13

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по теории вероятностей и математической статистике

на тему:

« Зависимость потребления бензина от количества автомобилей »

Дубна, 2003

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ДИАГРАММА РАССЕИВАНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ Y=AX+B, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI)В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ Y=PX2+QX+R, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI) В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОД О ЗАВИСИМОСТИ XI И YI

ВЫВОД

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

В данной работе исследуется зависимость потребления бензина в городе от количества автомобилей с помощью методов математической статистики.

Бензин - смесь легких углеводородов с tкип 30-205 °C; прозрачная жидкость, плотность 0,70-0,78 г/см3. Получают главным образом перегонкой или крекингом нефти. Топливо для карбюраторных авто- и авиадвигателей; экстрагент и растворитель для жиров, смол, каучуков.

Автомобиль - транспортная безрельсовая машина главным образом на колесном ходу, приводимая в движение собственным двигателем (внутреннего сгорания, электрическим или паровым). Различают автомобили пассажирские (легковые и автобусы), грузовые, специальные (пожарные, санитарные и др.) и гоночные. Скорость легковых автомобилей до 300 км/ч, гоночных до 1020 км/ч (1993), грузоподъемность грузовых автомобилей до 180 т.

Обычно в любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты, и задача состоит в том, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, что Y зависит не только от X, но и от других параметров.

В этом случае, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом была бы близка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.

Постановка задачи

Даны выборки

- количество автомобилей, - потребление бензина.

Задача состоит в изучении характера зависимости

1. Изобразить точки () на плоскости (на миллиметровой бумаге и в виде точечного графика на компьютере)

2. Методом наименьших квадратов определить числа такие, что прямая наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

3. Методом наименьших квадратов определить числа такие, что парабола наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

4. Сравнить между собой результаты пунктов 2. и 3.

5. С помощью сравнения статистик

где объем выборки, ответить на вопросы:

1) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и близка к линейной ?

2) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и

близка к квадратичной?

3) Какая из двух кривых - прямая или парабола - меньше отклоняется от точек выборки () ?

Диаграмма рассеивания

Даны выборки и , которые можно интерпретировать следующим образом: -- потребление бензина, -- количество автомобилей. Задача состоит в изучении характера зависимости между и . Исходные выборки представлены в таблице:

Изобразим эти точки в виде точечного графика с соответствующими координатами (, ); для этого надо найти размах выборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим и , затем размах выборки по X, которая вычисляется по формуле и в результате равна 52,61062. Аналогично и , а размах выборки поY получим равный 35,511. Глядя на размах выборок по X и по Y, выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её.

рис.1. Диаграмма рассеивания

По формуле где

можно найти коэффициент корреляции:

Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i)в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

.

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :

,

Данная система может быть представлена в виде:

,

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

.

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция при данных значениях имеет следующий график:

рис.2. График уравнения линейной регрессии

Построение кривой y=px²+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i) в среднем квадратичном

Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Аналогично нахождению значений для прямой составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:

Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:

составляем определители, состоящие из коэффициентов при и столбца свободных членов.

Значения находим делением соответствующих определителей.

= = =

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство:

d.

Получаем следующее уравнение:

Воспользуемся критерием Сильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что они положительные.

==

Найдем миноры первого, второго и третьего порядков для этого определителя:

Так как все миноры положительны, то по критерию Сильвестра d, и функция имеет минимум в точке .

Таким образом, парабола имеет следующий график:

рис.3. График уравнения параболической регрессии

Анализ полученных результатов и вывод о зависимости X_i и Y_i

рис.4. Сравнение линейной и параболической регрессий

Для сравнения полученных результатов построения кривых и определим значения статистик:

Поскольку и , можно говорить о том, что зависимость между и близка и к линейной, и к квадратичной. При этом парабола меньше отклоняется от точек и , чем прямая

Вывод

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однако видно, что разница между значениями статистик небольшая. Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки и к прямой . Выявление зависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится для понимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу, поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -- М.: Высшая школа 1998.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике -- М.: Высшая школа 1998.

3. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика -- М.: Наука 1979.

4. Мазный Г.Л., Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике. -- Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.