26
Міністерство освіти і науки України
Черкаський національний університет
імені Б. Хмельницького
Кафедра геометрії та методики навчання математики
Курсова робота
Методи розвязування раціональних нерівностей вищих степенів
ІV курс, денна форма навчання, математичний факультет
Глушко Юлія Сергіївна
Науковий керівник:
викладач кафедри геометрії та
методики навчання математики
Воловик Оксана Петрівна
Черкаси 2010
Зміст
Вступ
§ 1. Теоретичні основи дослідження
1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності
1.2 Теореми про рівносильність нерівностей
§ 2. Раціональні нерівності вищих степенів та методи їх розвязування
2.1 Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів
2.2 Розвязування раціональних нерівностей узагальненим методом інтервалів
2.3 Розвязування дробово-раціональних нерівностей
2.4 Розвязування раціональних нерівностей методом заміни змінної
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Актуальність теми зумовлена тим, що розвязування раціональних нерівностей вищих степенів викликає у багатьох учнів певні труднощі. Розвязування більшості нерівностей вищих степенів вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосування різних теорем та формул. Отримати навички розвязування раціональних нерівностей вищих степенів можна лише тоді, коли розвязати їх достатньо велику кількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розвязання.
Все це обумовило обрання теми: «Методи розвязування раціональних нерівностей вищих степенів»
Мета роботи полягає в тому, щоб розглянути різні методи раціональних нерівностей вищих степенів
Однією з основних функцій розвязування раціональних нерівностей вищих степенів є формування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.
Майстерність розвязувати раціональних нерівностей вищих степенів ґрунтується на володінні високим рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів і прийомів розвязування раціональних нерівностей вищих степенів
Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розвязування раціональних нерівностей вищих степенів. Це дозволить учням розвязувати, здавалося б, складні нерівностей просто, зрозуміло і красиво, а сформовані уміння і навички знадобляться учням при розвязуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних. нерівностей
Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:
§ проаналізувати методичну літературу з означеної теми;
§ ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;
§ розглянути різноманітні методи розвязування раціональних нерівностей вищих степенів;
§ навести низку прикладів розвязування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.
§ 1. Теоретичні основи дослідження
1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності
Дві функції, що поєднані між собою знаю утворюють нерівність:
;
.
Розвязком цих нерівностей називається значення , що задовольняє їх. Розвязати нерівність - значить знайти множину всіх її розвязків або встановити, що нерівність не має розвязків.
Областю визначення (областю допустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, на якій існують функції .При визначенні часто вводяться також додаткові умови, які повязані з характером нерівності. [2: 137]
Під множиною розвязків системи нерівностей розуміють перетин множин розвязків всіх нерівностей, що входять в цю систему.
Говорять, що нерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розвязків співпадає з множиною розвязків цієї системи. [1: 136]
1.2 Теореми про рівносильність нерівностей
Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розвязки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розвязків). Якщо кожен частковий розвязок нерівності являється в той же час частковим розвязком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.[6:321]
Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.
Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).
Таким чином, можемо записати:
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
Зауваження.На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок - відмінна від нуля константа. [2:143]
§ 2. Приклади розвязування раціональних нерівностей вищих степенів різними методими
2.1 Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів
Будемо розглядати розвязання раціональних нерівностей методом інтервалів. Існують різні схеми реалізації цього методу. Розглянемо одну з цих схем, допускаючи, що розвязується нерівність . У випадку нерівності ця схема аналогічна.
1.Перенести всі члени нерівності вліво:
.
2.Ліву частину отриманої нерівності привести до спільного знаменника:
.
3.Багаточлени і розкласти на множники. Якщо при цьому зявляються однакові множники, то треба замінити їх відповідним степенем. Наприклад,
.
При скороченні треба мати на увазі, що:
4. Виключити з розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.
Якщо в розкладенні є множник, , де , то його виключення залежить від знака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:
Якщо в розкладенні є множник , то його виключення здійснюється за правилами
Нелінійний множник виключається за правилом:
.
5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.
6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.
Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.
7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд: , або «-», якщо ця нерівність має вигляд . Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Обєднання цих проміжків і є множиною розвязків даної нерівності.[4:124]
Приклад 1. Розвязати методом інтервалів нерівність
. (1)
Розвязування:З нерівності знаходимо ОДЗ:
Далі замість нерівності (1) розвязуємо рівняння
або звідки
Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).
Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.
1. Підставляємо значення з інтервалу у нерівність (1). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу .
2. Підставляючи в нерівність (1) значення з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі .
3. Підставляючи в (3) значення з інтервалу дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу .
Остаточно маємо розвязок нерівності (1)
Відповідь.[1:161]
Приклад 2. Розвязати нерівність
Розвязування: Для знаходження коренів рівняння необхідно розкласти його на множники. Отже
Отже числа,, є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції
на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків», визначаємо знак в кожному з інтервалів.
+ +
1 2 3 x
Відповідь:
2.2 Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів
Нехай потрібно розвязати нерівність
,
де цілі додатні числа;
-- дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що . Нерівності подібного типу розвязують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена точка ділить числову вісь на дві частини, причому якщо (- парне), то вираз праворуч і ліворуч від точки зберігає додатний знак; якщо (- непарне число), то вираз праворуч від точки додатний, а ліворуч від точки відємний.
Для розвязання нерівності
узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа ; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число змінюємо знак, якщо -- непарне число, і зберігаємо знак, якщо. -- парне число.
Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази , то праворуч від найбільшого з не обовязково буде знак « + ». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності в якомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів з урахуванням викладених вище міркувань.
Зауваження 2. Наведені вище міркування справедливі і для нерівностей виду
, , , де
.
Приклад 1. Розвязати нерівність
Перепишемо нерівність у рівносильному вигляді
Числа , , , є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції
на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки буде той самий знак «+», тому що у виразі показник степеня (число 4) є числом парним.
+ + +
-7 - 6 x
Відповідь:.
Приклад 2. Розвязати нерівність
Числа ,, є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки і буде той самий знак «-», тому що у виразах і (х + 3)6 показник степеня (число 4 і 6 відповідно) є парні числа, визначаємо знак f(x) в кожному з інтервалів.
+
-3 1 5 x
Відповідь: .
Приклад 3. Розвязати нерівність
Числа, , є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь. Оскільки дискримінант квадратного тричлена х2 , то для всіх і, значить, парабола не перетинає вісь Ох. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розвязання.
+ +
-1 1 2 x
Відповідь: .
Приклад 4. Розвязати нерівність
Числа , , є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розвязання.
+ +
-3 -1 0 x
Відповідь:..
Приклад 5. Розвязати нерівність
.
Перепишемо нерівність
.
Числа, , є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції
на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розвязання.
+ + +
- 6 x
Відповідь:.
2.3 Розвязування дробово-раціональних нерівностей
Приклад 1. Розвязати нерівність
.
Розвязання: розкладемо чисельник і знаменник дробу, що стоїть в лівій частині нерівності, на множники:
.
Отриманий дріб містить два нелінійні множники: і . Перший з них додатний і його можна опустити, другий множник виключимо у відповідності з пунктом 4:
Далі, на числовій осі відмітимо точки , та інтервали, що утворюються при цьому, знаками:
+ +
-2 2 x
Виберемо інтервал відмічений знаком «-» (так як ), і нанесемо на числову вісь точку . Ця точка попадає у вибраний інтервал. «Виколюючи» точку , отримуємо інтервали і , обєднання яких утворює множину розвязків даної нерівності:
Відповідь: .
Приклад 2. Розвязати нерівність
.
Розвязання: розкладемо багаточлен, що стоїть в чисельнику лівої частини нерівності, на множники. Розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо корінь рівняння . Розділимо ліву частину рівняння на двочлен :
Тепер розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо рівняння і розділимо ліву частину на двочлен :
Так як квадратний тричлен не має дійсних коренів, отримаємо розкладення
.
Таким чином, дана нерівність перетворюється до вигляду:
.
Дріб в лівій частині цієї нерівності містить два нелінійних множники: квадратний тричлен , що більший нуля, і . Виключимо ці множники:
На числовій осі відмітимо точки , і інтервали, що утворюються знаками:
Виберемо інтервал зі знаком «-» і потім відмітимо на осі точку . Ця точка належить вибраному інтервалу, і тому, виключаючи цю точку, отримуємо, що - множина розвязків даної нерівності.
Відповідь: .
Приклад 3. Розвязати нерівність
.
Розвязання: у відповідності з описаною схемою методу інтервалів
Будемо відмічати на числовій осі точки , , зафарбованими кружками (нерівність нестрога!), а точку - світлим кружком:
Розвязок даної даної нерівності складаються з обєднанням проміжків .
Відповідь: .
Приклад 4. Розвязати нерівність
.
Розвязування: Нанасимо на числову пряму точки , , , , . Точки , , відзначаємо темними кружками, а точки , світлими.
Провівши «кривину знаків» з урахуванням того, що в околі точок і ліва частина нерівності зберігає знак (тому що у виразах ), показники степенів є парними числами), дістанемо розвязання Ця множина на рисунку заштрихована.
Відповідь:
Приклад 5. Розвязати нерівність
.
Наносимо точки числову вісь. За допомогою «кривої знаків» дістанемо розвязки, заштриховані на рисунку.
Зазначимо, що точка входить у множину розвязків, тому що при дістанемо .
Відповідь: .
2.4 Розвязування раціональних нерівностей методом заміни змінної
Приклад 1. Розвязати нерівність
Зробивши заміну змінної , дістаємо
.
Коренями рівняння
є , .
Звідси
.
Оскільки , то дістаємо
Розвяжемо нерівність
0 4 x
Розвяжемо нерівність
-1 5 x
З малюнків бачимо, що розвязком початкової нерівності є обєднання множин і .
Відповідь: і
Приклад 2. Розвязати нерівність
Зробивши заміну змінної , дістаємо
.
Коренями рівняння є , .
Звідси.
Оскільки , то дістаємо
Зобразимо отриману множину за допомогою координатної прямої.
1 2 x
Відповідь: .
Висновки
Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати звязки, як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розвязувати раціональні нерівності? Так, щоб за їх допомогою розвязувати задачі. Уміння розвязувати раціональні нерівності вищих степенів дозволить учням розвязувати, здавалося б, складні нерівності просто, також учні зможуть використовувати уміння та навички при розвязуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівності.
Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розвязування раціональних нерівності вищих степенів. Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:
§ проаналізувати методичну літературу з означеної теми;
§ ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;
§ розглянути різноманітні методи розвязування раціональних нерівностей вищих степенів;
§ навести низку прикладів розвязування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.
Список використаних джерел
1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.: Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.- 2-е изд., перераб. и доп. / В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, - М.: Просвещение, 1991.- 352 с.
2. Титаренко О.М.: Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник./ О.М. Титаренко - Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005.-368 с.
3. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк./ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев - М.: Просвещение, 1991.-384 с.
4. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.-2-е изд., перераб. и доп./ А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат.лит., 1989. - 576 с.
5. Шахмейстер А.Х.: Уравнения.- 3-е издание, исправленное и дополненное / А.Х. Шахмейстер - М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008.-264 с.
6. Ципкін О.Г.:Довідник з математики для середніх навчальних закладів / А.Г.Ципкін.- К.: Вища шк. Головне вид-во, 1988.-416 с.
7. Маслова Т.Н., Суходений А.М. Ваш домашний репетитор. -- М.: ООО Изд. дом “ОНИКС 21 век”, 2003. - 672 с.
8. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М. Кремера. -- 2-ге изд., перероб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 430 с.
9. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10-11 кл. общ. учредж. / Под ред. А.Н. Колмогорова. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 384 с.
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |