21
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЗАКАРПАТСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
Кафедра програмного забезпечення автоматизованих систем та фізико-математичних дисциплін
Реєстраційний №______ Дата ________________
КУРСОВА РОБОТА
З вищої математики
Тема: Знаходження оберненої матриці за формулою
Рекомендована до захисту“____” ____________ 2007р.
Робота захищена“____” ____________ 2007р.
з оцінкою_______________________
Підписи членів комісії
Виконав студент
ІІ - го курсу
денної форми навчання
Дюркі Андрій Євгенович
Науковий керівник
проф. Поляк С.С.
Ужгород - 2007
ЗМІСТ
Вступ |
|
|
1.Загальні поняття про матриці |
|
|
2.Обернена матриця |
|
|
3.Висновки |
|
|
4.Список літератури |
|
|
5.Програмна реалізація |
|
Вступ
Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою на даний момент є актуальною, адже вона використовується в багатьох сферах економіко-математичного програмування сучасного світу.
Матриці використовуються з метою виявлення оптимального способу дій при розвязанні задач керування системами, зокрема - економічними. Предметом дослідження процесу знаходження обернених матриць за допомогою формули є задачі пошуку оптимальних управлінських рішень, що математично зводяться до задач знаходження умовного рішення функції багатьох змінних.
Оскільки математичні методи не можуть застосовуватися безпосередньо до досліджуваного обєкта (фірми або організації), необхідною є побудова адекватної цьому обєкту математичної матриці. Під математичною матрицею обєкта розуміється деяка штучна система, що спрощено відбиває структуру й основні закономірності розвитку реального обєкта так, що її вивчення подає інформацію про стан і поведінку самого досліджуваного обєкта. Простими словами за допомогою матричного методу аналізу існує можливість встановити реальне економічне становище досліджуваного обєкта, а за допомогою оберненої матриці можна винайти можливість покращення його теперішнього стану.
Метою курсової роботи є вивчення матеріалу по оберненим матрицям на основі якого складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої.
Розкриваючи сутність тематики даного курсового дослідження виникає перелік певних завдань, виконання яких обовязкове для його реалізації. До них відносяться:
- визначення поняття матриць та обернених матриць;
- висвітлення формули для знаходження обернених матриць;
- відображення прикладів застосування формули до матриць.
Структура курсової роботи складається з двох розділів. У першому розділі розглянуто загальні поняття матриць і можливі дії над ними. У другому розділі розкрито поняття оберненої матриці, знаходження оберненої матриці до даної за допомогою формули. Дану курсову роботу завершено написанням програми на мові Pascal для обчислення оберненої матриці для заданої.
При виконанні курсової роботи були використані навчальні посібники з теорії математичного програмування та періодичні видання економіко-математичного напрямку.
Загальні поняття про матриці
Поняття матриці, є одним із найважливіших понять не лише в алгебрі, а й в усій сучасній математиці. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон , Д. Келі і Дж.Сільвестра в середині XIX ст.Основи теорії матриць створені К.Веєрштрасом і Г.Фробеніусом в другій половині XIX ст. і поч. XX ст.
Основні означення
Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді
називається матрицею.
Коротко матрицю позначають так:
А=( аij ) або Аmxn
де aij -- елементи матриці, причому індекс i в елементі aij означає номер рядка, j-- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Рядок чисел аі1 аі2…аin називають і-им рядком, а стовпець чисел
а1 j
a2 j
am j -- j-им стовпцем матриці Аm?n.
Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m?n. Якщо хочуть вказати розмір m?n матриці А, то пишуть Аm?n. Матриці позначають прописними літерами латинського алфавіту А, В, С і т.д.
Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,-- матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.
В квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
Будь-якій квадратній матриці
A =
можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви-значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням
а11, а12, ... а1n
det A = = а21, а22, ... а2n
...................
аm1,аm2, ... аmn
або .
Алгебраїчним доповненням елемента називається число, рівне .
Доповнюючим мінором елемента матриці називається визначник матриці n-1-го порядку, отриманий з матриці викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
,
звідки .
2. Знайти матрицю, обернену до матриці.
A =
Знаходимо спочатку визначник матриці A:
= = 1(-1)4+1 = (-1) =
= (-1)1(-1)3+1= -1 0. Отже обернена матриця існує.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
A11=(-1)1+1= 2 A21=(-1)2+1= -1
A31=(-1)3+1= -1 A41=(-1)4+1= -1
A12=(-1)1+2= -1 A22=(-1)2+2= 1
A32=(-1)3+2= 0 A42=(-1)4+2= 0
A13=(-1)1+3= -1 A23=(-1)2+3= 0
A33=(-1)3+3= 1 A43=(-1)4+3= 0
A14=(-1)1+4= -1 A24=(-1)2+4= 0
A34=(-1)3+4= 0 A44=(-1)4+4= 1
Підставляючи у формулу (3) знайдені значення, одержуємо:
A-1 =
Перевірка. Одержаний результат можна легко перевірити.
Оскільки, AA-1 = E, де E -це одинична матриця, то:
AA-1 = =
=
=
Отже, обернену матрицю знайдено вірно.
Висновки
Отже, висвітливши основні поняття обернених матриць, можна прийти до висновку, що процес знаходження обернених матриць за допомогою формули є швидким і простим методом аналізу стану певного обєкта.
Список використаної літератури
1. Ващук Ф.Г., Поляк С.С. Практикум з вищої математики. - Ужгород, 2005. 6 - 24 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - Москва, 1968. 95-99 с.
Додаток
Дану задачу можна реалізувати на мові програмування Turbo Pascal
Лістінг програми
Program InversMatrix;
const max_size=10; {max size matrix }
type matr=array[1..max_size,1..max_size] of real;
label 1;
var
a,invers,tmp_matrix : matr;
size : Integer; {size matrix}
i,j :Integer;
dt : real;
procedure PrintMatr(m:matr;n:integer);
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(m[i,j]:8:3);
writeln;
end;
end;
Function Pow (x:Integer; y:Integer):Integer;
var
i,z :Integer;
begin
z := 1;
for i:=1 to y do
z := z * x;
Pow := z;
end;
procedure GetMatr(a:matr; var b:matr; m,i,j:integer);
var ki,kj,di,dj:integer;
begin
di:=0;
for ki:=1 to m-1 do
begin
if (ki=i) then di:=1;
dj:=0;
for kj:=1 to m-1 do
begin
if (kj=j) then dj:=1;
b[ki,kj]:=a[ki+di,kj+dj];
end;
end;
end;
Function Determinant(a:matr;n:integer):real;
var i,j,k:longint;
b:matr;
d : real;
begin
d:=0; k:=1;
if (n<1) then
begin
writeln(Determinant: Cannt run. N=,n); halt;
end;
if (n=1)
then d:=a[1,1]
else if (n=2)
then d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2]
else { n>2 }
for i:=1 to n do
begin
GetMatr(a,b,n,i,1);
{writeln(i=,i, a[,i,,1]=,a[i,1]);
PrintMatr(b,n-1);}
d:=d+k*a[i,1]*Determinant(b,n-1);
k:=-k;
end;
Determinant:=d;
end;
begin
Write(Enter size matrix [1..10] :);
ReadLn(size);
for i:=1 to size do
for j:=1 to size do
begin
Write(a[,i,,,j,]=);
ReadLn(a[i,j]);end;
begin
if determinant(a,size)=0 then
begin write (matryca vyrudzena,obernenoi ne isnue!);
goto 1; end;
end;
WriteLn(================================================);
WriteLn( Source matrix );
WriteLn;
PrintMatr(a,size);
dt:=Determinant(a,size);
WriteLn(================================================);
writeln(Determinant = ,dt:8:3);
{sozdaem matrix is dopolneniy}
for i:=1 to size do
for j:=1 to size do
begin
GetMatr(a,tmp_matrix,size,j,i);
invers[i,j]:=Pow(-1,i+j)*Determinant(tmp_matrix,size-1)/dt;
end;
WriteLn(================================================);
WriteLn( Inverse matrix );
WriteLn;
PrintMatr(invers,size);
1:readln;
end.
Контрольні приклади
Приклад 1.
Вхідні дані -
Розмірність матриці - 3
1 2 3 -2.00 4.00 -1.00
1 1 2 > обернена матриця> 0.00 -1.00 0.00
1 0 2 1.00 -2.00 1.00
Приклад 2.
Вхідні дані -
Розмірність матриці - 4
?обернена матриця?
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |