1. Проекції точки
Будь-яку геометричну фігуру розглядають як множину точок, які їй належать. Тому проекції геометричної фігури на площини проекцій отримують шляхом проеціювання належних їй точок на площини проекцій.
Усі побудови, які виконуються у нарисній геометрії, базуються на методі проеціювання. Залежно від апарату проеціювання проекції поділяють на центральні та паралельні (рис. 1.1).
Центральною проекцією точки називають точку перетину променя, проведеного через задану точку простору (А, В), та центр проекцій S з площиною проекцій (П1). (рис. 1.1 а).
Центральне проеціювання найчастіше застосовують у архітектурі, в машинобудуванні застосовується паралельне проеціювання.
а) б)
Рисунок 1.1 - Методи проеціювання: а) центральне; б) паралельне
Залежно від напрямку проеціювання паралельне проеціювання поділяють на косокутне (напрямок проеціювання не перпендикулярний площині проекцій) та прямокутне (напрямок проеціювання перпендикулярний площині проекцій). Прямокутне проеціювання найчастіше називають ортогональним. Ортогональною проекцією точки називають точку перетину променя, проведеного через точку простору перпендикулярно площині проекцій, з площиною проекцій.
Як для центрального, так і для паралельного проеціювання справедливе твердження, що будь-якій точці простору відповідає одна єдина центральна (або паралельна) її проекція. Але при такому апараті проеціювання по центральній (або паралельній) проекції точки однозначно неможливо встановити її положення у просторі. Необхідно мати якусь допоміжну умову. Такою допоміжною умовою є проеціювання на дві площини проекцій.
1.1 Проекції точки на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій
Щоб отримати ортогональні проекції точки на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, необхідно з точки простору (точка А) послідовно провести перпендикуляри до перетину їх з горизонтальною та фронтальною площинами проекцій (рис. 1.2).На рисунку 1.2 використані такі позначення: П1 - горизонтальна площина проекцій; П2 - фронтальна площина проекцій; О - початок координат; Х, У, Z - осі координат; А - точка у просторі; А1 та А2 - відповідно горизонтальна та фронтальна проекції точки.
Рисунок 1.2 - Проекції точки на дві площини проекцій
Для побудови комплексного креслення або епюра Монжа (рис. 1.3) необхідно площину П2 залишити без змін, а площину П1 розвернути на 900 вниз до суміщення з площиною П2. Послідовно виміряти та відкласти на відповідних осях абсцису, ординату та аплікату точки (рис. 1.3).
Рисунок 1.3 - Побудова епюра Монжа
1.2 Проекції точки на три взаємно перпендикулярні площини проекцій
Щоб отримати ортогональні проекції точки на три взаємно перпендикулярні площини проекцій, необхідно через точку простору послідовно провести перпендикуляри на горизонтальну, фронтальну та профільну площини проекцій (рис. 1.4). У перетині проведених перпендикулярів з кожною з площин проекцій одержують ортогональні проекції точки А: горизонтальну (А1), фронтальну (А2) та профільну (А3) проекції точок.
Рисунок 1.4 - Проекції точки на три площини проекцій
На рисунку 1.4 використані такі позначення: П1, П2, П3 - відповідно горизонтальна, фронтальна та профільна площини проекцій; О - початок координат; Х, У, Z - осі координат; А - точка у просторі; А1, А2, А3 - проекції точки А відповідно на П1, П2, П3.
Для побудови комплексного креслення (епюр Монжа) необхідно площину П2 залишити без змін, площину П1 розвернути на 900 вниз, а площину П3 розвернути на 900 на право до суміщення з площиною П2 (рис. 1.5). Послідовно виміряти та відкласти на відповідних осях абсцису, ординату та аплікату точки А.
Рисунок 1.5 - Епюр Монжа
1.3 Основні властивості ортогонального проеціювання
1 Положення точки у просторі визначається трьома її координатами (X, Y, Z).
2 Горизонтальна проекція точки визначається її абсцисою (Х) та ординатою (У), фронтальна проекція точки - її абсцисою (Х) та аплікатою (Z), профільна проекція точки - її ординатою (У) та аплікатою (Z).
Наслідки:
1 Віддалення точки від площин проекцій визначається відповідними координатами:
координатою Х - від площини П3;
координатою У - від площини П2;
координатою Z - від площини П1.
2 Однойменні проекції точок знаходяться на одній лінії проеційного звязку, перпендикулярній до відповідної осі.
3 Положення точки у просторі визначається двома її проекціями, тому за двома проекціями точки завжди можна побудувати її третю проекцію.
Приклад 1 За двома проекціями точки А визначити її третю проекцію.
а) б) в)
Рисунок 1.6 - Побудова третьої проекції точки
За умовами задачі дані дві проекції точки: фронтальна та профільна (рис. 1.6а). Для побудови горизонтальної проекції точки А необхідно з фронтальної проекції точки провести лінію проеційного звязку, перпендикулярну до осі Х (рис. 1.6б), на якій відкласти ординату точки (рис. 1.6в), яка виміряється на профільній площині проекцій (відстань позначено двома штрихами).
Аналогічно можна побудувати фронтальну проекцію точки за її горизонтальною та профільною проекціями або профільну проекцію точки за горизонтальною та фронтальною проекціями.
2. Проекції прямої
Положення прямої у просторі визначається положенням двох точок, які їй належать. Тому для побудови комплексного креслення прямої достатньо мати проекції двох точок, які їй належать (рис. 1.7).
Рисунок 1.7 - Проекції прямої лінії
2.1 Положення прямої відносно площин проекцій
Залежно від положення прямої відносно площин проекцій прямі поділяють на прямі загального положення та особливого положення.
Прямими загального положення називають прям, не паралельні жодній з площин проекцій (рис. 1.7).
Прямі особливого положення поділяють на прямі рівня та прямі проеціювальні.
Прямі рівня - це прямі, які паралельні одній з площин проекцій. Залежно від того, якій площині проекцій пряма паралельна, їх поділяють на прямі горизонтального, фронтального та профільного рівня. На рисунку 1.8 наведені приклади прямих рівня: АВ - фронтальна пряма рівня, CD - горизонтальна пряма рівня, EF - профільна пряма рівня.
Рисунок 1.8 - Прямі рівня
Прямі проеціювальні (рис. 1.9) - це прямі, які паралельні одночасно двом площинам проекцій, тобто перпендикулярні до третьої, на яку вони проектуються у вигляді точки. Залежно від того, до якої площини проекцій прямі перпендикулярні, їх називають горизонтально-проеціювальними (відрізок EF), фронтально-проеціювальними (відрізок CD) та профільно-проеціювальними (відрізок AB).
Рисунок 1.9 - Прямі проеціювальні
Комплексне креслення (епюр Монжа) проеціювальних прямих наведене на рисунку 1.10.
Рисунок 1.10 - Комплексне креслення проеціювальних прямих
2.2 Визначення натуральної величини відрізка способом прямокутного трикутника
Аналізуючи положення відрізків прямої відносно площин проекцій, можна зробити висновок, що лише у тому випадку, коли відрізок прямої займає особливе положення, на комплексному кресленні маємо натуральну величину відрізка. Для прямих загального положення на площини проекцій відрізок прямої проектується із спотворенням. При розвязанні багатьох задач нарисної геометрії досить часто виникає необхідність мати натуральні величини відрізків прямих ліній. Натуральну величину відрізка, який займає загальне положення, можна визначити способом прямокутного трикутника (рис. 1.11). Суть способу полягає в тому, що натуральну величину відрізка (НВ) визначають як гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого один катет - це проекція відрізка на площину проекцій, а другий - різниця відстаней кінців відрізка від цієї площини проекцій. Цей спосіб проілюстрований на рисунку 1.11, де: АВ - відрізок у просторі; А1В1 - горизонтальна проекція відрізка; Z - різниця відстаней кінців відрізка АВ від горизонтальної площини проекцій; - кут нахилу відрізка АВ до горизонтальної площини проекцій.
Рисунок 1.11 - Визначення натуральної величини відрізка
На рисунку 1.12 (а та б) наведений приклад визначення натуральної величини відрізків та кутів нахилу їх до відповідних площин проекцій.
а) б)
Рисунок 1.12 - Визначення натуральної величини відрізка та кутів нахилу його до площин проекцій
3. Проекції площини
Існують шість способів завдання площини у просторі: трьома точками, які не належать одній прямій, прямою та точкою, яка не належить цій прямій, двома паралельними прямими, двома прямими, які перетинаються, геометричною фігурою (відтинання площини), слідами площини.
3.1 Способи завдання площини на комплексному кресленні
На комплексному кресленні площина може бути задана:
- проекціями трьох точок, які не належать одній прямій (рис. 1.13);
- проекціями прямої та точки, яка не належить цій прямій (рис. 1.14);
-
Рисунок 1.13 Рисунок 1.14
- проекціями двох паралельних прямих (рис. 1.15);
- проекціями двох прямих, які перетинаються (рис. 1.16);
-
Рисунок 1.15 Рисунок 1.16
проекціями відтинання площини (рис. 1.17);
- слідами площини (рис. 1.18).
-
Рисунок 1.17 Рисунок 1.18
3.2 Положення площини відносно площини проекцій
Залежно від положення заданих площин відносно площин проекцій їх поділяють на площини загального положення та площини особливого положення.
Площинами загального положення називають площини, які не перпендикулярні до жодної з площин проекцій. Приклади площин загального положення наведені на рисунках 1.13 - 1.18.
Площини особливого положення поділяють на площини проеціювальні та площини рівня.
Якщо задана площина перпендикулярна до однієї з площин проекцій, то вона на неї проектується у вигляді відрізка. Такі площини називаються проеціювальними. Залежно від того, якій площині проекцій задані площини перпендикулярні, їх називають горизонтально - проеціювальними (рис. 1.19а), фронтально - проеціювальними (рис. 1.19б) та профільно-проеціювальними (рис. 1.19в).
а) б) в)
Рисунок 1.19 - Площини проеціювальні
Площини рівня - це площини, які перпендикулярні одночасно до двох площин проекцій, тобто паралельні третій площині проекцій, на яку вони проектуються у натуральну величину.
Залежно від того, якій площині проекцій задана площина паралельна, площини називають площинами горизонтального рівня (рис. 1.20а), фронтального рівня (рис. 1.20б) та профільного рівня (рис. 1.20в).
а) б) в)
Рисунок 1.20 - Площини рівня
3.3 Належність точки та прямої площині
1 Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, які їй належать (рис. 1.21а).
а) б)
Рисунок 1.21 - Належність прямої площині
2 Пряма належить площині, якщо вона проходить через точку, яка належить цій площині та паралельна прямій, яка знаходиться у площині (рис. 1.21б).
Точка належить площині, якщо вона знаходиться на прямій, належній площині. На рисунку 1.22а точка 1 належить площині трикутника АВС, оскільки точка належить стороні АВ трикутника АВС. На рисунку 1.22б точка 2 не належить площині трикутника АВС.
а) б)
Рисунок 1.22 - Належність точки прямій
3.4 Головні лінії площини
До прямих, які займають особливе положення, відносять горизонталі, фронталі, профільні прямі та прямі найбільшого нахилу до площин проекцій.
Горизонталями площини (h) називають прямі, які належать площині та паралельні горизонтальній площині проекцій. На рисунках 1.23а (площина задана прямою та точкою, яка не належить цій площині) та 1.23б (площина задана слідами) наведені приклади побудови горизонталей площин.
Побудову горизонталі починають з її фронтальної проекції (h2), оскільки вона паралельна осі Х12. Горизонтальну проекцію (h1) визначають по лініях проеційного звязку.
а) б)
Рисунок 1.23 - Побудова горизонталі площини
Фронталями площини (f) називають прямі, які належать площині та паралельні фронтальній площині проекцій. На рисунку 1.24а та б наведені приклади проведення фронталей площин, які задані різними способами.
Побудову фронталі починають з її горизонтальної проекції (f1), оскільки вона паралельна осі Х12, її фронтальну проекцію (f2) визначають по лініях проеційного звязку.
а) б)
Рисунок 1.24 - Побудова фронталі площини
Профільними прямими називають прямі, які належать площині та паралельні профільній площині проекцій.
Лініями найбільшого нахилу до площини проекцій називають прямі, які належать заданій площині та паралельні горизонталі, фронталі або профільній прямій. Лінії найбільшого нахилу до площин проекцій дають можливість визначати кути нахилу до відповідних площин проекцій.
Суть способу полягає в тому, що система площин проекцій залишається незмінною, а геометричний елемент змінює своє положення у просторі, займаючи особливе положення відносно площин проекцій. Усі точки геометричного обєкта обертаються у площинах, паралельних тій площині проекцій, відносно якої вісь обертання перпендикулярна. Якщо вісь обертання перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій, то на комплексному кресленні всі горизонтальні проекції точок геометричного обєкта пересуваються по
колах, а фронтальні проекції - по прямих, паралельних осі Х.
Приклад 4 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.27).
Рисунок 1.27 - Визначення натуральної величини трикутника способом обертання навколо проеціювальної осі
Для визначення натуральної величини трикутника АВС необхідно провести горизонталь площини.
Першим обертанням трикутник переведено у проеціювальне положення. Обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку А, перпендикулярної до площини П1.
Друге обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку В, перпендикулярно до площини П2. Трикутник переведений у положення паралельності площині П1, тому горизонтальна проекція трикутника - це його натуральна величина.
Основним недоліком способу обертання навколо проеціювальної осі є накладання одного зображення на інше. При розвязанні задач способом плоскопаралельного переміщення цього недоліку немає.
4.3 Спосіб плоскопаралельного перенесення
Суть способу полягає в тому, що система площин залишається незмінною, а геометричний обєкт займає особливе положення відносно площин проекцій, що дає можливість розвязувати позиційні та метричні задачі. Цей спосіб вважають винятковим способом обертання навколо проеціювальної осі. На комплексному кресленні одна з проекцій геометричного обєкта, не змінюючи своїх розмірів, змінює своє положення відносно осі Х12. Тоді всі точки другої проекції пересуваються по прямих, паралельних осі Х12.
Приклад 5 Визначити натуральну величину відрізка АВ.
Приклад 6 Визначити натуральну величину трикутника АВС.
Рисунок 1.29 - Визначення натуральної величини трикутника способом плоскопаралельного переміщення
Щоб визначити натуральну величину трикутника АВС, необхідно спочатку перетворити площину загального положення в площину проеціювальну (у наведеному прикладі - фронтально - проеціювальну), а потім у площину рівня (на рисунку 1.29 - це площина горизонтального рівня). Для виконання таких перетворень перш за все необхідно провести горизонталь площини трикутника.
Щоб перетворити площину загального положення у площину фронтально проеціювальну, необхідно горизонтальну проекцію трикутника розмістити так, щоб горизонталь його стала перпендикулярна до осі Х. У цьому разі всі фронтальні проекції вершин трикутника будуть пересуватися паралельно осі Х до перетину з лініями звязку, проведеними з горизонтальних проекцій вершин трикутника АВС. На фронтальну площину проекцій трикутник проектується у вигляді відрізка прямої лінії.
Щоб перетворити площину фронтально-проеціювальну у площину горизонтального рівня, необхідно фронтальну проекцію трикутника (відрізок прямої) розмістити паралельно осі Х - тоді горизонтальні проекції вершин трикутника будуть пересуватися паралельно осі Х до перетину з відповідними лініями звязку. Горизонтальна проекція трикутника - це натуральна величина його.
5. Поверхні
Світ поверхонь багатогранний та різноманітний. Із усього різноманіття найбільш поширеними є багатогранники та поверхні обертання.
Багатогранниками називають поверхні, які обмежені площинами (гранями). До багатогранників відносять призми та піраміди (рис. 1.30).
Рисунок 1.30 - Багатогранники
Залежно від того, яка геометрична фігура є основою багатогранника, їх називають тригранними, чотиригранними, пятигранними призмами чи пірамідами.
Поверхні обертання утворені обертанням твірної (прямої або кривої лінії) навколо нерухомої осі. До поверхонь обертання відносять конус, циліндр, сферу, тор. На рисунку 1.31 наведені комплексні креслення конуса, циліндра, сфери та тора.
Рисунок 1.31 - Поверхні обертання
5.1 Точки на поверхнях
Для побудови проекції точки, яка належить поверхні, за заданою проекцією необхідно перш за все зясувати, якому елементу поверхні точка належить.
Якщо точка належить поверхні призми чи піраміди, то для побудови другої проекції точки достатньо провести лінії проекційного звязку. При побудові проекцій точок, які належать будь-якій поверхні, необхідно памятати про видимість. Невидимі проекції точок позначають у дужках, наприклад, (А1) - горизонтальна проекція точки А невидима.
Рисунок 1.32 - Точки на поверхнях
На рисунку 1.32 наведені приклади побудови горизонтальних проекцій точок, які належать поверхням піраміди та циліндра. Задані фронтальні проекції точок. Для побудови горизонтальних проекцій точок необхідно провести лінії звязку на відповідні елементи поверхонь з урахуванням видимості. У наведених прикладах для поверхні призми фронтальна проекція точки А видна, її горизонтальна проекція - невидна. На поверхні циліндра - фронтальна та горизонтальні проекції точки А не видні.
Для визначення точок, які належать поверхням піраміди або конуса, необхідно виконати допоміжні побудови.
Якщо точка належить ребру піраміди, то для побудови другої проекції точки необхідно провести лінію звязку на відповідне ребро. У наведеному на рисунку 1.33а прикладі шукана точка D знаходиться на ребрі SC. За умовами задачі задана фронтальна проекція точки D. Для побудови її горизонтальної проекції достатньо провести лінію звязку на горизонтальну проекцію ребра SC.
а) б)
Рисунок 1.33 - Точки на поверхні піраміди
Якщо точка належить грані піраміди, то через задану точку у відповідній грані необхідно провести допоміжну пряму.
У наведеному прикладі задана фронтальна проекція точки R. Точка R належить грані SAC. Для побудови її горизонтальної проекції послідовно виконують такі дії:
- через задану точку на грані SAC провести фронтальну проекцію допоміжної прямої SD;
- побудувати горизонтальну проекцію допоміжної прямої (S1D1);
- по лінії проеційного звязку визначити горизонтальну проекцію точки R на грані ASC.
5.2 Перетин поверхонь проеціювальними площинами
Якщо будь-яку геометричну поверхню перетнути проеціювальною площиною, то одна з проекцій лінії перетину очевидна - це відрізок прямої лінії, який збігається з проекцією проеціювальної площини. Другу проекцію лінії перетину будують за точками, які їй належать.
Якщо проеціювальна площина перетинає поверхню призми або циліндра, ніякі побудови не виконуються, а лише позначаються проекції лінії перетину. На рисунку 1.34 наведені приклади побудови проекцій лінії перетину призми та циліндра фронтально-проеціювальними площинами та визначена натуральна величина перерізів способом заміни площин проекцій (для призми) та способом плоскопаралельного переміщення (для циліндра).
а) б)
Рисунок 1.34 - Перетин призми та циліндра фронтально-проеціювальними площинами
Горизонтальна проекція фігури перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною наведена на рисунку 1.35 Для її побудови проведені лінії проеційного звязку на відповідні ребра піраміди. Натуральна величина фігури перетину визначена способом плоскопаралельного переміщення.
Рисунок 1.35 - Перетин піраміди фронтально-проеціювальною площиною
Фігура перерізу конуса фронтально-проеціювальною площиною залежить від положення січної площини відносно елементів конуса. На рисунку 1.36 наведені приклади побудови перерізів конуса фронтально-проеціювальними площинами.
Рисунок 1.36 - Переріз конуса проеціювальними площинами
При виконанні контурів машинобудівних креслень можливі варіанти, коли необхідно побудувати перетин складного тіла проеціювальною площиною (рис. 1.37а) та визначити натуральну величину перерізу. Пропоноване на рисунку 1.37а тіло складається із послідовно встановлених одну на одну шестигранної призми, циліндра та тригранної піраміди.
а) б)
Рисунок 1.37 - Переріз складного тіла фронтально-проеціювальною площиною
Для розвязання цієї задачі необхідно перш за все побудувати профільну проекцію пропонованого тіла (рис. 1.37б) - вигляд зліва.
Переріз піраміди фронтально-проеціювальною площиною - чотирикутник 1234. Фронтальна проекція його - це відрізок, обмежений точками 12?22 та 32?42, який визначається без зайвих побудов. Горизонтальну та профільну проекції чотирикутника одержують по лініях проеційного звязку, визначаючи точки на відповідних елементах піраміди: точки 1 та 2 належать ребрам, а 3 та 4 - основі піраміди. На рисунку 1.38а, б та в наведена поетапна побудова фігури перерізу піраміди заданою площиною.
а) б)
в)
Рисунок 1.38 - Побудова проекцій перерізу піраміди фронтально-проеціювальною площиною
Переріз циліндра даною площиною - еліпс, зрізаний з двох сторін прямими лініями, обмежений точками 5 - 10. Фронтальна проекція фігури перерізу (рис. 1.39) - відрізок, обмежений точками 52 ? 62 та 92 ? 102. Горизонтальні проекції точок 5 - 10 знаходять по лініях проеційного звязку на горизонтальній проекції циліндра (коло). Профільні проекції точок 5 - 10 визначають по лініях проеційного звязку (рис. 1.39), проведених із точок 52?62, 72?82 та 92?102. Відстань точок від осі симетрії виміряють на горизонтальній площині та відкладають на відповідній ліній проеційного звязку. Шукані профільні проекції точок, належних фігурі перерізу, послідовно зєднують плавною кривою лінією.
Рисунок 1.39 - Побудова проекцій перерізу циліндра фронтально-проеціювальною площиною
Фігура перерізу шестигранної призми заданою фронтально-проеціювальною площиною - чотирикутник, обмежений точками 11, 13, 14 та 12.
Фронтальна проекція фігури перерізу - це пряма лінія, яка обмежена точками 112 ? 122 та 132 ? 142 (рис. 1.40).
Горизонтальні проекції точок 11, 12, 13 та 14 визначені по лініях проекційного звязку в перетині з контуром горизонтальної проекції шестигранної призми (рис. 1.40).
Рисунок. 1.40 - Побудова проекцій фігури перерізу призми фронтально-проеціювальною площиною
Профільні проекції точок 11, 12, 13 та 14 одержують по лініях проеційного звязку на відповідних ребрах шестигранної призми (рис. 1.40). Так, точки 11 та 12 належать верхній основі призми, а точки 13 та 14 - бічним ребрам. Для визначення профільних проекцій точок 13 та 14 достатньо з фронтальних проекцій цих точок провести лінії звязку до перетину з відповідними ребрами. Для визначення положення профільних проекцій точок 11 та 12 необхідно з фронтальної проекції їх (точка 112 ? 122) провести лінії звязку, на яких відкласти відстані, які виміряються на горизонтальній площині проекцій (на рисунку 1.40 це відстані від горизонтальної осі симетрії поверхні вниз та вверх відповідно до точок 131 та 141).
Натуральну величину фігури перерізу пропонованої деталі заданою фронтально-проеціювальною площиною найпростіше визначити способом плоскопаралельного переміщення (рис. 1.41). Для цього фронтальну проекцію фігури перерізу - пряму лінію разом з точками 12 - 142, які їй належать, розмістити на вільному місці креслення паралельно осі х. Горизонтальні проекції нового положення точок 1 -14 одержують в перетині ліній проеційного звязку, які проведені з нового положення фронтальної проекції фігури перерізу, з прямими, які проведені паралельно осі, з горизонтальних проекцій точок 1 - 14 (рис. 1.41).
Рисунок 1.41 - Визначення натуральної величини фігури перерізу поверхні фронтально-проеціювальною площиною
6. Побудова розгорток
У різних галузях техніки та будівництва при виготовленні виробів з листового матеріалу часто мають справу з розгортками поверхонь.
Одержують ці розгортки за допомогою послідовного суміщення елементів поверхні з площиною.
6.1 Побудова розгортки піраміди
Щоб побудувати розгортку тригранної піраміди, необхідно перш за все визначити натуральні величини ребер піраміди одним із способів перетворення комплексного креслення. Найпростіше це виконати способом плоскопаралельного переміщення. Для цього на вільному місці креслення розмістити, наприклад, горизонтальні проекції бічних ребер так, щоб вони стали паралельні осі Х. Зважаючи на те, що кожне ребро має спільну точку - вершину S, зручніше накладати одне ребро на інше (рис. 1.42). Натуральну величину ребер одержують на фронтальній площині проекцій у перетині ліній проеційного звязку, які проведені з кінців кожного ребра, з лініями, які проведені паралельно осі з кінців фронтальних проекцій ребер (рис. 1.42).
Рисунок 1.42 - Визначення натуральної величини ребер піраміди
Розгортку піраміди будують способом тріангуляції. Для цього з довільно вибраної точки S провести промінь, на якому відкласти натуральну величину будь-якого ребра (рис. 1.43а), наприклад, SA (натуральну величину виміряють на фронтальній площині проекцій).
Для побудови грані, наприклад ASB, необхідно визначити положення точки В за двома заданими А та S (рис. 1.43б)). Точку В визначають у перетині дуг, які проведені із точок А та S та дорівнюють натуральним величинам відповідно до сторони основи АВ (виміряються на горизонтальній площині проекцій, оскільки основа паралельна горизонтальній площині проекцій) та бічного ребра ВS, натуральна величина якого визначена на фронтальній площині проекцій.
а) б)
Рисунок 1.43 - Побудова грані SAB способом тріангуляції
Інші дві грані (SBC таSCA) бічної поверхні піраміди будують так само, як грань ASB (рис. 1.44).
Рисунок 1.44 - Розгортка бічної поверхні піраміди
Для завершення побудови повної розгортки піраміди необхідно до будь-якої грані, наприклад до грані ASB, добудувати трикутник основи (рис. 1.45).
Рисунок 1.45 - Повна розгортка піраміди
6.2 Розгортка призми
Розгортка поверхні призми складається із розгортки бічної поверхні - це прямокутники, кількість яких залежить від форми основи призми, та двох основ (рис. 1.46).
Рисунок 1.46 - Розгортка призми
Кожний прямокутник має розміри сторін: висота призми, натуральна величина якої виміряється на фронтальній площині проекцій та відповідну сторону основи, натуральна величина якої виміряється на горизонтальній площині проекцій.
6.3 Розгортка циліндра
Розгортка циліндра складається з бічної поверхні, яка є прямокутником, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра, а інша - довжині кола основи циліндра (2рR), та двох основ циліндра - кола радіусом R (рис. 1.47).
Рисунок 1.47 - Розгортка циліндра
При виконанні розгортки циліндра її поверхню апроксимують призмою. Для цього коло основи поділяють на кілька рівних частин (наприклад, на вісім). Тоді при побудові прямокутника бічної поверхні на горизонтальній прямій відкладають хорду кола стільки разів, на скільки частин поділене коло (рис. 1.48).
Рисунок 1.48 - Побудова розгортки циліндра
6.4 Розгортка конуса
Розгортка конуса складається з бічної поверхні, що є сектором кола, радіус якого дорівнює твірній, а кут визначається за формулою б = 3600R/l, та основи конуса.
При побудові розгортки конуса її поверхню найчастіше апроксимують поверхнею піраміди. Для цього основу поділяють на кілька рівних частин (на рисунку 1.49а - на вісім).
Прямий конус має однакові твірні, натуральною величиною яких є твірні, що обмежують фронтальну проекцію конуса (рис. 1.49а).
Нахилений конус має різні твірні. Натуральну величину мають твірні, що обмежують фронтальну проекцію конуса. Натуральну величину всіх інших твірних визначають способом обертання навколо проеціювальної осі (рис. 1.49б).
а) б)
Рисунок 1.49 - Визначення натуральних величин твірних конуса
Бічну поверхню розгортки нахиленого конуса будують способом тріангуляції.
6.5 Розгортка бічної поверхні складної поверхні
Доволі часто у інженерній практиці виникає необхідність будувати розгортки бічних поверхонь, що мають переходи від прямокутного контуру до кола та навпаки. На рисунку 1.50 зліва наведене креслення такого переходу, а справа - наочне зображення його.
Рисунок 1.50 - Зображення складної поверхні
Бічна поверхня пропонованого переходу складається із послідовно розміщених гранних поверхонь та поверхонь конуса. Поверхня симетрична, тому досить виконати половину розгортки бічної поверхні.
Для побудови половини трикутної грані (трикутника 123) необхідно на вільному місці креслення провести вертикальну лінію, на якій відкласти натуральну величину сторони трикутника, наприклад, 12 (фронтальна проекція відрізка 2212 - натуральна величина). З точки 1 вправо відкласти під прямим кутом до 12 натуральну величину половини основи трикутника (натуральна величина відстані 13 виміряється на горизонтальній площині проекцій). Натуральні величини позначені на кресленні та розгортці відповідно однією та двома лініями. Зєднавши точки 1, 2 та 3, дістаємо половину трикутної грані (рис. 1.51) пропонованої поверхні.
Рисунок 1.51 - Побудова елемента розгортки
Далі за трикутною гранню йде частина нахиленого конуса з вершиною у точці 3, першою твірною якого є сторона 23 трикутної грані.
Щоб побудувати розгортку конічної поверхні, необхідно розбити частину кола між точками 2 та А (основа конуса) на кілька частин (на рисунку 1.52 на три частини). Натуральна величина твірних 3С та 3В визначається способом обертання навколо проеціювальної осі, яка проходить через точку 3. Натуральна величина твірної 3А - це її фронтальна проекція. Розгортку конічної поверхні будують способом тріангуляції (рис. 1.52).
Рисунок 1.52 - Побудова розгортки конічної поверхні
Далі до розгортки необхідно додати трикутну грань 3А4, яка проектується у натуральну величину на фронтальну площину проекцій (рис. 1.53).
Рисунок 1.53 - Побудова розгортки гранної поверхні
Потім до розгортки додається конічна поверхня з вершиною у точці 4 (рис. 1.54).
Рисунок 1. 54 - Побудова розгортки конічної поверхні
Завершує побудову розгортки бічної поверхні половина трикутної грані 4F5, яка у натуральну величину проектується на профільну площину проекцій. На рисунку 1.55 наведена половина розгортки бічної поверхні пропонованої на рисунку 1.50 деталі.
Рисунок 1.56 - Розгортка складної поверхні
7. Аксонометрія
Аксонометрією називають зображення предмета разом з координатною системою, до якої він віднесений, на вибрану аксонометричну площину проекцій (рис. 1.56).
Залежно від напрямку проеціювання аксонометрію поділяють на косокутну та прямокутну.
Косокутною називають аксонометрію, коли напрямок проеціювання не перпендикулярний до заданої площини проекцій. Прямокутною називають аксонометрію, коли напрямок проеціювання перпендикулярний до заданої площини проекцій.
Рисунок 1.56 - Побудова аксонометричної проекції точки А
ГОСТ 2.317-68 встановлює пять типів аксонометричних проекцій: прямокутна ізометрія (рис. 1. 57а), прямокутна диметрія (рис. 1.57б), косокутна фронтальна ізометрія (рис. 1.57в), горизонтальна ізометрія (рис. 1.57 г.), фронтальна диметрія (рис. 1.57д).
Рисунок 1.57 - Типи аксонометричних проекцій
Найчастіше виконують прямокутну ізометрію деталей. Координатні осі ізометрії розміщені під кутом 1200, поетапна побудова яких наведена на рисунку 1.58.
Рисунок 1.58 - Поетапна побудова ізометричних осей
Для побудови ізометричної проекції точки досить виміряти на комплексному кресленні та послідовно відкласти на відповідних аксонометричних осях абсцису, ординату та аплікату заданої точки (рис. 1.59).
Рисунок 1.59 - Ізометрична проекція точки А
Ізометрія кола - це еліпс, велика та мала осі якого орієнтуються по-різному залежно від того, якій площині він належить або якій паралельний (рис. 1.60).
Рисунок 1.60 - Ізометрія кола
При побудові ізометрії кола слід памятати про те, що велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до відсутньої у даній площині осі, а мала вісь з нею збігається. При цьому, велика вісь еліпса дорівнює 1,22D, а мала - 0,71D.
Щоб виконати ізометрію деталі, пропонованої на рисунку 1.50, необхідно виконати контур нижньої основи - це прямокутник, а потім визначити положення верхньої основи - це коло, яке проектується у вигляді еліпса (рис. 1.61).
Рисунок 1.61 - Побудова ізометричних проекцій основ складної поверхні
На завершальному етапі побудови аксонометричної проекції пропонованої деталі необхідно зєднати точки верхньої та нижньої основи - одержуємо ізометрію бічної поверхні (рис. 1.62а)). Потім необхідно видалити лінії невидимого контуру (рис. 1.632б).
а) б)
Рисунок 1.62 - Ізометрична проекція складної поверхні
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |