Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-43

Селюкова Н.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2004

Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Список литературы

Введение

Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.

Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.

1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.

2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.

3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в (теорема(3)).

1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1 Пусть --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени в себя, тогда называют -арной алгебраической операцией.

Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций .

Определение 1.3 Пусть --- некоторая универсальная алгебра и (), тогда называют подалгеброй универсальной алгебры , если замкнута относительно операций из .

* Для любой операции , где и .

* Для любой операции элемент фиксируемый этой операцией в принадлежит .

Определение 1.4 Всякое подмножество называется бинарным отношением на .

Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:

* рефлексивно

* транзитивно и

* симметрично

Определение 1.6 Пусть некоторая эквивалентность на , тогда через обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через и называют фактормножеством множества по эквивалентности .

Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:

Определение 1.7 Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:

Для любой операции для любых элементов таких, что имеет место .

Определение 1.8 Если и --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на .

тогда и только тогда, когда .

или или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.

Определение 1.9 Пусть --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов выполняется равенство . В этом случае оператор называется мальцевским.

Определение 1.11 Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что для любого .

Определение 1.12 Подалгебра алгебры называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

Определение 1.13 Подалгебра универсальной алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .

Определение 1.14 Пусть и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом, если

1) и имеет место ;

2) , где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.

Определение 1.15 Гомоморфизм называется изоморфизмом между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом.

Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть - гомоморфизм, --- конгруэнция, тогда .

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра, --- подалгебра алгебры и --- конгруэнция на . Тогда является подалгеброй алгебры , --- конгруэнцией на и .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра и и --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то является конгруэнцией на и индуцирует такой изоморфизм .

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Определение 2.1 Пусть и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1 Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .

В частности, если , то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит

3) Пусть .

Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где --- мальцевский оператор.

Тогда

то есть .

Так как

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть

Тогда из

следует, что

Аналогичным образом из

получаем, что

Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Лемма 2.4 Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре .

Доказательство:

Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда

где

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре , причем

Пусть

то есть

Тогда

и, значит

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как то

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что --- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 Если и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Определение 2.3 Факторы и назыавются перспективными, если либо либо

Теорема Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если , и факторы , перспективны, то

4) если - конгруэнции на и , то

где , .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если

то

Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что --- конгруэнция на .

Пусть

для . Тогда

и

Так как --- конгруэнция, то для любой -арной операции имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть

Тогда

Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда

Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .

Так как то

то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение на следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Определение 3.1 Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры из ;

Определение 3.2 Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .

Так как и , то .

Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .

Лемма 3.1 Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .

Доказательство:

Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

Лемма 3.2 Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и .

Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции .

Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Список использованной литературы

Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

Smith J. D. Malcev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.