Знаходження власних значеннь лінійого оператора

4

Міністерство освіти і науки України

ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ

Тема:

Знаходження власних значень лінійного оператора

Рекомендована до захисту

“____” __________ 2008р.

Робота захищена

“____” __________ 2008р.

з оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

2. Матриця лінійного оператора

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

3. Контрольний приклад

Висновок

Список літератури

Вступ

Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.

Нехай в дійсному лінійному просторі задан лінійний оператор . Якщо вектор , відмінний від нуля, переводиться оператором у вектор, пропорційний самому ,

,

де - деяке дійсне число, то вектор називається власним вектором оператора , а число - власним значенням цього оператора, причому, власний вектор відноситься до власного значення .

Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним , є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.

Нехай - деякий векторний простір над полем .

Означення 1. Вважають, що у векторному просторі задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору простору ставиться у відповідність деякий вектор цього ж простору. Про цьому вектор називають образом вектора , а називають прообразом вектора .

Як бачимо, оператор у векторному просторі - це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення 2. Оператор у векторному просторі називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

Лінійні оператори в просторі називають також лінійним перетворенням простору .

З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:

1. Будь-який лінійний оператор у просторі залишає нерухомим нульовий вектор цього простору, тобто .

2. Всякий лінійний оператор у просторі протилежному вектору - будь-якого вектора , ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора , тобто .

3. Кожен лінійний оператор у просторі будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів простору ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .

2. Матриця лінійного оператора

Нехай - деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису . Припустимо, що

Складемо з коефіціентів матрицю . Рядками матриці є координатні рядки векторів в базисі . Оскльки координатні рядки векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Будемо вважати, що в базисі лінійний оператор задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна квадратна матриця -го порядку - матриця цього оператора.

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Означення 1. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора із міститься в .

Нехай -одновимірний підпростір простору , а -деякий лінійний оператор цього простору. Підпростір , як відомо, породжується будь-яким своїм вектором , тобто є сукупністю всіх векторів виду , де - будь яке число з поля Р. Якщо підпростір інваріантний відносно оператора , то , тобто , де --деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора підпростору , бо , і тому .

Означення 2. Вектор , що заддовільняє співвідношення , де називається власним вектором оператора , а число - власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Отже, якщо одглвимірний підпростір простору інваріантний відносно лінійного оператора , то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора з тим самим власним значенням оператора .

Практична частина

1. Опис програми

n - вимірність матриці;

m - максимальне допустиме число ітерацій;

e - точність;

a - на вході - двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;

t - двовимірний масив власних векторів А;

b - цілочислова змінна.

Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.

2. Текст програми

uses crt;

const dim=10;

type ar=array[1..dim,1..dim]of real;

var ff:text;

i100,j100,n100,b,m:integer;

e:real;

a,t:ar;

procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);

var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;

i,j,k,n1,q:integer;

u,v,w,z:boolean;

function zn(x:real):integer;

begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;

begin

u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);

if b<>0 then

begin

if b<0 then v:=true else w:=true;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0;

end;

for q:=1 to m do

begin

if u then begin b:=1-q; exit; end;

i:=1; z:=false;

repeat

j:=i+1;

repeat

if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1) or

(abs(a[i,j]-a[j,i])>e1) and

(abs(a[i,i]-a[j,j])>e1) then z:=true;

j:=j+1;

until (j>n) or z;

i:=i+1;

until (i>n1) or z;

if not z then begin b:=q-1; exit; end;

u:=true;

for k:=1 to n1 do

for j:=k+1 to n do

begin

h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;

for i:=1 to n do

begin

x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]); y:=y+x-d;

if (i<>k) and (i<>j) then

begin

h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];

p:=x+sqr(a[j,i]); r:=d+sqr(a[k,i]);

g:=g+p+r; f:=f-p+r;

end;

end;

h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];

p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];

if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end

else

begin

x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);

s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;

end;

if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;

co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;

h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));

if abs(x)<=e

then begin ch:=1; sh:=0; end

else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;

c1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;

s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;

if (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then

begin

u:=false;

for i:=1 to n do

begin

p:=a[k,i];a[k,i]:=c1*p+s1*a[j,i];

a[j,i]:=s2*p+c2*a[j,i];

if v then

begin

p:=t[k,i]; t[k,i]:=c1*p+s1*t[j,i];

t[j,i]:=s2*p+c2*t[j,i];

end;

end;

for i:=1 to n do

begin

p:=a[i,k];a[i,k]:=c2*p-s2*a[i,j];

a[i,j]:=-s1*p+c1*a[i,j];

if w then

begin

p:=t[i,k];t[i,k]:=c2*p-s2*t[i,j];

t[i,j]:=-s1*p+c1*t[i,j];

end;

end;

end;

end;

end;

b:=m;

end;

begin clrscr;

write(введите максимальное количество итераций);read(m);

write(введите точность);read(e);

assign(ff,vlasn.dat);

reset(ff);

read(ff,n100);

for i100:=1 to n100 do

for j100:=1 to n100 do

read(ff,a[i100,j100]);

b:=0;

eigen(n100,m,e,a,t,b);

for i100:=1 to n100 do begin

for j100:=1 to n100 do

write(a[i100,j100], );

writeln; end;

writeln;

writeln(b);

readkey;

end.

3. Контрольний приклад

При e=10^-8 і m=50 для матриці

за 7 ітерацій знайдено власні значення

Тобо отримали такі власні значення , ,

Висновок

Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора одновимірних підпросторів простору рівнозначна задачі згаходження власних векторів оператора .

Список літератури

1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975

2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974

3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976