АРТ-моделирование на фондовом рынке

2

171613

Содержание:

Введение

Глава I. Основы финансового анализа рынка ценных бумаг

§ 1. Методологические подходы к анализу фондового рынка

Глава II. Теоретические и практические аспекты АРТ-моделирования:

воплощение теоретических посылок в модель

§ 1. Основы модели АРТ

§ 2. АРТ-моделирование: от теории к практике

1. Преимущества модели АРТ

2. Недостатки теории арбитражного ценообразования

Проблемы, связанные с формализацией модели

Проблемы практического применения методов АРТ-моделирования

Глава III. АРТ-моделирование: теория и практика

§ 1. Эконометрический подход к моделированию фондового рынка:

общее и частное

§ 2. Теоретическая и практическая реализация АРТ-моделирования

1. Универсальный алгоритм построения модели АРТ

2. Практическая реализация модели АРТ

Заключение

Список используемой литературы

Приложения

Введение

Расчет ставки дисконта - один из основных этапов доходного подхода к оценке компании, так как ее величина значительно влияет на конечный результат, получаемый в рамках доходного подхода (и конечной стоимости компании в целом). Следовательно, важность ее наиболее правомерного расчета очевидна.

Тем не менее, существует ряд проблем информационного и методологического характера, с которыми приходится сталкиваться при расчетах ставки дисконтирования. Такое положение вещей во многом связано с тем, что наиболее часто используемые методы построения ставки дисконтирования разработаны зарубежными специалистами для использования в развитых странах с эффективно функционирующими финансовыми рынками. Одним из таких методов является метод, основанный на использовании теории арбитражного ценообразования.

Метод арбитражного ценообразования нельзя назвать распространенным методом расчета ставки дисконтирования, но, тем не менее, он имеет ряд преимуществ, гарантирующих получение более точного результата анализа. В связи с этим закономерным становится вопрос о возможностях применения теории арбитражного ценообразования в российской практике оценки ситуации на фондовом рынке.

Для этого мной было проведено собственное исследование, целью которого являлось расширение теоретических знаний в области АРТ - моделирования на практику российской действительности и экономическая интерпретация полученных результатов анализа.

Таким образом, я осуществила оценку стоимости акций российской компании на основе принципов арбитражного ценообразования.

В качестве объекта исследования была выбрана ценная бумага, занятая в энергетической отрасли. Этот выбор обоснован грядущими масштабными изменениями в данной отрасли, а следовательно, изменениями инвестиционных стратегий отраслевых энергетических компаний, что повлечет изменения стоимости финансовых активов. Итак, для исследования была выбрана следующая компания: ОАО "Иркутскэнерго"; код СКРИН - IRGZ.

Результаты, полученные мной по завершении исследования, и нашли отражение в данной работе.

Структура данной работы имеет следующий вид.

Работа состоит из трех глав, которые раскрывают общий инструментарий, применяемый для анализа фондового рынка, а также наиболее распространенные методы финансового анализа, позволяющие на основе статистики рынка строить прогнозы цен и доходностей финансовых активов. Так, акцент делается на изучении количественного подхода, основу которого - эконометрические модели финансовых процессов - можно рассматривать как развитие традиционной финансовой экономики и фундаменталь-ного анализа применительно к исследованию финансовых процессов в условиях неопределенности.

Для перехода непосредственно к рассмотрению методов АРТ-моделирования фондового рынка необходимо его предварительное методологическое обоснование. Это предопределило содержание главы I, раскрывающей основные принципы и направления финансового анализа рынка ценных бумаг. Подробное изучение традиционных методов анализа позволило сделать вывод о том, что наиболее предпочтительным в кругу финансовых аналитиков считается применение эконометрических моделей доход-ностей активов, в качестве которых возможно построение как "рыночных моделей", так и экономических моделей равновесия фондового рынка, существенное преимущество которых заключается в строгом экономическом обосно-вании. К числу таких моделей и относится модель АРТ (Arbitrage Pricing Theory model).

Глава II освещает важнейшие аспекты АРТ-моделирования - его теоретические основы и возможные проблемы их применения на практике. Данные вопросы рассматриваются в двух аспектах: в теоретическом аспекте (определяются опорные принципы и допущения модели арбитражного ценообразования) и практическом (показаны трудности, непосредственно связанные с применением основ АРТ-моделирования на практике).

Глава III посвящена вопросам эконометрического моделиро-вания фондового рынка на примере модели АРТ. В ней подробно излагается статистический инструментарий, применяемый в процессе моделирования фондового рынка, а также представляется решение проблемы практической реализации данной модели в российских условиях.

В указанной главе приводится описание проведенного мной исследования ценообразования акций на российском фондовом рынке, а также его теоретическое обоснование. Исследование осуществляется в рамках количественного подхода к анализу фондового рынка и результатом его является эконометрическая модель доходности акций российской компании ОАО "Иркутскэнерго". Проводится проверка полученной модели на адекватность и осуществляется экономическая интерпретация выявленной зависимости.

Следует отметить, что данное исследование опирается на предложенный А.А. Шабалиным универсальной алгоритм для построения модели АРТ, поскольку он содержит встроенные механизмы решения большинства проблемных вопросов, возникающих в процессе моделирования, которые были изложены в предыдущей главе.

Полученные практические результаты оценки позволяют сделать ряд выводов о возможностях и целесообразности практического применения методов АРТ-моделирования, которые представлены в заключительной части работы.

Глава I. Основы финансового анализа фондового рынка

§ 1. Методологические подходы к анализу фондового рынка

Важнейшими характеристиками финансовых активов, доступными для анализа всем участникам рынка, являются их рыночные цены. Для различных типов финансовых активов цены могут выражаться различным образом, например в виде цен покупки и продажи акций и облигаций, обменных курсов валют, процентных ставок по при-влекаемым и размещаемым депозитам. Совокупность значений этих характеристик для всех активов в каждый момент времени определяет конъюнктуру финансового рынка и является объектом анализа со стороны его участников. Курсы ценных бумаг на конкурентном фондовом рынке формируются в соответствии с представлениями участников рынка относительно их "истинной" стоимости, которая не известна и явля-ет-ся объектом оценки со стороны участников рынка. Для этой цели используются методы финансового анализа рынка ценных бумаг Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. - М., издательство "Дело", 2003. - с. 131-162. Первоочередная задача финансового анализа при покупке или продаже ценных бумаг состоит в выявлении неверно оцененных рынком активов, т. е. активов, для которых рыночная цена не совпадает с предполагаемой истинной стоимостью, и использовании "золотого правила инвестирования", которое гласит: "покупай дешево и продавай дорого" (покупаются "недооцененные" и продаются "переоцененные" рынком ценные бумаги). При этом наибольшую прибыль получает тот участник рынка, который быстрее других распознает "неверно оцененные" активы, использует более точные прогнозы цен, ожидаемой доходности и риска финансовых активов, применит наиболее эффективные стратегии инвестирования и хеджирования. Именно для этого существуют методы финансового анализа рынка ценных бумаг.

Как правило, выделяют три основных направления финансового анализа фондового рынка: технический, фундаментальны и количественный.

Исторически первыми были технический и фундаментальный анализ.

Технический анализ (Technical analysis) основан на выявлении и изучении исторически сложившихся "закономерностей" функцио-ниро-вания фондового рынка на основе анализа статистики рынка в виде курсов и объемов продаж активов. Основанием для использо-вания лишь этой информации является предположение о том, что вся доступная и относящаяся к делу инфор-мация, включая "фун-даменталь-ные" факторы, отражается в ценах активов.

В рамках технического анализа также предполагается, что определенные закономерности функционирования рынка имеют устойчивый характер, т.е. с достаточно большой вероятностью по-вторяются и их можно обнаружить с помощью специальных графиков, индикаторов и других "технических" методов. Возникновение тех или иных "закономерностей" служит аналитикам сигналом для покупки или продажи активов. Недостатком данного подхода является отсутствие достаточно строгого и систематизированного обоснования боль-шинства состав-ляющих его эмпирических методов Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. - М., издательство "Дело", 2003. - с. 138-158.

Альтернативным подходом к анализу фондового рынка является фундаментальный анализ.

Фундаментальный анализ (Fundamental analysis) предполагает анализ макроэкономических и микроэкономических "фундаменталь-ных" факторов, влияющих на будущие доходы компаний и курсы их активов.

Основной целью традиционного фундаментального анализа является оценка состояния эмитента ценных бумаг, т.е. его доходов, положения на рынке и т.д. на основе информации, содержащейся в балансовых отчетах, отчетах о прибылях и убытках, других материалах, публикуемых эмитентом. Учитываются также макро-экономические факторы, характеризующие состояние и перспективы соответствующей отрасли экономики, региона и экономики страны в целом, например, такие макроэкономические показатели, как: индекс потребительских цен, процентные ставки, уровень безработицы, динамика денежной массы и ВВП. Для анализа и прогнозирования макроэкономических процессов используются эконометрические модели и методы анализа, а также соответствующее программное обеспечение.

Результатом анализа является прогноз ожидаемого дохода и его распределения между кредиторами и собственниками компании, на основе которого в соответствии с методами оценивания активов рассчитывается текущая стоимость ценных бумаг данного эмитента и даются рекомендации о целесообразности их покупки или продажи в текущий момент времени. Для определения текущей стоимости ценных бумаг традиционно используется метод дисконтирования платежей Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. - М., издательство "Дело", 2003. - с. 180-193.

Количественный анализ (Quantitative analysis) финансового (фондового) рынка основывается на построении по эмпирическим данным статистических моделей финансовых временных рядов и использовании этих моделей для прогнозирования курсов и доходностей активов, оценивания риска финансовых инвестиций, оптимального управления портфелями активов, хеджирования риска операций с финансовыми активами и др. Применительно к экономическим и финансовым процессам, ста-тисти-ческие модели и методы принято называть эконо-метрическими. Количественный подход к анализу финансового рынка на основе эконометрических моделей и методов можно рассматривать как развитие традиционной финансовой экономики и фундаменталь-ного анализа применительно к исследованию финансовых процессов в условиях неопределенности. Ключевым в рамках количественного анализа является понятие эффективного финансового рынка (имеется в виду информационная эффективность относительно доступной и относящейся к делу информации). В условиях эффективного рынка цены активов мгновенно, полностью и корректно ассимилируют всю доступную и относящуюся к делу информацию, достигая состояния равновесия. При этом наилучшим прогнозом цены актива "на завтра" по информации, доступной сегодня, оказывается значение цены "на сегодня", а изменения цен носят характер "случайного блуждания". Покупка-продажа ценных бумаг на таком рынке напоминает игру с равными возможностями для всех участников, располагающих одной и той же информацией, что исключает возможность регулярного получения "сверхнормальной" доходности (т. е. доходности больше той, что соответствует равновесным ценам активов). При нарушении гипотезы эффективности рынка перед участни-ками рынка открываются возможности для построения нетри-виальных прогнозов цен и доходностей активов на основе эконометрических моделей финансовых временных рядов. В то же время в условиях эффективного рынка разумной является стратегия: "купил и владей" В связи с этим основной задачей финансового анализа становится задача оптимального портфельного инвестирования, сводящаяся к формированию портфеля активов, обеспечивающего получение приемлемой ожидаемой доходности с минимальным риском Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. - М., издательство "Дело", 2003. - с. 265-285. При решении данной задачи возникает необходимость в статистическом оценивании (про-гнозировании) характеристик финансовых активов: ожидаемых доход-ностей, рисков, ковариаций доходностей активов и т.д. по статисти-ческим данным. Один из традиционных подходов к решению данной проблемы основан на применении эконометрических моделей доход-ностей активов. В качестве таких моделей могут использоваться как "рыночные модели", не имеющие строгого экономического обосно-вания, так и экономические модели равновесия фондового рынка, например: модель САРМ (Capital Asset Pricing Model) и модель АРТ (Arbitrage Pricing Theory model), разработанные на основе подхода "доходность - риск", которые для равновесного состояния рынка устанавливают связи между доходностью и риском активов, доходностью активов (или портфеля активов) и доходностью рыночного портфеля (CAPM), доходностью активов и экзогенными факторами (АРТ).

Глава II. Теоретические и практические аспекты АРТ-

моделирования:воплощение теоретических посылок в модель

Понятие арбитража является важной составляющей, применяемой для характеристики деятельности инвесторов, поскольку арбитраж является широко распространенной инвестиционной тактикой.

Теория арбитражного ценообразования (модель АРТ) была предложена профессором Йельского университета Стефаном Россом в 1976 г. В качестве практического результата теории рассматривается основное уравнение ценообразования активов, согласно которому на изменение стоимости актива влияет не только рыночный фактор (стоимость рыночного портфеля), но и другие, в том числе нерыночные, факторы риска - курс национальной валюты, стоимость энергоносителей, уровень инфляции и безработицы и т. д. Шабалин А. А. Алгоритм построения модели арбитражного ценообразования. http://www.bupr.ru/?litra/finmen/finmen_10.htm

§ 1. Основы модели АРТ

В основе модели арбитражного ценообразования лежит утверждение о том, что фактическая доходность любой акции складывается из двух частей: нормальной, или ожидаемой, доходности и рисковой, или неопределенной доходности. Последний компонент определяется многими экономическими факторами, - например, рыночной ситуацией в стране, инфляцией, динамикой процентных ставок и др.

Таким образом, модель АРТ является разновидностью многофакторных моделей множественной регрессии.

В наиболее общем арбитражное ценообразование описывается следующей зависимостью, рассматриваемой в качестве множественной линейной регрессии дохода ценной бумаги от k факторов риска:

, (1)

где величина исследуемого показателя µ _i обусловлена ожидаемой доходностью актива и влиянием каждого фактора риска на функцию отклика (на среднюю доходность i-го актива), то есть рисковой доходностью. Итак,

µ _i - средняя доходность данного актива, требуемая инвестором; µ ₀ - безрисковая ставка дохода; в _{i, 1}, …, в _{i, k} - чувствительности актива к каждому фактору риска в сопоставлении со средней чувствительностью рынка к данному фактору; л ₁, ..., л _k - факторы риска из факторного набора.

§ 2. АРТ-моделирование: от теории к практике

Описание инвестиционной деятельности на рынке ценных бумаг при помощи модели АРТ (как, в принципе, и с использованием любой другой многофакторной модели) дает не только преимущества при исследовании, но и одновременно ставит ряд проблем, которые не возникают при построении однофакторных моделей (например, модели оценки капитальных активов) АРТ-арбитражная модель ценообразования.

http://www.e-mastertrade.ru/ru/main/index/id39.asp.

1. Преимущества модели АРТ

Интересно отметить тот факт, что уравнение АРТ является обобщением уравнения САРМ , хотя арбитражная теория строилась как её альтернатива. Это позволяет утверждать, что модель АРТ - производная от модели САРМ. В сущности, АРТ является ее дополнением и расширением, потому как она описывает зависимость стоимости актива не только от рыночного фактора (стоимости рыночного портфеля), - что, собственно, предполагает однофакторная модель оценки капитальных активов, - но и от других, в том числе нерыночных, факторов риска - курса национальной валюты, стоимости энергоносителей, уровня инфляции и безработицы и т. д.

Таким образом, главным достоинством модели арбитражного ценообразования считается ее многофакторность. Учёт нескольких факторов риска, влияющих на доходность, позволяет исследователю строить более строгую модель. Это дает возможность более точного прогноза изменения цены актива, с одной стороны, а с другой - позволяет уменьшить несистематический риск даже без составления портфеля.

В классической модели САРМ учитывался только один фактор, и актив характеризовался двумя параметрами - коэффициентом чувствительности "бета", характеризующим риск, связанный с этим фактором, и средней остаточной доходностью Е, отвечающей за специфический риск, то есть риск, не объясняющийся влиянием выбранного фактора.

В модели АРТ появилась возможность учитывать несколько факторов. Теперь актив характеризуется набором показателей "бета", каждый из которых представляет собой чувствительность актива к определённому фактору и характеризует систематический риск, связанный с влиянием именно этого фактора, и, по-прежнему, остаточной доходностью Е, только теперь величина специфического (необъяснённого факторами) риска стала гораздо меньше АРТ-арбитражная модель ценообразования.

http://www.e-mastertrade.ru/ru/main/index/id39.asp.

2. Недостатки теории арбитражного ценообразования

В ходе моделирования арбитражного ценообразования перед исследователем неизбежно встает ряд вопросов, касающихся как теоретических аспектов, непосредственно связанных с формализацией модели, так и практической стороны этого процесса, обусловленной ограниченностью возможностей использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставки дисконта в российских условиях.

Проблемы, связанные с формализацией модели

Одним из наиболее существенных недостатков теории арбитражного ценообразования является неопределенность факторов, влияющих на доходность. Следовательно, основной проблемой теоретического этапа АРТ-моделирования является определение факторного подмножества.

Решение данной проблемы предполагает ответы на ряд вопросов:

Сколько и какие факторы войдут в многофакторную модель АРТ?

Данный вопрос актуален при построении не только модели АРТ, но и любой многофакторной модели, описывающей фондовый рынок.

Совершенно ясно, что не всё многообразие доступных для анализа показателей влияют на поведение цены актива. Однако понять, какие именно это факторы и сколько их, не так просто. Строить же модель сразу по всем доступным факторам не конструктивно - незначимые факторы могут значительно искажать любые результаты, полученные с помощью модели.

В исследовательских работах экономистов, посвященных анализу в области ценообразования акций на фондовом рынке, приводятся различные экономические индикаторы в качестве факторов, определяющих факторное подмножество в модели АРТ-арбитражная модель ценообразования.

http://www.e-mastertrade.ru/ru/main/index/id39.asp.

Действительно, набор факторов, используемых в анализе рынка ценных бумаг, очень широк. Среди них, как правило, выделяют:

макроэкономические показатели (темпы роста и прироста вало

2

171613

вого внутреннего дохода, уровень инфляции, цены на нефть и другие);

процентные ставки, разница между

2

171613

процентными ставками;

микроэкономические показатели работы компании (ставка диви

2

171613

дентов, соотношение "цена - доход", соотношение "балансная стоимость - рыночная стоимость");

рыночные показатели ценной бумаги (размер капитализации, из

2

171613

менчивость дохода, ликвидность);

принадлежность к отрасли и т. д.

Однако все эти факторы имеют некоторые общие характерист

2

171613

ики. Во-первых, они отражают показатели общей экономической активности (промышленное производство, общие продажи и ВНП). Во-вторых, они отражают инфляцию. В-третьих, они содержат разновидности фактора процентной ставки (либо разность, либо саму ставку).

Таким образом, при определении факторов, влияющих на доходность, инвестор должен исходить из общеэкономических и отраслевых показателей. Следует отметить, что выбор факторов для расчета ставки дисконтирования с помощью модели АРТ индивидуален для каждого предприятия, а значит, факторный набор может быть расширен на микроуровне.

Одинаковы ли факторы риска для разных активов?

Второй вопрос является более тонким, чем первый. И более сложным. Если для решения первой проблемы можно было бы предложить интуитивное решение - отобрать несколько основных макроэкономических или отраслевых показателей, влияющих, по интуитивным ощущениям исследователя, на цены акций, то для решения второй проблемы этого сделать нельзя. Ведь поведение каждого актива, вообще говоря, индивидуально. Поэтому состав и количество факторов риска у каждого актива могут быть своими. Из каких соображений одному активу поставить в соответствие один набор факторов, а другому - другой?

Не меняется ли состав и количество факторов риска во времени?

Предположим, что каким-то образом удалось найти состав и количество факторов влияния для конкретного актива. Может ли через определённый интервал времени факторная структура измениться? Наши результаты исследований свидетельствуют о нестационарном характере взаимосвязей на фондовом рынке. Это значит, что модель применима лишь в течение определённого срока, после которого возникает необходимость строить её заново. При этом факторы риска могут быть уже другими.

Могут ли факторы влиять на цену только через определённое время?

В самом вопросе уже заложен ответ на него - конечно, могут. Так, подорожание нефти может сказываться на ценах акций транспортных компаний не сразу, а какое-то время спустя. Если факторов несколько, то у каждого фактора может быть своё характеристическое время. Как найти эти времена?

Как ранжировать компании сразу по нескольким показателям?

Построив модель САРМ для множества активов, для выбора наиболее привлекательных активов была возможность сортировать их по чувствительности, систематическому или несистематическому риску. В многофакторном случае актив характеризуется набором систематических рисков, связанных с каждым фактором. Как анализировать их все?

Итак, построение модели арбитражного ценообразования, используемой для определения стоимости ценных бумаг, сопряжено с субъективным отношением инвестора к влияющим факторам. Поскольку инвестор в своем исследовании самостоятельно определяет круг показателей, по его мнению, тесно связанных с доходностью того или иного актива, и методы их анализа, это обуславливает определенную субъективность получаемой оценки.

Проблемы практического применения методов

АРТ-моделирования

Практические возможности использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставки дисконта в российских условиях ограничены по нескольким причинам АРТ-арбитражная модель ценообразования. http://www.e-mastertrade.ru/ru/main/index/id39.asp.

Во-первых, это недостаток информации. АРТ требует изучения статистических данных по предприятию и конкурентам, а также динамики экономических показателей. С этой точки зрения использовать ее можно только для компаний, акции которых торгуются на фондовом рынке.

Во-вторых, это отсутствие специальных методик расчета отдельных элементов в рамках модели арбитражного ценообразования, вынуждающее использовать проверенные способы расчета ставки дисконтирования для получения более обоснованных и надежных результатов.

И, в-третьих, сложность расчетов. Учитывая первые два момента, сложность расчетов может сделать использование АРТ попросту нецелесообразным исходя из соотношения затрат труда и качества полученных результатов.

На основании рассмотренных выше достоинств и недостатков теории арбитражного ценообразования можно сделать следующие выводы.

Так, с теоретической точки зрения модель АРТ обладает неоспоримыми преимуществами перед прочими моделями фондового рынка:

Модель АРТ расщепляет факторы риска на составляющие, пр

2

171613

иближая их к условиям, в которых действует конкретный бизнес;

АРТ использует относительно более слабые упрощающие анализ пред

2

171613

положения (по сравнению, например, с моделью оценки капитальных активов САРМ).

Однако у модели АРТ есть и существенные недостатки, которые носят как теоретический, так и практический характер, а именно:

АРТ умалчивает о конкретных систематических факторах, влияющих на риск и до

2

171613

ходность;

АРТ требует тщательной подготовки информации и подробного анализа деятельности предприятия и конкурентов, занимаемой рыночной ниши и макроэкономич

2

171613

еских условий.

В конечном счете, построение модели АРТ является крайне трудоемким процессом и требует значительных временных затрат на подготовку исследования (то есть сбор первичных данных) и проведение необходимых расчетов, однако в силу неразвитости российского фондового рынка выполнение всех необходимых процедур в конечном счете не может гарантировать получение реальной картины динамики доходности.

Глава III. АРТ-моделирование: теория и практика

§ 1. Эконометрический подход к моделированию фондового рынка:

от общего к частному

Для выявления экономических взаимосвязей (в частности, зависимостей на фондовом рынке) широко применяется аппарат экономико-статистического моделирования. Необходимость разработки специального математического аппарата для анализа экономических процессов обусловлена спецификой задач, особенностью экономической информации, а возможность применения статистических методов в качестве инструмента анализа - тем, что проявление закономерностей в экономике носит, как правило, статистический характер. Применительно к экономическим и финансовым процессам, ста-тисти-ческие методы принято называть эконо-метрическими.

Рассмотрим основные эконометрические приемы, необходимые для проведения нашего исследования в области оценки стоимости акций.

Проведение эконометрического исследования предполагает осуществление процедур корреляционно-регрессионного анализа Арженовский С. В., Федосова О.Н. Эконометрика: Учебное пособие/ Рост. гос. экон. унив. - Ростов н/Д, - 2002 - с. 69-94.

Корреляционный анализ выборочных данных позволяет обнаружить и измерить тесноту статистической связи между переменными, которые рассматриваются как случайные величины. В целях анализа корреляции случайных величин на основе выборки, как правило, определяют выборочные коэффициенты корреляции и проверяют статистические гипотезы о значимости корреляционной связи.

В случае взаимосвязи нескольких случайных величин x ₁,x ₂, …, x _p анализу подвергают корреляционную матрицу. В этом случае выборка представляет из себя матрицу наблюдений Х = ||х _{i j}||, i = 1, …, n, j = 1, …, p, где n - объем выборки, p - число рассматриваемых случайных величин, i - индекс наблюдения в выборке, j - индекс переменной, величина х _{i j} соответствует i-му наблюдению над j-й переменной.

Элементами корреляционной матрицы выступают линейные парные коэффициенты корреляции, вычисляемые между переменными выборки.

Линейный парный коэффициент корреляции является мерой линейной статистической связи двух случайных величин. Выборочный коэффициент парной корреляции определяют как

, (2)

где i - индекс наблюдения в выборке, i = 1, …, n, n - объем выборки, x _i, y _i, i = 1, …, n - наблюдения над случайными величинами X и Y соответственно.

Парный коэффициент корреляции характеризует степень приближения статистической связи к линейной. Он отражает взаимосвязь случайных величин и не зависит от того, какая из величин X и Y является причиной, а какая - следствием.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1). Коэффициент не имеет размерности, следовательно, сопоставим для различных статистических показателей;

2). Величина коэффициента корреляции лежит в пределах от -1 до +1. Значение |с_x,y | = 1 свидетельствует о том, что между переменными существует функциональная зависимость, т. е. все наблюдения лежат на одной прямой (чем ближе |с_x,y| к 1, тем ближе эта связь к функциональной); если с_x,y равен или приближается к нулю, это указывает на отсутствие линейной связи между X и Y, хотя допустимо существование нелинейной зависимости;

3). Если значение с_x,y > 0 (коэффициент корреляции положителен), то взаимосвязь величин прямая: с ростом Х увеличивается Y. Отрицательный коэффициент корреляции говорит об обратной взаимосвязи.

Наличие связи между X и Y может быть обнаружено, если: а) Х есть причина Y; б) Y есть причина Х; в) если Х и Y совместно зависимые величины; г) если Х и Y являются следствием некоторой общей для них причины.

В практике статистического анализа имеют место случаи, когда корреляционный анализ обнаруживает существование достаточно сильной зависимости признаков, в действительности не имеющих причинно-следственной связи между собой, - такие корреляции называют ложными.

Оценка коэффициента корреляции, определенная по выборке, является случайной величиной, поэтому необходимо проверить гипотезу о значимости, т. е. проверить предположение, существенно ли коэффициент корреляции отличается от нуля, или это случайное отклонение, связанное с выборкой. Если с_x,y - коэффициент корреляции в генеральной совокупности, то нулевая гипотеза может быть как:

,

и альтернативная ей

.

В качестве критерия применяют статистику, которая для выборки (х, y) из нормальной генеральной совокупности будет иметь t-распределение. Ее вычисляют по формуле:

. (3)

Расчетное значение критерия сопоставляют с табличным значением распределения Стьюдента t _{б, н}, где н - число степеней свободы, н = n - 2, б - уровень значимости. Если получают t > t _{б, н}, то нулевая гипотеза отвергается и можно утверждать, что коэффициент корреляции значим. В случае t < t _{б, н} нет оснований отвергать нулевую гипотезу и следует сделать заключение о том, что коэффициент корреляции незначим Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики - Учебник для вузов М.: ЮНИТИ. 1998, с. 771-782.

Прикладные цели регрессионного анализа в области экономики заключаются в следующем:

1). Установить наличие статистически значимой регрессионной связи между зависимой и объясняющими переменными;

2). Определить конкретный аналитический вид связи;

3). Спрогнозировать и восстановить значения исследуемого результирующего показателя по известным значениям объясняющих переменных.

Таким образом, построение эконометрической модели является основой любого эконометрического исследования. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования в различных сферах: финансовой, производственной, инвестиционной, и применяется для исследования объектов самого разного уровня - от отдельных предприятий, отраслей, регионов до страны в целом.

Регрессионная модель представляет собой один из основных типов эконометрических моделей. Она отражает зависимость случайного результирующего показателя y от одной или нескольких детерминированных объясняющих переменных Х = (x₁, x₂, …, x_p).

Выявление регрессионной зависимости осуществляется на основе анализа данных о наблюдениях за экономическими процессами, которые образуют выборки из генеральной совокупности. При построении эконометрических моделей желательно, чтобы все выборочные распределения используемых показателей соответствовали нормальному закону распределения.

Математическую модель регрессионной зависимости можно записать следующим образом:

, (4)

где f(X) представляет собой детерминированную составляющую модели, в которой Х выступает как вектор объясняющих переменных Х=(х ₁, х _{2, ... ,} х _p);

е - остаточная компонента (возмущение модели).

Детерминированная составляющая модели f(X) выражает влияние существенных факторов на зависимый показатель y и описывает условное математическое ожидание:

. (5)

Случайная составляющая отражает суммарное влияние всех несущественных факторов.

В данном случае нас интересует множественная линейная регрессия стоимости ценных бумаг от различных экономических факторов.

Множественной регрессией называют модель, которая включает несколько предсказывающих или объясняющих переменных. Она полнее объясняет поведение зависимой переменной и позволяет сопоставить влияние включенных в уравнение регрессии факторов.

Если регрессия - линейная, то это означает, что факторные признаки линейно влияют на поведение исследуемого показателя.

В общем виде модель множественной линейной регрессии, включающая p объясняющих переменных х ₁, ..., х _p имеет вид:

, (6)

где в ₀, в ₁, ..., в _p - неизвестные оцениваемые параметры регрессии;

х _1, х ₂, …, х _p - влияющие факторы; е - остаточная компонента.

Задача оценивания в данном случае заключается в том, чтобы с помощью метода наименьших квадратов найти такие оценки b ₀, b ₁, …,b _p, которые минимизировали бы квадраты отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной y_i от расчетных значений, вычисленных с помощью уравнения регрессии.

Функция, значение которой минимизируют с помощью МНК:

. (7)

Оценки параметров регрессии, получаемые по методу наименьших квадратов, обладают статистическими свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Свойство несмещенности оценок заключается в том, что оценки параметров b _j, найденные с помощью линейного МНК, не содержат систематических ошибок при оценивании. Свойство состоятельности означает, что при росте объема выборки до бесконечности с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что оценки параметров b _j сходятся к оцениваемому параметру в _j. Наконец, МНК-оценки являются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией в классе линейных оценок.

Чтобы получаемые оценки параметров обладали данными свойствами, необходимо выполнение предпосылок (условий) регрессионного анализа Гаусса-Маркова Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики - Учебник для вузов М.: ЮНИТИ. 1998, с. 778-781:

1. Е (е) = 0, т. е. математическое ожидание остатков равно нулю. Невыполнение данного условия приводит к тому, что оценки параметров теряют свойство несмещенности.

2. Условие гетероскедастичности, или одинакового разброса:

D (е) = у², т. е. дисперсия возмущений в модели распределена равномерно, ее величина постоянна (дисперсия не может увеличиваться с ростом числа наблюдений). Выполнение данного условия позволяет получать эффективные оценки параметров b _j.

3. Условие отсутствия автокорреляции: cov (е _i, е _j ) = 0, i, j = 1, …, n, т. е. отдельные наблюдения остаточной компоненты некоррелированы. Оценки метода МНК модели с автокорреляцией случайной составляющей теряют эффективность. Применение МНК в данном случае приводит к существенной недооценке параметров, в связи с чем теряют свое значение процедуры проверки гипотез и обоснованность предсказаний.

4. cov (е, x _j ) = 0, j = 1, …, p, т. е. объясняющие переменные не коррелируют с возмущениями модели.

5. е N (0, у²), т. е. случайная составляющая в модели нормально распределена. Нормальность распределения остаточной компоненты гарантирует, что оценки метода МНК будут иметь нормальное распределение.

Качество построенного регрессионного уравнения, выступающего в качестве результата проведенного исследования, может быть оценено с помощью ряда показателей, которые можно отнести к группе абсолютных либо относительных.

Среди абсолютных показателей качества наиболее важную роль играют следующие:

1). Средняя ошибка аппроксимации:

(8)

Допустимый уровень ошибки - до 10 %.

2). Оценки дисперсий.

- Оценка общей дисперсии:

(9)

Общая дисперсия характеризует разброс значений зависимого признака относительно среднего уровня.

- Оценка объясненной дисперсии:

(10)

Объясненная дисперсия характеризует вариацию зависимого признака, объясненную построенным уравнением регрессии.

- Оценка остаточной дисперсии:

(11)

Остаточная дисперсия отражает разброс значений относительно линии регрессии (модельных значений) и может служить показателем точности воспроизведения значений зависимой переменной. В случае высокой остаточной дисперсии точность прогнозов результирующего показателя будет невелика и практическое использование построенного уравнения малоэффективным. Напротив, чем меньше остаточная дисперсия, тем больше уверенности в том, что уравнение регрессии подобрано верно.

Большое значение остаточной дисперсии может быть обусловлено неверным выбором функции или отсутствием статистической взаимосвязи между зависимой и объясняющими переменными, включенными в уравнение регрессии.

3). На практике часто используют величину стандартного отклонения от линии регрессии, называемую также стандартной ошибкой регрессии или стандартной ошибкой оценивания:

(12)

Рассмотренные показатели качества линейной регрессионной модели являются абсолютными, поскольку размер дисперсии напрямую зависит от показателя y.

Среди относительных показателей качества регрессии основным является коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации вычисляют как отношение сумм квадратов:

(13) или . (14)

Коэффициент детерминации показывает долю объясненной уравнением регрессии дисперсии зависимой переменной и выражается в долях.

Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1. Высокое значение R² говорит о том, что включенные в уравнение регрессии факторы в основном объясняют вариацию значений зависимого признака. Если же значение R² невелико, то можно сделать вывод о том, что факторы, оказывающие существенное влияние на результирующий показатель, в уравнение регрессии не вошли.

Однако существует ряд ограничений, сужающих возможности применения данного показателя для анализа.

Прежде всего, коэффициент детерминации позволяет проводить сравнение различных линейных по параметрам регрессионных уравнений для одной и той же зависимой переменной.

Второе ограничение связано с количеством объясняющих переменных в модели. Сопоставимые уравнения регрессии зависимой переменной должны включать одинаковое число факторов и могут отличаться лишь составом независимых переменных. Ограничение по количеству объясняющих переменных обусловлено тем, что R² является неубывающей функцией от числа включенных в регрессию факторов. Поэтому наряду с традиционным часто используют скорректированный коэффициент детерминации, позволяющий проводить сравнение линейных регрессионных уравнений с разным подмножеством факторов:

, (15)

где R² - базовый коэффициент детерминации; n - объем выборки; q - число факторов в факторном наборе.

Еще одно требование связано с наличием свободного члена. Константа должна входить или отсутствовать одновременно во всех сравниваемых уравнениях.

Квадратный корень из R² для линейной модели

(16)

представляет собой коэффициент множественной корреляции и характеризует тесноту связи совокупности факторов, включенных в уравнение регрессии, с исследуемым показателем.

Кроме того, дополнять оценку качества регрессионного уравнения следует проверкой значимости как параметров регрессии, так и самого регрессионного уравнения.

1). Проверка значимости параметров позволяет установить существенность влияния отдельных факторов на зависимую переменную.

Проверка значимости параметра предполагает проведение процедуры проверки гипотезы о том, что фактор x _j не оказывает существенного влияния на зависимую переменную. Нулевую гипотезу относительно параметра модели формулируют следующим образом:

.

Альтернативная ей гипотеза утверждает, что в _j значимо отличается от нуля:

.

Статистика для проверки сформулированной гипотезы принимает вид:

. (17)

Если верна нулевая гипотеза, то статистика (17) имеет распределение Стьюдента. Расчетное значение t-статистики сравнивают с квантилью t-распределения t _{б, н}, которая имеет параметры: н - число степеней свободы,

н = n-p-1, p - число объясняющих переменных в уравнении регрессии; б - уровень значимости.