минимальное значение оценки (в рассмотренном выше случае - элеватор в Озерном). Следует иметь в виду, что пользоваться оценками и делать на их основе какие-либо выводы можно лишь в пределах устойчивости оптимального плана, т.е. до тех пор, пока не меняется базис решения. Если же стоит задача проанализировать рассмотренную ситуацию при резком (значительном) изменении исходных данных, то это следует делать путем проведения вариантных расчетов, введя в условия задачи необходимые изменения и заново ее оптимизировав. При наличии стандартного программного обеспечения и средств диалогового общения с ПЭВМ такие расчеты не представляют затруднений [5].

3.3 Трехэтапная транспортно-производственная модель.

Теперь, после рассмотрения основных понятий, необходимых для нахождения и анализа оптимального плана транспортной задачи вернемся к задаче, описанной в пункте 2.4 и рассмотрим все три ее этапа. Самый простой путь нахождения плана заготовки, транспортировки и переработки зерна состоит в решении последовательно двух задач: оптимизации связей (производители зерна) - (элеваторы) и последующей оптимизации переработки на элеваторах и транспортировки зерна на мелькомбинаты. Но этот путь приемлем лишь в том случае, когда суммарные объемы производства зерна, мощности элеваторов и потребности мелькомбинатов совпадают. В противном случае так поступать нельзя, потому что загрузка промежуточных пунктов - элеваторов, будет определяться лишь с точки зрения затрат первого этапа, что неверно. Для решения такого класса задач успешно используется метод “фиктивной” диагонали. Суть его состоит в том, что промежуточные пункты (в данном случае - элеваторы) представлены дважды: как потребители - на первом этапе транспортировки и как поставщики - на втором (табл.6).

Клетки табл. 6, лежащие на пересечении одноименных столбцов и строк, получили название “фиктивной” диагонали (отсюда и название метода) и имеют смысл ввоза продукта из промежуточных пунктов самим себе или говоря иначе объемы недоиспользования их мощностей. Нулевые затраты в этих клетках показывают, что недоиспользование мощностей элеваторов не связано с транспортно-производственными затратами.

Таблица 6

Постановка задачи и оптимальное решение

Заштрихованные клетки означают, что вывоз зерна из пунктов производства непосредственно на мелькомбинаты, минуя элеваторы, запрещен, также как и перевозки между элеваторами. Если задача решается на ПЭВМ, то в качестве коэффициентов целевой функции переменных, соответствующих этим клеткам, следует поставить достаточно большое число, значительно (например, в 20 раз) превышающее коэффициенты затрат в других клетках. В таблице 7 кроме общей постановки задачи приведено и ее оптимальное решение, для которого суммарные затраты составляют 1540 тыс. руб.

Таблица 7