Комплексные числа: их прошлое и настоящее

1

Комплексные числа, их прошлое и настоящее.

Содержание.

I. Введение.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

3. Операция сопряжения и ее свойства.

4. Извлечение корней.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кердано.

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

VI. Заключение.

VII. Литература.

I. Введение.

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

(?) Линейное уравнение ax+b=0, где а?0, то x=-^b/_a - единственный корень;

(?) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c - действительные числа, a?0, то x=^{-b±vb•b-4ac}/_2a; при этом число корней зависит от величины D = b² - 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0 - два действительных корня, D=0 - один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 - нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы - трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием - понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ v-1 как формальное решение уравнения х²+1=0, а также выражение более общего вида (а+b•v-1) для записи решения уравнения (х-а)²+b²=0. Впоследствии выражения вида (а+b•v-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения v-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D < 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а v-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a₀•xⁿ+a₁•x^n-1+…+a_n-1•x+a_n=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел - действительных или комплексных - следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n (n?1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это - число совпадающих с ним корней). При n?5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики - теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа - это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂); (1)

(x₁,y₁)•(x₂,y₂)=(x₁•x₂ - y_iy₂, x_iy₂ + x₂y₁). (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real - действительный, imanginerum - мнимый).

Два комплексных числа z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂) называются равными только в том случае, когда x₁=x₂ и y₁=y₂. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)

Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i²=-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а) z₁+z₂=z₂+z₁ (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б) z₁z₂=z₂z₁

в) z₁+(z₂+z₃)=(z₁+z₂)+z₃ (сочетательный закон или ассоциативность)

г) z₁(z₂z₃)=(z₁z₂)z₃

д) (z₁+z₂)z₃=z₁z₃+z₂z₃ (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ определяют, причем однозначно, их разность z₁-z₂ и частное z₁/z₂ как решения соответствующих уравнений z+z₂=z₁ и zz₂=z₁ (при z₂?0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z₁ на z₂ вычисляются по формулам:

z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂), (4)

z₁/z₂=(x₁x₂+y₁y₂)/(x₂²+y₂²) + i((y₁x₂-x₁y₂)/(x₂²+y₂²)) (5)

Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание - как действие, обратное сложению: z=z₁+(-z₂), где число (-z₂) называется противоположным z₂; деление - как действие, обратное умножению: z=z₁(z₂^-1), где z₂^-1 - число, обратное для z₂ (z₂?0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i²=-1.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус - вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус - вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у - мнимой осью.

Число r=vx²+y²-, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол ?=(0М,?0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ?0, называется его аргументом.

Из определения видно, что каждое комплексное число (?0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2? и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной ? некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом ? > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и ? <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ?0 есть всякое решение ? системы уравнений cos?=x/vx²+y²; sin?=y/vx²+y².

Значение Argz при условии 0?Argz<2? называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -?<???.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, ? характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcos?, y=rsin?, следовательно, z=x+iy=r(cos?+isin?). Последнее выражение, т.е. z= r(cos?+isin?) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z?0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Для практики число вида (cos?+isin?) удобнее записывать короче, с помощью символа e^i?=cos?+isin? (7). Доказанное для любых чисел ? (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=re^i? (8)

3. Операция сопряжения и ее свойства.

Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,

z+z=2x=2Rez;

z-z=2iy=2iImz;

zz=x²+y²=|z|²,

а также: z₁+z₂=z₁+z₂; z₁z₂=z₁z₂; (z₁/z₂)=z₁/z₂; P(z)=P(z), где Р (z) - любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами.

4. Извлечение корней.

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zⁿ=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:

va=v?+i?=±((v|a|+?)/2 ± i(v|a|-?)/2)), где знак «+» в скобках берется при ?>0, «-» - при ?<0.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂. В результате сложения этих чисел получается число z₃, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z₁+z₂=0A+0B=0C=z₃.

Рис.3

Разность (z₁-z₂) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z₁ и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z₁-z₂=z₁+(-z₂)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z₁-z₂) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z₁=r₁(cos?₁+isin?₁) и z₂=r₂(cos?₂+isin?₂). Перемножая их получим z₁z₂=r₁r₂(cos(?₁+?₂)+isin(?₁+?₂)). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z₁ на z₂, то выполняем следующие преобразования: z₁/z₂=(z₁z₂)/(z₂z₂)=(r₁(cos?₁+isin?₁)r₂(cos?₂-isin?₂))/ (r₂(cos?₂+isin?₂)r₂(cos?₂-isin?₂))=(r₁/r₂)(cos(?₁-?₂)+isin(?₁-?₂)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cos?+isin?) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zⁿ=rⁿ(cos?+isin?)ⁿ=rⁿ(cosn?+isinn?). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cos?+isin?)ⁿ= cosn?+isinn? (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=re^i?, z=?e^i?. Решаем уравнение zⁿ=a для вычисления ⁿva: ?ⁿe^in?=re^i?. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2?, получаем: ?ⁿ=r, n?-?=2?K, или ?=ⁿvr; ?_K+1=(?+2?K)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, z_k=ⁿvr(cos?+isin?)=ⁿvr((cos?+2K?)/n+isin(?+2K?)/n)) (10), где ⁿvr , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений z_k (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел z_k+1 и z_k постоянна и равна 2?/n: ?_k+1-?_k=(?+2?(K+1))/n-(?+2?K)/n=2?/n. Отсюда следует, что все значения ⁿva располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кардано.

Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x³+ax²+bx+c=0 (11).

(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y³+py+q=0 (11), где p и q - новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у₀ - какой либо корень уравнения (11). Представим его в виде у₀=?+?, где ? и ? - неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим ?³+?³+( ?+?)(3??+p)+q=0 (12). Выберем теперь ? и ? так, чтобы 3??+р=0. Такой выбор чисел ? и ? возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений

?+?=у₀;

??=-р/3, а значит, существуют.

При этих условиях уравнение (12) примет вид ?³+?³+q=0, а т.к. еще ?³?³=-р³/27, то получаем систему

?³+?³=-q;

?³?³=-р³/27,

из которой по теореме Виета следует, что ?³ и ?³ являются корнями уравнения t²+qt-p³/27=0. Отсюда находим: ?³=-q/2+vq²/4+p³/27; ?³=-q/2-vq²/4+p³/27, где vq²/4+p³/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11) выражаются формулой D=(q/2)²+(p/3)³.

y_1.2.3=ⁿv-q/2+vq²/4+p³/27+³v-q/2-vq²/4+p³/27, причем для каждого из трех значение первого корня ³v? соответствующие значения второго корня ³v? нужно брать так, чтобы было выполнено условие ??=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=³v?+³v?, где ?=-q/2+vq²/4+p³/27; ?=-q/2-vq²/4+p³/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у⁴+ру²+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y²+p/2)²+qy+(r-p²/4)=0, а затем, введя произвольное пока число ?, представим его левую часть в равносильной форме (y²+p/2+?)²-[2?(y²+p/2)+?²-qy+p²/4-r]=0 (15)

Выберем теперь число ? так, чтобы выражение в квадратных скобках 2?y²-qy+(?p+?²+p²/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q²-8?(?p+?²+p²/4-r)=0, или 8?³+8p?²+8?(p²/4-r)-q²=0. Таким образом, для нахождения ? получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «?» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii²i³…i¹⁰=?

Решение: ii²i³…i¹⁰=i^1+2+…+10=i^11•10/2=i⁵⁵=ii⁵⁴=i(i²)²⁷=i(-1)²⁷=-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z₁-z₂|, г) Arg(z₁/z₂)?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z₁-z₂|- расстояние между точками z₁ и z₂, изображающими комплексные числа z₁ и z₂;

г) Arg(z₁/z₂) - угол между изображающими векторами 0z₁ и 0z₂.

3. Доказать, что cos3?=cos³?-3sin²?cos?; sin3?=3cos²?sin?-sin³?.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3?+isin3?=(cos?+isin?)³=(cos³?-3cos?sin²?)+(3cos²?sin?-sin³?) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3?=cos³?-3sin²?cos?, sin3?=3cos²?sin?- sin³?.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

x+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+( z₁-z₂)( z₁-z₂)= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+ +( z₁-z₂)( z₁-z₂)=2 z₁ z₁+2 z₂ z₂=2(|z₁|²+|z₂|²).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z₀|=R; б) z=z₀+Re^it (0?t<2?)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z₀.

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д) |z|?R

?/4?argz?5?/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁=-2, как и от точки z₂=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек - это прямая, проходящая через точку С (х_с;у_с), где х_с=(-2+0)/2=-1; у_с=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек - это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=?/4 и argz=5?/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (•) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)²+(2x-z)²=2Re(z²).

Доказательство:

1) (2x-z)²+(2x-z)²= 4x²-4xz+z²+4x²-4xz+z²=8x²-4x(z+z)+z²+z²=8x²-4x2x+(z+z)²-

-2zz=(2x)²-2|z|²=4x²-2(x²+y²)=2(x²+y²)=2Re(z²).

2) 2Re(z²)=2Re(x+iy)²=2Re(x²-y²+2ixy)=2(x²-y²).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z₁-(4+2i)z₂=1+3i;

(4+2i)z₁+(2+3i)z₂=7.

Решение: Применим правило Крамера:

?= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

?_z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

?_z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z₁= 21+23i =1; z₂= 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z₁=1; z₂=-i.

9. Доказать, что (а²+1)(b²+1)(c²+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c - целые числа).

Доказательство: заметим, что а²+1=|a+i|², тогда имеем: (а²+1)(b²+1)(c²+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))²+(ab+bc+ca-1)².

10. Найти суммы:

С=cos?+cos2?+…+cosn?; S=sin?+sin2?+…+sinn?.

Решение: найдем сумму ?=с+iS=(e^i?+e^2i?+…+e^in?) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Re?; S=Im?. Последовательно имеем: e^i?+e^2i?+…+e^in?= e^i?((1- e^in?)/(1- e^i?))= (e^i?(1- e^in?) (1- e^-i?))/( (1- e^i?) (1- e^-i?))= =(e^i?-1- e^i?(n+1)+ e^in?)/|1- e^i?|².

Поскольку |1- e^i?|²=|(1-cos?)-isin?|²=(1-cos?)²+sin²?=4sin²(?/2);

Re(e^i?-1- e^i?(n+1)+ e^in?)= cos?-1-cos(n+1)?+cosn?= =- 2sin²(?/2)+2sin(?/2)sin(n?+?/2)= 2sin(?/2)2sin(n?/2)cos((n+1)?)/2 и Im(e^i?-1- e^i?(n+1)+ e^in?)=sin?-sin(n+1)?+sinn?=2sin(?/2)(cos(?/2)-cos(n?+?/2))= =2sin(?/2)2sin(n?/2)sin(((n+1)?)/2), то С=(4sin(?/2)sin(n?/2)cos(((n+1)?)/2))/(4sin²(?/2)) = =[sin(n?/2) cos(((n+1)?)/2))]/ sin(?/2);

S=(4sin(?/2)sin(n?/2)cos(((n+1)?)/2))/(4sin²(?/2)) = =[sin(n?/2) cos(((n+1)?)/2))]/ sin(?/2)

11. Найти сумму 1+e^?cos?+e^2?cos2?+…+e^n?cosn?.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx и найдем ее значение при х=?.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

?(z)=1+e^x+ix+e^2x+i2x+…+e^nx+inx= 1+e^x(1+i)+e^2x(1+i)+…+e^nx(1+i)=(1-( e^x(1+i))ⁿ⁺¹)/(1- e^x(1+i))= =1-e^x(n+1)(1+i)/(1-e^x(1+i))=((1-e^x(n+1)(1+i))(1-e^x(1-i))/((1-e^x(1+i))(1-e^x(1-i))) =(1- e^x(n+1)(1+i)- e^x(1-i)+e^x(n+2+ni))/|1- e^x(1+i)|²=

=(1-e^(n+1)xe^i(n+1)x-e^xe^-ix+e^(n+2)xe^xni)/(1-2e^xcosx+e^2x)

т.к. S(x)=Re?(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^xcosx+e^2xcos2x+…+e^nxcosnx=(1-e^(n+1)xcos(n+1)x+e^(n+2)xcosnx-e^xcosx)/(1-2e^xcosx+e^2x)

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(?)=1+e^?cos?+e^2?cos2?+…+e^n?cosn?= (1+e^?+e^?(n+2)(-1)ⁿ-e⁽ⁿ⁺¹⁾(-1)ⁿ⁺¹)/(1+2e^?+e^2?)= =((1+e^?)+(-1)ⁿe^?(n+1)(e^?+1))/(e^?+1)²=(1+(-1)ⁿe^?(n+1))/(1+e^?)

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|²=((|z|²-1)+2iy)/|z+1|²; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|²-1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴v1+iv3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴v1+iv3=⁴va, где a=1+iv3.

Т.к. а=r(cos?+isin?)=2(cos?/3+isin?/3), то z_k=⁴v2(cos(?/3+2K?)/4+isin(?/3+2K?), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀= ⁴v2(cos?/12+isin?/12); z₁=⁴v2(cos7?/12+isin7?/12);

Z₂=⁴v2(cos13?/12+isin13?/12); z₄=⁴v2(cos19?/12+isin19?/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+iv3)⁶-1/(v3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-iv3)/((1+iv3)(1-iv3)))⁶-((v3+i)/((v3-i)(v3+i)))⁶= =(1-iv3)⁶/|1+iv3|¹²-(v3+i)⁶/|v3+i|¹²=z₁-z₂=(т.к. |z₁|=|z₂|=2; ?₁=-?/3; ?₂=?/6, то)=1/2⁶•2⁶(cos(-?/3)+isin(-?/3))⁶-1/2⁶•2⁶(cos?/6+isin?/6))⁶= =cos(-2?)+isin(-2?)-cos?-isin?=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев - 1972.