2
Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
2
Дифференциальное уравнение вида:
с, n?1, 0.
называется дифференциальным уравнением Бернулли (в честь Якоба).
Метод решения:
1. Делим левую и правую части на yn
2. Выполняем замену
3. Решаем дифференциальное уравнение
Оно может быть решено с использованием интегрирующего множителя
Пример:
Делим на y2
Замена переменных
Умножаем на M(x),
Результат
Закон Бернулли
Закон Бернулли (в честь Даниила Бернулли) является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
? - плотность жидкости,
v - скорость потока,
h - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
p - давление.
Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид:
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ?:
Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового (?gh), статического (p) и динамического () давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю.
Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.
Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
p0 - атмосферное давление,
h - высота столба жидкости в сосуде,
v - скорость истечения жидкости.
Отсюда: . Это - формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.
Для сжимаемого идеального газа
(постоянна вдоль линии тока или линии вихря)
где
- адиабатическая постоянная газа
p - давление газа в точке
? - плотность газа в точке
v - скорость течения газа
g - ускорение свободного падения
h - высота относительно начала координат
При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.
Термодинамика закона Бернулли
Выведем закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.
1. Запишем Уравнение Эйлера:
? - потенциал. Для силы тяжести ?=gz
2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):
dW = VdP + TdS
Пусть S = const и w - энтальпия единицы массы, тогда:
или
3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:
- проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.
4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:
Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:
- условие стационарности
- так как
Получаем:
То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:
Лемниската Бернулли
Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
· в прямоугольных координатах:
· в полярных координатах
·
Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
,
Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства.
1. Лемниската - кривая четвёртого порядка.
2. Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F1F2, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае - ось OY.
3. Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
4. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
5.
6. Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
7. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы.
8. Лемнискату описывает окружность радиуса, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
9. Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
10. Для представления в полярных координатах, верно следующее
a. Площадь полярного сектора , при :
b. В частности, площадь каждой петли .
c. Радиус кривизны лемнискаты есть
Построение лемнискаты
· с помощью трёх отрезков
Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.
На плоскости выбираются две точки - A и B - будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба - C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC=BD=, CD=AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
· при помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S - точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM1 и OM2, равные хорде PS. Точки M1, M2 лежат на разных петлях лемнискаты.
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если, то
Доказательство проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
, ч.т.д.
Примечания:
· Неравенство справедливо также для вещественных (при)
· Неравенство также справедливо для (при), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.
Распределение Бернулли
Распределение Бернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.
Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и соответственно. Таким образом:
P (X = 1) = p
P (X = 0) = q
Принято говорить, что событие {X = 1} соответствует «успеху», а {X = 0} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.
E[X] = p,
D[X] = pq.
Вообще, легко видеть, что
E[] = p .
Числа и многочлены Бернулли
Числа Бернулли - последовательность рациональных чисел B0, B1, B2,… найденная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:
Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула:
Первые четырнадцать чисел Бернулли равны:
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Свойства
· Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B1, равны нулю, знаки B2n чередуются.
· Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли ,и равны: Bn = Bn(0).
Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:
· Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
·
,
·
·
· Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ?(s) при четных s = 2m:
Из чего следует
Bn = ? n? (1 ? n) для всех n.
·
Список литературы
1. Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.
2. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.
3. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.
! | Как писать курсовую работу Практические советы по написанию семестровых и курсовых работ. |
! | Схема написания курсовой Из каких частей состоит курсовик. С чего начать и как правильно закончить работу. |
! | Формулировка проблемы Описываем цель курсовой, что анализируем, разрабатываем, какого результата хотим добиться. |
! | План курсовой работы Нумерованным списком описывается порядок и структура будующей работы. |
! | Введение курсовой работы Что пишется в введении, какой объем вводной части? |
! | Задачи курсовой работы Правильно начинать любую работу с постановки задач, описания того что необходимо сделать. |
! | Источники информации Какими источниками следует пользоваться. Почему не стоит доверять бесплатно скачанным работа. |
! | Заключение курсовой работы Подведение итогов проведенных мероприятий, достигнута ли цель, решена ли проблема. |
! | Оригинальность текстов Каким образом можно повысить оригинальность текстов чтобы пройти проверку антиплагиатом. |
! | Оформление курсовика Требования и методические рекомендации по оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Разновидности курсовых Какие курсовые бывают в чем их особенности и принципиальные отличия. |
→ | Отличие курсового проекта от работы Чем принципиально отличается по структуре и подходу разработка курсового проекта. |
→ | Типичные недостатки На что чаще всего обращают внимание преподаватели и какие ошибки допускают студенты. |
→ | Защита курсовой работы Как подготовиться к защите курсовой работы и как ее провести. |
→ | Доклад на защиту Как подготовить доклад чтобы он был не скучным, интересным и информативным для преподавателя. |
→ | Оценка курсовой работы Каким образом преподаватели оценивают качества подготовленного курсовика. |
Курсовая работа | Деятельность Движения Харе Кришна в свете трансформационных процессов современности |
Курсовая работа | Маркетинговая деятельность предприятия (на примере ООО СФ "Контакт Плюс") |
Курсовая работа | Политический маркетинг |
Курсовая работа | Создание и внедрение мембранного аппарата |
Курсовая работа | Социальные услуги |
Курсовая работа | Педагогические условия нравственного воспитания младших школьников |
Курсовая работа | Деятельность социального педагога по решению проблемы злоупотребления алкоголем среди школьников |
Курсовая работа | Карибский кризис |
Курсовая работа | Сахарный диабет |
Курсовая работа | Разработка оптимизированных систем аспирации процессов переработки и дробления руд в цехе среднего и мелкого дробления Стойленского ГОКа |
Курсовая работа | Организация труда персонала |
Курсовая работа | Исследование конкурентной среды фирмы на примере ООО "Темп-Авто" |
Курсовая работа | Эффективность использования трудовых ресурсов в организации |
Курсовая работа | Свободные экономические зоны в России |
Курсовая работа | Анализ финансового состояния страховой компании |
Курсовая работа | Методы и формы работы социального педагога в общеобразовательном учреждении |
Курсовая работа | Системный подход в управлении |
Курсовая работа | Готовность детей с общим недоразвитием речи к овладению грамматикой |
Курсовая работа | Финансовое планирование и прогнозирование на предприятии |
Курсовая работа | Подготовка и обработка экономической информации |
Курсовая работа | Занятость и безработица |
Курсовая работа | Стили и методы управления организацией сервиса (на примере гостиницы "Юность") |
Курсовая работа | Управление социальной сферой |
Курсовая работа | Сахарные кондитерские изделия |
Курсовая работа | Факторы повышения эффективности управления организацией |