Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПУ
Курсовая работа
Перебор с возвратом
Исполнитель:
Студентка группы М-32
Ловренчук А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Звягина Т.Е.
Гомель 2007
Введение
Даны N упорядоченных множеств U1, U2, ..., UN (N - известно), и требуется построить вектор A=(a1, a2, ..., aN), где a1U1, a2U2, ..., aNUN, удовлетворяющий заданному множеству условий и ограничений.
В алгоритме перебора вектор А строится покомпонентно слева направо. Предположим, что уже найдены значения первых (k-1) компонент, А=(а1, а2, ..., а(k-1), ?, ..., ?), тогда заданное множество условий ограничивает выбор следующей компоненты аk некоторым множеством SkUk. Если Sk<>[ ] (пустое), мы вправе выбрать в качестве аk наименьший элемент Sk и перейти к выбору (k+1) компоненты и так далее. Однако если условия таковы, что Sk оказалось пустым, то мы возвращаемся к выбору (k-1) компоненты, отбрасываем а(k-1) и выбираем в качестве нового а(k-1) тот элемент S(k-1), который непосредственно следует за только что отброшенным. Может оказаться, что для нового а(k-1) условия задачи допускают непустое Sk, и тогда мы пытаемся снова выбрать элемент аk. Если невозможно выбрать а(k-1), мы возвращаемся еще на шаг назад и выбираем новый элемент а(k-2) и так далее.
Графическое изображение - дерево поиска. Корень дерева (0 уровень) есть пустой вектор. Его сыновья суть множество кандидатов для выбора а1, и, в общем случае, узлы k-го уровня являются кандидатами на выбор аk при условии, что а1, а2, ..., а(k-1) выбраны так, как указывают предки этих узлов. Вопрос о том, имеет ли задача решение, равносилен вопросу, являются ли какие-нибудь узлы дерева решениями. Разыскивая все решения, мы хотим получить все такие узлы.
Рекурсивная схема реализации алгоритма.
procedure Backtrack(вектор,i);
begin
if <вектор является решением> then <записать его>
else begin <вычислить Si>;
for aSi do Backtrack(векторa,i+1);
{- добавление к вектору компоненты}
end;
end;
Оценка временной сложности алгоритма. Данная схема реализации перебора приводит к экспоненциальным алгоритмам. Действительно, пусть все решения имеют длину N, тогда исследовать требуется порядка S1*S2*...*SN узлов дерева. Если значение Si ограничено некоторой константой С, то получаем порядка СN узлов.
Отметим следующее. Все возможные способы расстановки ферзей - СNN^2 (около 4,4*109 для N=8). Каждый столбец содержит самое большее одного ферзя, что дает только NN расстановок (1,7*107 для N=8). Никакие два ферзя нельзя поставить в одну строку, а поэтому, для того чтобы вектор (а1, а2, ..., aN) был решением, он должен быть перестановкой элементов (1, 2, ..., N), что дает только N! (4,0*104 для N=8) возможностей. Никакие два ферзя не могут находиться на одной диагонали, это сокращает число возможностей еще больше (для N=8 в дереве остается 2056 узлов). Итак, с помощью ряда наблюдений мы исключили из рассмотрения большое число возможных расстановок N ферзей на доске размером N*N. Использование подобного анализа для сокращения процесса перебора называется поиском с ограничениями или отсечением ветвей в связи с тем, что при этом удаляются поддеревья из дерева. Второе. Другим усовершенствованием является слияние, или склеивание, ветвей. Идея состоит в том, чтобы избежать выполнения дважды одной и той же работы: если два или больше поддеревьев данного дерева изоморфны, мы хотим исследовать только одно из них. В задаче о ферзях мы можем использовать склеивание, заметив, что если а1>N/2, то найденное решение можно отразить и получить решение, для которого а1N/2. Следовательно, деревья, соответствующие, например, случаям а1=2 и а1=N-1, изоморфны.
Следующие рисунки иллюстрируют сказанное и поясняют ввод используемых структур данных.
Структуры данных.
Up:array[2..16] of boolean;{признак занятости диагоналей первого типа}
Down:array[-7..7] of boolean;{признак занятости диагоналей второго типа}
Vr:array[1..8] of boolean;{признак занятости вертикали}
X:array[1..8] of integer;{номер вертикали, на которой стоит ферзь на каждой горизонтали}
Далее идет объяснение “кирпичиков”, из которых “складывается” решение (технология “снизу вверх”).
procedure Hod(i,j:integer); {сделать ход}
begin
X[i]:=j;Vr[j]:=false;Up[i+j]:=false;Down[i-j]:=false;
end;
procedure O_hod(i,j:integer);{отменить ход}
begin
Vr[j]:=true;Up[i+j]:=true;Down[i-j]:=true;
end;
function D_hod(i,j:integer);
{проверка допустимости хода в позицию (i,j)}
begin
D_hod:=Vr[j]andUp[i+j]andDown[i-j];
end;
Основная процедура поиска одного варианта расстановки ферзей имеет вид:
procedure Solve(i:integer;var q:boolean);
var j:integer;
begin
j:=0;
repeat
inc(j);q:=false;{цикл по вертикали}
if D_hod(i,j) then begin Hod(i,j);
if i<8 then begin Solve(i+1,q);
if not q then O_hod(i,j);
end else q:=true;{решение найдено}
end;
until q or (j=8);
end;
Возможные модификации.
Поиск всех решений. Для доски 8*8 ответ 92.
Procedure Solve(i:integer);
var j:integer;
begin
if i<=N then begin
for j:=1 to N do if D_hod(i,j) then begin
Hod(i,j);
Solve(i+1);
O_hod(i,j);
end;
end
else begin
Inc(S);{счетчик числа решений, глобальная переменная}
Print;{вывод решения}
end;
end;
Поиск только не симметричных решений. Для доски 8*8 ответ 12.
Эта модификация требует предварительных разъяснений. Из каждого решения задачи о ферзях можно получить ряд других при помощи вращений доски на 90о, 180о и 270о и зеркальных отражений относительно линий , разделяющих доску пополам (система координат фиксирована). Доказано, что в общем случае для доски N*N (N>1) для любой допустимой расстановки N ферзей возможны три ситуации:
при одном отражении доски возникает новая расстановка ферзей, а при поворотах и других отражениях новых решений не получается;
новое решение при повороте на 90о и ее отражения дают еще две расстановки;
три поворота и четыре отражения дают новые расстановки.
Для отсечения симметричных решений на всем множестве решений требуется определить некоторое отношение порядка. Представим решение в виде вектора длиной N, координатами которого являются числа от 1 до N. Для ферзя, стоящего в i-й строке, координатой его столбца является i-я координата вектора. Для того, чтобы не учитывать симметричные решения, будем определять минимальный вектор среди всех векторов, получаемых в результате симметрий. Процедуры Sim1, Sim2, Sim3 выполняют зеркальные отображения вектора решения относительно горизонтальной, вертикальной и одной из диагональных осей. Известно (из геометрии), что композиция этих симметрий дает все определенные выше симметрии шахматной доски, причем не принципиально, в какой последовательности выполняются эти процедуры для каждой конкретной композиции. Проверка «на минимальность» решения производится функцией Cmp, которая возвращает значение true в том случае, когда одно из симметричных решений строго меньше текущего.
{не лучший вариант реализации - отсечение на выводе решений}
type Tarray=array[1..N] of integer;
procedure Sim1(var X:Tarray);
var i:integer;
begin
for i:=1 to N do X[i]:=N-X[i]+1;
end;
procedure Sim2(var X:Tarray);
var i,r:integer;
begin
for i:=1 to N do begin
r:=X[i]; X[i]:=X[N-i+1];X[N-i+1]:=r;
end;
end;
procedure Sim3(var X:Tarray);
var Y:Tarray;
i:integer;
begin
for i:=1 to N do Y[X[i]]:=i;
X:=Y;
end;
function Cmp(X,Y:Tarray):boolean;
var i:integer;
begin
i:=1;
while (i<=N) and (Y[i]=X[i]) do Inc(i);
if i>N then Cmp:=false
else if Y[i]<X[i] then Cmp:=true else Cmp:=false;
end;
Procedure Solve(i:integer);
var j:integer;f:boolean;
Y:Tarray;
begin
if i<=N then begin
for j:=1 to N do if D_hod(i,j) then begin
Hod(i,j);
Solve(i+1);
O_hod(i,j);
end;
end
else begin
f:=true;
for j:=0 to 7 do begin
Y:=X;
if j and 1 =0 then Sim1(Y);
if j and 2 =0 then Sim2(Y);
if j and 4 =0 then Sim3(Y);
if Cmp(Y,X) then f:=false;
end;
if f then begin
Inc(S);{счетчик числа решений, глобальная переменная}
Print;{вывод решения}
end;
end;
end;
Президенты |
Члены партий |
|
1 |
2,3,4 |
|
2 |
3 |
|
3 |
1,4,2 |
|
4 |
2 |
|
Президенты |
Члены партии |
|
1 |
2,3 |
|
2 |
4 |
|
3 |
2 |
|
4 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
||||||||||||||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
10 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||||||
13 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||||||||||||||||
14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1
Итак, партии с 14-й по 19-ю «карликовые», их представляют жители с 8-го по 13-й. Мы обязаны включить этих жителей в парламент. Включаем. Формируем множество партий, которые они представляют. Оказывается, что все. Решение найдено без всякого перебора.Вывод - перебор следует выполнять не по всем жителям и не для всех партий! Если бы это выручало всегда. Сверхактивность жителей сводит на нет этот путь сокращения перебора. Остается надеяться, что кто-то должен и выращивать хлеб, а не только митинговать. Итак, “набросок” общей логики предварительной обработки.while <есть вхождения> do begin<исключить менее активных жителей>;<сжать А>;<для “карликовых” партий включить жителей, представляющих их, в состав парламента>;<изменить значения величин, описывающих процесс формирования парламента (Res, Rt, mn, Rwork)>;<откорректировать A>;end;Заметим, что необходимо исключить партии, “покрытые” жителями, представляющими карликовые партии из А[i].part оставшихся жителей. Это может привести к тому, что возможно появление жителей, представляющих все оставшиеся партии. Совместим проверку наличия вхождений, исключение части жителей и сжатие массива A в одной функции. Ее вид.function Come(var t:Nint):boolean; {Проверяем - есть ли вхождения? Если есть, то исключаем соответствующих жителей и сжимаем массив А}var i,j,l:Nint;beginfor i:=1 to t-1 dofor j:=i+1 to t do if A[j].part<=A[i].part then beginA[j].part:=[];A[j].number:=0;end;l:=t;for i:=1 to t do beginif (A[i].part=[]) and (i<=l) then begin for j:=i to l-1 do A[j]:=A[j+1];A[l].number:=0;A[l].part:=[];Dec(l);end;end;Come:=Not(t=l);t:=l;end;Вариант построения процедуры исключения «карликовых» партий может быть и таким.procedure Pygmy(t:Nint;var r,p:Sset);{t - количество обрабатываемых элементов массива А; r - множество номеров жителей, включаемых в парламент; p - множество номеров партий, представляемых жителями, включенных в парламент}var i,j:Nint;v:Sset;beginr:=[];p:=[];for i:=1 to t do begin{определяем множество партий представляемых всеми жителями кроме A[i].man}v:=[];for j:=1 to t do if i<>j then v:=v+A[j].part;{если есть хотя бы одна партия, которую представляет только житель с номером A[i].man, то этого жителя мы обязаны включить в парламент}if A[i].part*v<>A[i].Part then r:=r+[A[i].man];end;{формируем множество партий, имеющих представительство в данном составе парламента}for i:=1 to t do if A[i].man in r then p:=p+A[i].part;end;Итак, фрагмент предварительной обработки (до перебора).t:=N;Rt:=[1..N];Rwork:=[];One(t,Rt);while Come(t) and (Rt<>[]) do begin Rg:=[];Rp:=[];Pygmy(t,Rg,Rp);Rt:=Rt-Rp;Rwork:=Rwork+Rg;if Rp<>[] then beginfor i:=1 to t do begin{исключение}for j:=1 to N doif (j in Rp) and (j in A[i].part) then A[i]part:=A[i].part-[j];A[i].number:=Num(A[i].part);end;<сортировка А>;end;end;if (Rt<>[]) then One(t,Rt);Блок общих отсечений. Подсчитаем для каждого значения i (1it) множество партий, представляемых жителями, номера которых записаны в элементах массива с i по t (массив С:array[1..N] of Sset). Тогда, если Res - текущее решение, а Rt - множество партий, требующих представления, то при Res+C[i]Rt решение не может быть получено и эту ветку перебора следует “отсечь”.Формирование массива С.C[t]:=A[t].part; for i:=t-1 downto 1 do beginC[i]:=[];C[i]:=A[i].part+C[i+1];end;Блок отсечений по i. Если при включении элемента с номером i в решение, значение величины Rt не изменяется, то это включение бессмысленно (A[i].part*Rt=[]).На этом мы закончим обсуждение этой, очень интересной с методической точки зрения, задачи. Заметим, что для любой вновь возникающей идеи по сокращению перебора место для ее реализации в логике определено. А именно, предобработка, общие отсечения, покомпонентные отсечения - другого не дано.Примечание. Графовая модель задачи (двудольный граф). Каждому жителю соответствует вершина в множестве X, каждой партии - вершина в множестве Y. Ребро (i,j) существует, если житель с номером i представляет партию с номером j. Требуется найти минимальное по мощности множество вершин S, такое, что SX и для любой вершины jY существует вершина iS, из которой выходит ребро в вершину j. Модификация задачи о нахождении минимального доминирующего множества.5. Задача о рюкзаке (перебор вариантов)Постановка задачи. В рюкзак загружаются предметы n различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено). Максимальный вес рюкзака W. Каждый предмет типа i имеет вес wi и стоимость vi (i=1,2, ..., n). Требуется определить максимальную стоимость груза, вес которого не превышает W. Обозначим количество предметов типа i через ki, тогда требуется максимизировать v1*k1+v2*k2+...+vn*kn при ограничениях w1*k1+w2*k2+...+wn*knW, где ki - целые (0ki[W/wi]), квадратные скобки означают целую часть числа.Рассмотрим простой переборный вариант решения задачи, работоспособный только для небольших значений n (определить, для каких?). Итак, данные:Сonst MaxN=????;Varn,w:integer;{количество предметов, максимальный вес}Weight,Price:array[1..MaxN] of integer;{вес, стоимость предметов}Best,Now:array[1..MaxN] of integer;{наилучшее, текущее решения}MaxPrice:LongInt;{наибольшая стоимость}Решение, его основная часть - процедура перебора:Procedure Rec(k,w:integer;st:LongInt);{k - порядковый номер группы предметов, w - вес, который следует набрать из оставшихся предметов, st - стоимость текущего решения}var i:integer;beginif (k>n) and (st>MaxPrice) then begin {найдено решение}Best:=Now;MaxPrice:=st; endelse if k<=n thenfor i:=0 to w div Weight[k] do beginNow[k]:=i;Rec(k+1,W-i*Weight[k],st+i*Price[k]);end;end;Инициализация переменных, вывод решения и вызывающая часть (Rec(1,w,0)) очевидны. В данной логике отсутствуют блоки предварительной обработки, общих отсечений и отсечений по номеру предмета (смотрите задачу о парламенте). В блоке предварительной обработки целесообразно найти какое-то решение, лучше, если оно будет как можно ближе к оптимальному (наилучший вариант загрузки рюкзака). «Жадная» логика дает первое приближение. Кроме того, разумно выполнить сортировку, например, по значению стоимости предметов или отношению веса предмета к его стоимости. Построение блока общих отсечений аналогично тому, как это сделано в задаче о парламенте, а ответ на вопрос, почему предметы данного типа не стоит складывать в рюкзак, остается открытым.ЗаключениеИнициализация переменных, вывод решения и вызывающая часть (Rec(1,w,0)) очевидны. В данной логике отсутствуют блоки предварительной обработки, общих отсечений и отсечений по номеру предмета (смотрите задачу о парламенте). В блоке предварительной обработки целесообразно найти какое-то решение, лучше, если оно будет как можно ближе к оптимальному (наилучший вариант загрузки рюкзака). «Жадная» логика дает первое приближение. Кроме того, разумно выполнить сортировку, например, по значению стоимости предметов или отношению веса предмета к его стоимости. Построение блока общих отсечений аналогично тому, как это сделано в задаче о парламенте, а ответ на вопрос, почему предметы данного типа не стоит складывать в рюкзак, остается открытым.ЛитератураАхо А.,Хопкрофт Д., Ульман Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.-М.:Мир,1979.Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные алгоритмы и труднорешаемые задачи.-М.:Мир, 1982.Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: Теория и практика.-М.:Мир,1980.4. Суханов А.А. Олимпиадные задачи. Неопубликованный материал. - СПб.: 1996. |
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |