8

Содержание

Введение

1. Основные понятия

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + … + a_2n x _n = b₂;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n = b_m.

Здесь x₁, …, x_n - неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений - очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (1)

……………………………………

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n = b_m;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены b_i (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел б₁, б₂, б_n, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (2)

……………………………………

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n;

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

? = a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ? ? 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А_ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе ?.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ?, т.е. первое уравнение умножим на А_1i, второе - на А_2i и т.д., наконец, последнее уравнение - на А_ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, x₂, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (3)

Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами b₁, b₂, …, b_n уравнения (2). Следовательно, выражение b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ?x_i, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

?x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n. (3)

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

?х =?x_i,

откуда при ? ? 0

х = ----

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х₁ = ----;

х₂ = ----;

(4)

………………

х_n = ----.

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) - формулами Крамера.

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (5)

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все x_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид

_x1= 0, _x2=0;...,_xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система (5) имеет единственное нулевое решение, если Д 0; если же = 0, то из условий (3) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , _x1, _x2, …,x_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = b₂; (6)

_. ……………………………………

а_m1х₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m

Требуется найти все решения системы уравнений (6). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида

0х₁ + 0х₂ + …+ 0х_n = 0 (7)

и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число .

Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (6) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (6) будем подвергать еще одному виду преобразований - перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k -м) неизвестная x₁ стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде

a_kix₁ +... + a_k2x₂ + … + a_k1x_i+... + a_knx_n = b_k,

т. е. вместо прежней неизвестной х_i мы будем писать х₁, а вместо x₁ - х_i Метод Гаусса решения системы (6) заключается в последовательном исключении переменных.

Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида

0x_l + 0x₂+... + 0x_n= b_, (8)

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х₁, х₂..., х_п не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.

Пусть теперь система (6) не содержит уравнений вида (7) или (8). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a₁₁0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (6), начиная со второго, неизвестную х₁. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁/a₁₁, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a₃₁/a₁₁, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b_1;

а?₂₂х₂ + …+ а?_2nх_n = b?_2;

………………………… (9)

а?_m2х₂ + …+ а?_mnх_n = b?_m

Заметим, что в системе (9) число уравнений может быть и меньше m, так как среди них могут оказаться уравнения вида (7), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.

Пусть а₂₂ 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п - 2 уравнений системы (9) неизвестную х₂ путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a?₃₂/a?_22, из четвертого уравнения -- второго, умноженного на a?₃₄/a?₂₂ и т. д. В результате получим систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + …+ а_1nх_n = b_1;

а?₂₂х₂ + а?₂₃х₃ + …+ а?_2nх_n = b?_2;

а??₃₃х₃ + …+ а?₃х_n = b?_3;

……………………………

а?_m3х₃ +…+а?_mnх_n = b?_m

_.

Продолжая этот процесс, систему (6) приведем к равносильной системе вида

c₁₁х₁ + c₁₂х₂ + c₁₃х₃ + …+ c_1kх_k + …+ c_1nх_n = d_1;

c₂₂х₂ + c₂₃х₃ + …+ c_2kх_k + …+ c_2nх_n = d_2;

c₃₃х₃ + …+ c_3kх_k + …+ c_3nх_n = d_3; (10)

………………………………………

c_kkх_k + …+c_knх_n = d_k.

в которой коэффициенты c_11, c_22,..., c_kk отличны от нуля.

Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (8). В этом случае система (7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (8). Тогда для решения системы (6) необходимо решить систему (9), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.

1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (10) имеет вид с_ппх_п = d_n, откуда х_п = d_n /c_nn. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (7), имеющее вид

c_n-1n-1x_n-1 + c_n-1nx_n= d_n-1, найдем значение неизвестной x_n-1 и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x₁ Таким образом, в случае k = п система уравнений (6) имеет единственное решение.

2. k < n. Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную x_k, выраженную через неизвестные х_k+1, х_k+2,... x_n:

x_k = (d_kk - c_{k k+1}x_k+1 - … - c_knx_n)

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной х_k-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных х_k, х_k-1,... x₂ в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x₁. В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду

x₁ = d?₁ + c?_{1 k+1}x_k+1 + …+ c?_1nx_n;

x₂ = d?₂ + c?_{2 k+1}x_k+1 + …+ c?_2nx_n; (11)

………………………………………

x_k = d?_k + c?_{k k+1} x_k+1 + …+ c_knx_n.

Неизвестные х_k+1, х_k+2, …, х_п называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х_1, х₂, …, х_k. Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x₁ - 2x₂ + x₃ + x₄ = -1;

3x₁ + 2x₂ - 3x₃ - 4x₄ = 2;

2x₁ - x₂ + 2x₃ - 3x₄ = 9;

x₁ + 3x₂ - 3x₃ - x₄ = -1.

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (13)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c₁, c₂,..., с_п - некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂,..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z,..., с_п -- решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n

где c₁, c₂,..., с_п -- коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x₁ = c₁,..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера - Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7;

2x₁ + x₂ - 4x₃ - 2x₄ = 1;

x₁ - 3x₂ + 6x₃ - 5x₄ = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера - Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера - Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a₁x + b₁y = c₁,

a₂x + b₂y = c₂. (13)

Основная матрица этой системы

a₁ b₁

a₂ b₂

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a₁ b₁ с₁

a₂ b₂ с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ? 0, то система (13) не имеет решений.

Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

Если система (13) не имеет решений, то r ? R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ? 0, a + b ? 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a₁x + b₁y - c₁ = 0,

a₂x + b₂y - c₂ = 0, (14)

где a + b ? 0, a + b ? 0.

Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Эти условия можно переписать так:

a₁b₂ = b₁a₂, (15)

c₁b₂ = b₁c₂, (16)

a₁c₂ = c₁a₂. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ? 0, так как a₁ + b₁ ? 0. Тогда из (15) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ? 0, то b₂ ? 0. Тогда из (16) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = б и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y - б) = 0, b₂(y - б) = 0. Поскольку b₁ ? 0, b₂ ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y - б = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ? 0, а из (15) тогда следует, что b₂ = 0(причем

а₂ ? 0). Тогда из (17) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = в, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x - в) = 0, а₂(x - в) = 0. Поскольку

а₁ ? 0, а₂ ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x - в = 0.

в) Если а₁ ? 0 и b₁ ? 0, то из (15) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = г, а из (16) и (17) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = га₁, b₂ = гb₁, c₂ = гc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y - c₁ = 0, г(a₁x + b₁y - c₁)= 0. Поскольку г ? 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы ок азалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Заключение

В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Список литературы

А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

Математический энциклопедический словарь.

Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский